基于中智區(qū)間函數(shù)的巖體邊坡穩(wěn)定性研究

侯欽寬 雍 睿 陳歡歡 沈 飛

(紹興文理學(xué)院 土木工程學(xué)院，浙江 紹興 312000)

性質(zhì)與邊坡工程穩(wěn)定性評(píng)價(jià).

巖體由巖石和結(jié)構(gòu)面組成，巖體發(fā)生失穩(wěn)往往是沿著巖體內(nèi)部的軟弱結(jié)構(gòu)面發(fā)生破壞，而不是因?yàn)槠浔旧聿牧系钠茐模虼?，結(jié)構(gòu)面對(duì)巖體穩(wěn)定性極其重要.巖體結(jié)構(gòu)面的力學(xué)性質(zhì)主要取決于結(jié)構(gòu)面表面的粗糙程度，但是，由于結(jié)構(gòu)面是在漫長的自然歷史過程和復(fù)雜的地質(zhì)作用下形成的，其本身具有各向異性、各質(zhì)異性、非均一性和尺寸效應(yīng)等特征，會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)面粗糙度性質(zhì)的定量描述帶來很大困難.因此，深入研究巖體結(jié)構(gòu)面粗糙度尺寸效應(yīng)和各向異性，并用函數(shù)方程定量描述邊坡穩(wěn)定性，將具有重要的理論意義以及實(shí)用價(jià)值.

數(shù)學(xué)方法本身是不確定的或方法本身雖確定但可以用來解決自然界和社會(huì)科學(xué)界中出現(xiàn)的不確定性問題的理論，通稱為不確定性理論[1-2].不確定性分析方法主要有可靠性理論[3-5]、模糊數(shù)學(xué)理論[6-11]、灰色預(yù)測系統(tǒng)[12-14]、可拓理論[15-16]、分形幾何[17-18]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[19]、蒙特卡洛法[20-22]以及遺傳進(jìn)化算法[23-25]等.中智理論是基于模糊數(shù)學(xué)發(fā)展起來的，近幾年逐漸為眾人熟知.中智理論在研究客觀物體的不確定性方面具有方法簡單、適用性強(qiáng)等優(yōu)勢.巖體結(jié)構(gòu)面力學(xué)參數(shù)的不確定性主要是由其本身的復(fù)雜特性所決定的，而其同時(shí)具有的各向異性、各質(zhì)異性、非均一性和尺寸效應(yīng)[26]，共同導(dǎo)致了其力學(xué)參數(shù)存在模糊性.中智理論可將力學(xué)參數(shù)的模糊性包含在一定的集合范圍內(nèi)，對(duì)巖體結(jié)構(gòu)面的力學(xué)效應(yīng)進(jìn)行綜合識(shí)別和判斷，從而得到更為符合客觀實(shí)際的解答.

中智理論包含中智集、中智數(shù)、中智區(qū)間函數(shù)等概念.Smarandache[27]首先提出中智集的概念.為了將簡化的中智集應(yīng)用到實(shí)際的不確定性問題中，Wang[28]和Ye[29]定義了單值中智集及其集結(jié)算子.Ye[30]在此基礎(chǔ)上定義了區(qū)間值中智集的距離和相似度.王堅(jiān)強(qiáng)[31]認(rèn)為，不確定性無法給出一個(gè)確定的值或區(qū)間，因此定義了多值中智集.中智數(shù)的概念也是由Smarandache[32]首次提出，它通過定義一個(gè)中智數(shù)Z=a+bI來描述確定的或不確定的信息.Ye和Chen[33-34]等首次將中智數(shù)與巖石節(jié)理粗糙度系數(shù)JRC相結(jié)合，用中智數(shù)來描述JRC尺寸效應(yīng)和各向異性的不確定性.中智區(qū)間函數(shù)同樣是由Smarandache[32]首先提出，它是一種通過定量區(qū)間描述事物不確定性的方法.Yong[35]將中智區(qū)間函數(shù)應(yīng)用于表達(dá)結(jié)構(gòu)面粗糙度系數(shù)和抗剪強(qiáng)度的尺寸效應(yīng)不確定性.然而，上述大部分研究主要從JRC以及相關(guān)參數(shù)來描述尺寸效應(yīng)和判斷邊坡穩(wěn)定性，未能準(zhǔn)確表達(dá)結(jié)構(gòu)面粗糙度系數(shù)的不確定性分布規(guī)律，未能將尺寸效應(yīng)的影響應(yīng)用于邊坡分析及確定穩(wěn)定系數(shù)中.

為了解決當(dāng)前邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)中因結(jié)構(gòu)面復(fù)雜特性而引起的力學(xué)參數(shù)的不確定性問題，本文基于中智區(qū)間函數(shù)能更好地表達(dá)事物的不確定性的特點(diǎn)，將邊坡結(jié)構(gòu)面粗糙度、抗剪強(qiáng)度和邊坡穩(wěn)定系數(shù)控制在一個(gè)區(qū)間之內(nèi)，使邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)更為符合客觀實(shí)際.

1 中智區(qū)間函數(shù)表達(dá)

中智區(qū)間函數(shù)可用于解決各領(lǐng)域所存在的不確定性問題.其原理是定義一個(gè)區(qū)間映射函數(shù)f:R→F(R)，f(x)=[ax,ax+b],x∈R，R是實(shí)數(shù)，a和b表示區(qū)間函數(shù)參數(shù)，它通過一個(gè)區(qū)間映射函數(shù)，將所描述的不確定的事物包含于一個(gè)區(qū)間之內(nèi)，通過區(qū)間來描述事物的不確定性.其具體計(jì)算方法如下：

假定中智區(qū)間函數(shù)f:R→F(R),f(x)=[2x,2x+3],x∈R，R為實(shí)數(shù)，F(xiàn)(R)是R所有子集中的一個(gè).因此，從圖1可以看出，當(dāng)x=-5時(shí)，有

f(-5)=[2×(-5), 2×(-5)+3]

=[-10,-7],

同理,當(dāng)x=5時(shí)f(5)=[10,13].圖1中的灰色區(qū)域即不確定范圍，它的區(qū)間函數(shù)是在f1(x)=2x到f2(x)=2x+3之間.

綜上所述，我們定義中智區(qū)間函數(shù)f:R→F(R)為f(x)=[f1(x)，f2(x)].例如，當(dāng)x=1時(shí)，f(1)=[f1(1)，f2(1)]，中智區(qū)間函數(shù)值即為在x=1時(shí)的豎直線段，即[f1(1)，f2(1)].我們也可以定義中智函數(shù)開區(qū)間f(x)=(f1(x)，f2(x))或者半開區(qū)間f(x)=[f1(x)，f2(x))=(f1(x)，f2(x)].

圖1 中智區(qū)間函數(shù)計(jì)算示意圖

2 基于中智區(qū)間函數(shù)的邊坡穩(wěn)定性表達(dá)

2.1 結(jié)構(gòu)面粗糙度系數(shù)尺寸效應(yīng)的中智區(qū)間函數(shù)表達(dá)

結(jié)構(gòu)面粗糙度系數(shù)尺寸效應(yīng)指的是粗糙度在不同的結(jié)構(gòu)面尺寸下存在不同的值.在實(shí)際工程中，由于結(jié)構(gòu)面的復(fù)雜特性，結(jié)構(gòu)面粗糙度存在不確定性，以往計(jì)算JRC僅僅是選用平均值，忽略了數(shù)據(jù)的離散性，因此，我們引入中智區(qū)間函數(shù)，用區(qū)間表達(dá)來描述結(jié)構(gòu)面粗糙度的不確定性.

選擇合適的區(qū)間范圍是中智區(qū)間函數(shù)的關(guān)鍵.引入概率學(xué)中的穩(wěn)健性概念，穩(wěn)健性指的是數(shù)據(jù)在發(fā)生日常波動(dòng)的條件下，所討論的問題仍在其平均值處的變異程度(如標(biāo)準(zhǔn)差)，且數(shù)據(jù)在一個(gè)合理范圍之內(nèi)可以承受極端數(shù)據(jù)所帶來的誤差，不至于整體數(shù)據(jù)失效.

從工程角度來說，由于測量手段、測量對(duì)象、測量人員的原因，所測結(jié)果往往存在極端誤差，倘若使用最大最小值作為區(qū)間范圍勢必會(huì)顧此失彼，因此我們將選用穩(wěn)健性區(qū)域作為中智函數(shù)的區(qū)間范圍，在保證區(qū)間合理性的同時(shí)降低數(shù)據(jù)對(duì)極端誤差所帶來的敏感性.以一個(gè)系列尺度下的JRC值為例，見圖2，10 cm時(shí)JRC平均值為13.46，標(biāo)準(zhǔn)差為4.21，變異程度區(qū)間為[13.46-4.21,13.46+4.21].經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，在該系列尺度下，有70%左右的樣本分布在此區(qū)域內(nèi)，我們將這個(gè)區(qū)域稱為穩(wěn)健區(qū)域.

綜上，為了描述系列尺度下JRC的不確定性，以JRCmean+σ作為中智區(qū)間函數(shù)的上界，以JRCmean-σ為中智區(qū)間函數(shù)的下界，其中σ表示該組JRC數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.

JRC存在尺寸效應(yīng)，其值隨取樣長度的增大而降低.Barton[36]在對(duì)200多條人工拉斷節(jié)理進(jìn)行詳細(xì)研究的基礎(chǔ)上，得出JRC尺寸效應(yīng)公式：

圖2 系列尺度下JRC尺寸效應(yīng)分布示意圖

JRCn=JRC0×(Ln/L0)-0.02JRC0,

(1)

式中：JRC0為標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)面試驗(yàn)長度(10 cm)下的粗糙度系數(shù)；Ln為所測結(jié)構(gòu)面的長度；L0為實(shí)驗(yàn)室標(biāo)準(zhǔn)試樣長度(L0=10 cm).

杜時(shí)貴[26]對(duì)1157個(gè)不同取樣長度的JRC值實(shí)測資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，發(fā)現(xiàn)JRC的尺寸效應(yīng)規(guī)律具有各質(zhì)異性和各向異性.一般而言，JRC較小的輪廓曲線，其JRC尺寸效應(yīng)比JRC較大的輪廓曲線更顯著.這篇文章指出，式(1)是平均公式，JRC尺寸效應(yīng)規(guī)律應(yīng)表示為：

JRCn=JRC0×(Ln/L0)-aJRC0,

(2)

式中：a稱為JRC尺寸效應(yīng)修正系數(shù).

從上述兩式可以看出，考慮到結(jié)構(gòu)面的復(fù)雜特性，公式的指數(shù)并不確定.為了簡化計(jì)算，本文將指數(shù)-a×JRC0以參數(shù)b代替，式(2)表述為：

JRCn=JRC0×(Ln/L0)-b.

(3)

如圖3所示，對(duì)10～100 cm系列尺寸結(jié)構(gòu)面輪廓曲線進(jìn)行擬合，可以得出JRC中智區(qū)間函數(shù)的下界為：

JRC-(L)=9.25×(L/10)-0.39.

JRC中智區(qū)間函數(shù)的上界為：

JRC+(L)=17.67×(L/10)-0.44.

結(jié)合中智區(qū)間函數(shù)的下界和上界，可以得出JRC在系列尺寸下的中智區(qū)間函數(shù)表達(dá)式：

JRC(L)=[JRC-(L),JRC+(L)]=

[9.25×(L/10)-0.39,17.67×(L/10)-0.44].

圖3 JRC尺寸效應(yīng)中智區(qū)間函數(shù)

2.2 結(jié)構(gòu)面抗剪強(qiáng)度的中智區(qū)間函數(shù)表達(dá)

了解與掌握巖體的變形與破壞規(guī)律是巖體結(jié)構(gòu)面粗糙度研究的主要目的之一.抗剪強(qiáng)度作為巖體結(jié)構(gòu)面的重要力學(xué)參數(shù)之一，對(duì)巖體穩(wěn)定性評(píng)價(jià)具有非常重要的作用，建立粗糙度與抗剪強(qiáng)度之間的關(guān)系一直是巖體力學(xué)的熱門研究課題.

JRC-JCS模型是Barton[36-37]于1977年在大量原位巖體結(jié)構(gòu)面直剪試驗(yàn)的基礎(chǔ)上提出的，其表達(dá)式如下：

(4)

式中：JCSn為結(jié)構(gòu)面壁巖強(qiáng)度；φb為基本摩擦角；σn為有效法向應(yīng)力.

基于JRC-JCS模型，將中智區(qū)間函數(shù)的結(jié)構(gòu)面粗糙度系數(shù)表達(dá)式代入其中，可推導(dǎo)得出抗剪強(qiáng)度的中智區(qū)間函數(shù)的表達(dá)式：

(5)

其中，根據(jù)試樣的JCS0值，利用壁巖強(qiáng)度尺寸效應(yīng)公式確定大尺度試樣結(jié)構(gòu)面的壁巖強(qiáng)度JCSn.尺寸效應(yīng)修正公式為：

(6)

式中：JCS0為標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)面試驗(yàn)長度(10 cm)下的結(jié)構(gòu)面壁巖強(qiáng)度.

2.3 邊坡穩(wěn)定系數(shù)的中智區(qū)間函數(shù)表達(dá)

本文以單平面滑動(dòng)模型為例進(jìn)行分析.已知坡角i，滑體高H，潛在滑動(dòng)面角度β，計(jì)算模型如圖4所示，則潛在滑體ABC的相關(guān)參數(shù)可以依據(jù)以下公式計(jì)算：

圖4 平面滑動(dòng)穩(wěn)定性計(jì)算模型

(7)

式中：ρ為滑體平均密度；g為重力加速度(9.8 m/s2)；L為潛在滑動(dòng)面AC的長度；G為滑體重力.分別計(jì)算滑體ABC的下滑力Fr和抗滑力Fs：

(8)

式中：φ為結(jié)構(gòu)面的內(nèi)摩擦角；c為結(jié)構(gòu)面的黏聚力.進(jìn)而得到邊坡穩(wěn)定系數(shù)：

即邊坡穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算公式：

(9)

結(jié)合中智區(qū)間函數(shù)，可得到邊坡穩(wěn)定系數(shù)的中智區(qū)間函數(shù)表達(dá)式：

(10)

由式(9)和式(10)可知，邊坡穩(wěn)定系數(shù)中智區(qū)間函數(shù)計(jì)算公式的主要影響參數(shù)包括結(jié)構(gòu)面的黏聚力c和結(jié)構(gòu)面的內(nèi)摩擦角φ.本文抗剪強(qiáng)度計(jì)算模型為Barton的JRC-JCS模型，考慮到參數(shù)不一致，我們將基于JRC-JCS模型進(jìn)行等效參數(shù)轉(zhuǎn)化，得到等效的摩爾-庫侖參數(shù)ci和φi.等效參數(shù)轉(zhuǎn)化示意圖如圖5所示[38]，轉(zhuǎn)化過程如下.

等效內(nèi)摩擦角φi的計(jì)算方法如下：

(11)

其中

(12)

等效黏聚力ci則用下面公式表示：

ci=τ-σntan(φi).

(13)

圖5 等效參數(shù)轉(zhuǎn)化示意圖

3 實(shí)例分析

3.1 工程概況

野外現(xiàn)場選定浙江省嘉興市海寧黃灣鎮(zhèn)岳廟山礦山，測量其邊坡基本參數(shù).邊坡近東西走向，傾向北，長103 m，寬度103 m，坡高57 m，邊坡坡角i為58°，坡向10°，滑體高度28.5 m，滑動(dòng)面長度L為40.30 m，滑動(dòng)面傾角β為45°，滑體天然容重為29 kN/m3，計(jì)算模型如圖6所示.

3.2 結(jié)構(gòu)面粗糙度系數(shù)尺寸效應(yīng)的中智區(qū)間函數(shù)表達(dá)

在該大尺寸天然結(jié)構(gòu)面的表面沿潛在滑移方向等間距布置測線，采用簡易縱剖面儀分別繪制10 cm，20 cm，…，100 cm的結(jié)構(gòu)面表面輪廓曲線，進(jìn)而選用簡明直邊法計(jì)算所有輪廓曲線的JRC值，對(duì)該JRC值進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析，得出系列尺寸下JRC的均值JRCmean和標(biāo)準(zhǔn)差σ.

計(jì)算得到該系列尺度下10 cm時(shí)JRC平均值為6.12，標(biāo)準(zhǔn)差為1.25.我們以JRCmean+σ作為中智區(qū)間函數(shù)的上界，以JRCmean-σ作為中智區(qū)間函數(shù)的下界，則變異程度區(qū)間為[6.12-1.25,6.12+1.25]=[4.87,7.37].將工程實(shí)際數(shù)據(jù)代入其中，根據(jù)公式(3)，通過折線統(tǒng)計(jì)圖對(duì)JRC進(jìn)行擬合，建立尺寸效應(yīng)評(píng)價(jià)指標(biāo)，得到參數(shù)b，因此可以得出JRC尺寸效應(yīng)中智區(qū)間函數(shù)，函數(shù)圖像如圖7所示.

由此可以得出JRC中智區(qū)間函數(shù)的下界為：

JRC-(L)=4.87×(L/10)-0.075，

JRC中智區(qū)間函數(shù)的上界為：

圖6 岳廟山礦山邊坡穩(wěn)定性計(jì)算模型

圖7 JRC尺寸效應(yīng)中智區(qū)間函數(shù)

JRC+(L)=7.37×(L/10)-0.081.

結(jié)合中智區(qū)間函數(shù)的下界和上界，可以得出JRC在系列尺寸下的中智區(qū)間函數(shù)表達(dá)式：

JRC(L)=[JRC-(L),JRC+(L)]=

[4.87×(L/10)-0.075,7.37×(L/10)-0.081].

則當(dāng)L=40.3 m時(shí)，計(jì)算得到結(jié)構(gòu)面粗糙度下限為JRC-(L)=4.87×(4030/10)-0.075=3.11，結(jié)構(gòu)面粗糙度上限為JRC+(L)=7.37×(4030/10)-0.081=4.53.

3.3 結(jié)構(gòu)面抗剪強(qiáng)度的中智區(qū)間函數(shù)表達(dá)

τ(4030)=[τ-(4030),τ+(4030)]

此時(shí)抗剪強(qiáng)度的中智區(qū)間函數(shù)圖像見圖8，繼而可知，當(dāng)L=40.3 m時(shí)，JCSn為42.34 MPa，此時(shí)的抗剪強(qiáng)度區(qū)間為

τ(4030)=[0.091,0.104] MPa.

3.4 邊坡穩(wěn)定系數(shù)的中智區(qū)間函數(shù)表達(dá)

圖8 抗剪強(qiáng)度中智區(qū)間函數(shù)圖像

最后，將得到的抗剪強(qiáng)度參數(shù)代入邊坡穩(wěn)定系數(shù)計(jì)算公式(9)中，得：

=0.868，

=1.000.

由上述計(jì)算可得，結(jié)構(gòu)面長度為40.3 m條件下，該巖質(zhì)邊坡的穩(wěn)定系數(shù)下限為0.868，上限為1.000，由式(10)可得此時(shí)穩(wěn)定系數(shù)的中智區(qū)間范圍為

[FS-,FS+]=[0.868,1.000].

邊坡穩(wěn)定性計(jì)算含有若干不確定性，計(jì)算精度很難達(dá)到100%[39]，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果具有一定的模糊性.用中智區(qū)間的形式可以更好地表達(dá)這種模糊性.本文采用礦山邊坡國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范[40]來評(píng)價(jià)邊坡穩(wěn)定性，根據(jù)規(guī)范，該邊坡的設(shè)計(jì)安全系數(shù)為1.15～1.10，實(shí)際計(jì)算穩(wěn)定系數(shù)中智區(qū)間均小于此范圍，邊坡不穩(wěn)定，可能沿潛在滑移面發(fā)生單平面型滑移的情況，進(jìn)而產(chǎn)生破壞.

4 結(jié)論

巖體結(jié)構(gòu)面具有各向異性、各質(zhì)異性、非均一性和尺寸效應(yīng)等復(fù)雜特性，這都嚴(yán)重增加了對(duì)結(jié)構(gòu)面粗糙度性質(zhì)定量描述的難度.本文結(jié)合中智區(qū)間函數(shù)，提出了結(jié)構(gòu)面粗糙度系數(shù)尺寸效應(yīng)的表達(dá)方法，并定量表達(dá)了結(jié)構(gòu)面粗糙度系數(shù)的不確定性.

結(jié)構(gòu)面抗剪強(qiáng)度參數(shù)具有離散性和模糊性，基于中智區(qū)間函數(shù)將結(jié)構(gòu)面抗剪強(qiáng)度參數(shù)控制在穩(wěn)健區(qū)間內(nèi)，考慮了參數(shù)不確定性對(duì)邊坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)的影響，使其更為符合客觀實(shí)際.本文提出的方法還可應(yīng)用于評(píng)價(jià)不同類型工程的穩(wěn)定性.