階乘冪方法在解非齊次差分方程中的應(yīng)用

孫建新

(紹興文理學(xué)院 數(shù)理信息學(xué)院，浙江 紹興 312000)

參考文獻(xiàn)[1]研究了擬初等函數(shù)，參考文獻(xiàn)[2]研究了函數(shù)展開為階乘冪級數(shù)的方法.文獻(xiàn)[3]在文獻(xiàn)[1]和[2]的基礎(chǔ)上，提出解齊次差分方程的新方法，即“階乘冪方法”，并且對常系數(shù)齊次差分方程給出一般的解法與實例.本文將對常系數(shù)非齊次差分方程給出一般的新解法，同時給出相應(yīng)的典型實例.不難發(fā)現(xiàn)，新方法具有計算簡單、特解直觀的優(yōu)點.

1 幾個引理

引理1.1 當(dāng)特征根μ1，μ2，…，μk為k個互不相同的實根時，齊次方程

xn+k+b1xn+k-1+…+bk-1xn+1+bkxn=0

(1)

的通解為

(2)

引理1.2 當(dāng)特征根μ1，μ2，…，μk為k個相同的實根μ(即為k重實根)時，齊次方程(1)的通解為

xn=c1μn+c2nμn+…+cknk-1μn=

(3)

其中P

引理1.3 齊次方程

xn+2-2axn+1+(a2+b2)xn=0

(4)

的通解為

(5)

亦即

xn=c1ancos! (hn)+c2ansin!(hn),

(6)

其中

(7)

上述引理的證明參見文獻(xiàn)[3]，文中出現(xiàn)的新符號可參考文獻(xiàn)[2][4][5]和[6]等.

引理1.4 若定義r2=a2(1+h2)(r>0)以及h=tanθ，則有

(8)

(a+bi)n=(reiθ)n=rn{cos(nθ)+isin(nθ)}.

另一方面，由廣義二項公式與擬三角函數(shù)定義又有

(a+bi)n=(a+ahi)n=

an{cos!(hn)+isin!(hn)}.

比較兩式的虛實部即得所證.

類似于三角函數(shù)的微分法則，有如下擬三角函數(shù)的差分法則：

引理1.5 若定義擬三角函數(shù)如式(7)所示，則

(9)

證明

獲證.

注意到，

(10)

可見，一般來說，普通三角函數(shù)的差分形式比較復(fù)雜，而擬初等函數(shù)的差分始終是簡單的.

引理1.6 擬三角函數(shù)的高階差分公式為

Δm{n!kcos!(hn)}=

Δm{n!ksin!(hn)}=

(11)

證明由文獻(xiàn)[4]定理6.3等價表達(dá)式

Δm{f(n)g(n)}=

令f(n)=n!k，g(n)=cos!(hn)或sin!(hn)，由引理1.4以及階乘冪高階差分公式

Δjn!k=k!jn!k-j,(j=0,1,…,k)

可知式(11)的第1式第一個等號成立.因為第二個等號相當(dāng)于將和式按奇偶分類，不難驗證其正確性，從略.又第2式與第1式是對稱的，證明方法類同，不再重復(fù).

特別地，對k=1或2以及m=1或2，有如下公式：

1)Δ{ncos!(hn)}=

cos!(hn)-h(n+1)sin!(hn);

2)Δ{nsin!(hn)}=

sin!(hn)+h(n+1)cos!(hn);

3)Δ{n!2cos!(hn)}=

2ncos!(hn)-h(n+1)!2sin!(hn);

4)Δ{n!2sin!(hn)}=

2nsin!(hn)+h(n+1)!2cos!(hn);

5)Δ2{ncos!(hn)}=

-2hsin!(hn)-h2(n+2)cos!(hn);

6)Δ2{nsin!(hn)}=

2hcos!(hn)-h2(n+2)sin!(hn);

7)Δ2{n!2cos!(hn)}=

2cos!(hn)-4h(n+1)sin!(hn)-

h2(n+2)!2cos!(hn);

8)Δ2{n!2sin!(hn)}=

2sin!(hn)+4h(n+1)cos!(hn)-

h2(n+2)!2sin!(hn).

2 常系數(shù)非齊次線性差分方程

定理2.1 設(shè)常系數(shù)非齊次線性差分方程

xn+k+b1xn+k-1+…+bk-1xn+1+bkxn=q(n)

(12)

(13)

于是，由差分方程的線性性，而且移位算子E(或差分算子)是線性算子，所以有

Xn+k+b1Xn+k-1+…+bk-1Xn+1+bkXn=

q(n)+0=q(n).

法則2.2 設(shè)k階常系數(shù)非齊次線性差分方程形如

Δkxn+a1Δk-1xn+…+ak-1Δxn+akxn=

P!m(n)(1+r)n,(r≠-1)，

(14)

其中

P!m(n)=bmn!m+bm-1n!m-1+…+b1n!1+b0.

若r為對應(yīng)特征方程

λk+a1λk-1+…+ak-1λ+ak=0

的t重根(t=0,1,2,…)，則其特解為

(15)

其中

Q!m+t(n)=cm+tn!m+t+cm+t-1n!m+t-1+…+ctn!t

為含m+1個參數(shù)的m+t次的階乘冪多項式.

法則2.3 設(shè)k階常系數(shù)非齊次線性差分方程形如

Δkxn+a1Δk-1xn+…+ak-1Δxn+akxn=

(16)

其中

若

a+bi=r(cosθ+isinθ)=a(cos!h+isin!h)

與

a-bi=r(cosθ-isinθ)=a(cos!h-isin!h)

為對應(yīng)特征方程

λk+a1λk-1+…+ak-1λ+ak=0

的一對t重共軛復(fù)根(t=0,1,2,…)，則其特解為

或

其中

(j=1,2)，

或

(j=1,2).

3 典型實例

例1 求差分方程

xn+2-5xn+1+6xn=(n+1)2

的通解.(t=0)

解法1：對應(yīng)特征方程為

μ2-5μ+6=0，

解得μ1=2，μ2=3.

則齊次方程的通解

因為1+r=1≠μj(j=1,2)，t=0,m=2. 可設(shè)非齊次方程的特解為

{A(n+2)2+B(n+2)+C}-

5{A(n+1)2+B(n+1)+C}+

6{An2+Bn+C}=(n+1)2.

雖然計算比較麻煩，仔細(xì)比較系數(shù)可得：

2A=1,-6A+2B=2,-A-3B+2C=1.

于是原差分方程的通解為

解法2：由定理1，原方程等價于方程

Δ2xn-3Δxn+2xn=n!2+3n!1+1，

對應(yīng)特征方程為

λ2-3λ+2=0，

解得

λ1=1，λ2=2，

則齊次方程的通解

因為r=0≠λj(j=1,2),m=2,t=0.不妨設(shè)非齊次方程的特解為

則

2A-3(2An!1+B)+2(An!2+Bn!1+C)=

n!2+3n!1+1.

比較系數(shù)易得

2A=1,-6A+2B=3,2A-3B+2C=1.

解得

于是原差分方程的通解為

顯然兩種解法的結(jié)果相同，而計算還是解法2簡單.

例2 求差分方程

xn+2-2xn+1+xn=n2

的通解.(t>0)

解法1：對應(yīng)特征方程為

μ2-2μ+1=0，

解得

μ1=μ2=1.

則齊次方程的通解

因為1+r=1=μj(j=1,2),t=2>0,m=2.可設(shè)非齊次方程的特解為

則

{A(n+2)4+B(n+2)3+C(n+2)2}-

2{A(n+1)4+B(n+1)3+C(n+1)2}+

{An4+Bn3+Cn2}=n2.

比較系數(shù)可得：

12A=1,24A+6B=0,14A+6B+2C=0.

于是原差分方程的通解為

解法2：由定理1，原方程等價于方程

Δ2xn=n!2+n!1，

對應(yīng)特征方程為λ2=0，解得λ1=λ2=0.

則齊次方程的通解

因為r=0=λj(j=1,2),t=2,m=2，不妨設(shè)非齊次方程的特解為

則

比較系數(shù)易得

12A=1,6B=1,1C=0，

解得

于是原差分方程的通解為

例3 求差分方程

xn+2-2xn+1+2xn=n2n

的通解.(t=0)

解法1：對應(yīng)特征方程為

μ2-2μ+2=0，

解得

μ1=1+i,μ2=1-i，

則齊次方程的通解

因為1+r=2≠μj(j=1,2),t=0,m=1，可設(shè)非齊次方程的特解為

則

2{A(n+1)+B}2n+1+2{An+B}2n=n2n.

比較系數(shù)可得：

2A=1,4A+2B=0.

解得

于是原差分方程的通解為

解法2：由定理1，原方程等價于方程

Δ2xn+xn=n2n.

對應(yīng)特征方程為λ2+1=0，解得λ1=i,λ2=-i.

則齊次方程的通解

因為1+r=2≠1+λj(j=1,2),t=0,m=1.不妨設(shè)非齊次方程的特解為

則

比較系數(shù)易得

2A=1,4A+2B=0，

解得

于是原差分方程的通解為

由引理1.4的式(8)，可知兩種解法的結(jié)果相同.顯然當(dāng)m≥2時，求特解的計算一般是解法2簡單，即階乘冪方法較為簡單.

例4 求差分方程

的通解.(t>0)

解法1：對應(yīng)特征方程為

μ2-2μ+5=0，

解得

μ1=1+2i,μ2=1-2i，

則齊次方程的通解為

考慮到

cos!(2n)±isin!(2n)，

比較實部、虛部有

因為r=1+2i=μ1,t=1>0,m=1.可設(shè)非齊次方程的特解為

(An2+Bn)(1+2i)n+(Cn2+Dn)(1-2i)n

則

{A(n+2)2+B(n+2)}(1+2i)n+2+

{C(n+2)2+D(n+2)}(1-2i)n+2-

2{A(n+1)2+B(n+1)}(1+2i)n+1-

2{C(n+1)2+D(n+1)}(1-2i)n+1+

5{An2+Bn}(1+2i)n+5{Cn2+Dn}

比較系數(shù)可得：

解得

解法2：由定理1與引理1.4，原方程等價于方程

Δ2xn+4xn=ncos!(2n)，

對應(yīng)特征方程為

λ2+4=0，

解得

λ1=2i,λ2=-2i.

則齊次方程的通解

因為1+2i=1+λ1,t=1,m=1，并且方程無奇數(shù)階差分，不妨設(shè)非齊次方程的特解為

則

B(n+1)!1}sin!(2n)+(2An+B)cos!(2n)，

-2{2A(n+1)+B}sin!(2n)+2Acos!(2n).

注意到(n+2)!2=n!2+4n!1+2，于是

{(-16A)n!1+(-6A-8B)}cos!(2n)=

ncos!(2n).

比較系數(shù)易得

-16A=1,-6A-8B=0

解得

于是原差分方程的通解為

4 結(jié)束語

從所舉實例可以看出，差分方程中利用擬初等函數(shù)能夠為計算帶來方便.特別是當(dāng)m≥2時，使用階乘冪來確定非齊次線性差分方程的特解，計算過程簡單且結(jié)果直觀明確.