L-序水平一致極限空間

王文靜, 方進明

(中國海洋大學 數(shù)學科學學院, 山東 青島 266100)

2002年,Nusser[1]提出概率一致極限空間的概念,這種概率一致極限空間通過加載三角模的實數(shù)單位區(qū)間中的數(shù),為一致極限空間中的許多概念提供了概率化的描述.同時,也為Florescu[2]的概率一致空間乃至文獻[3]意義下的概率極限空間提供了統(tǒng)一的框架.在完全不同的方向上,取真值格L為完備Heyting代數(shù),J?ger[4]發(fā)現(xiàn)了文獻[5]所提出的L-一致極限空間的“水平空間”,即L-水平一致極限空間.文獻[4]的結果表明,這些水平空間為L-一致極限空間提供了新的描述方式,同時也為概率一致空間、概率一致極限空間、過程一致空間提供了統(tǒng)一的視角,因此可以說水平空間類為空間概念的刻畫提供了新的量化模型.

作為文獻[5]工作的進展,Fang[6]提出L-序擬一致極限空間的概念.L-序擬一致極限空間的合理性在于空間結構保留了它與滿層L-濾子的L-包含序的內在聯(lián)系,而L-一致極限空間卻忽略了這種聯(lián)系.結合文獻[6]的工作,在考慮對稱性的前提下,本文提出了L-序一致極限空間的概念.本文發(fā)現(xiàn)L-序一致極限空間對應的空間范疇除保留好的性質(如笛卡兒閉性)外,其對應的“水平空間”滿足本質不同的性質.因此提出了新的空間概念,即L-序水平一致極限空間,并進一步證明了L-序水平一致極限空間范疇與L-序一致極限空間范疇是同構的.因此,L-序水平一致極限空間為L-序一致極限空間提供了新的版本.此外證明了L-序水平一致極限空間范疇恰好是文獻[4]中L-水平一致極限空間范疇的雙反射子范疇.如此,清楚地確定了文獻[5]中L-一致極限空間與本文提出的L-序一致極限空間的關系.

1 預備知識

首先介紹文中必需的完備剩余格以及L-子集的L-包含序的概念.所謂完備剩余格是三元對(L,≤;*),其中(L,≤)是完備格并且有二元運算*和→滿足:

(R1) (L,*)為交換的單位半群,其以(L,≤)的最大元┯為單位元;

(R2) 伴隨性質,即

α*β≤γ?β≤α→γ, ?α,β,γ∈L.

三元對(L,≤;*)簡記作L(其最小元記為⊥).此時,運算*和→分別被稱作是L上的張量和蘊涵,其中,蘊涵→可以計算為

α→β=∨{γ∈L|α*γ≤β}, ?α,β∈L.

在本文中,如無特殊說明,總假設完備格上的交運算∧對任意并是分配的,因此本文所用到的完備剩余格(L,≤;*)是加載了張量*的完備Heyting代數(shù).

設X是非空集.將X上L-子集的全體記作LX,X的冪集記作P(X).L上的偏序結構可以利用點態(tài)方式誘導出L-冪集LX上的偏序結構,仍記作≤.按LX上偏序結構,LX的最小元與最大元分別記作⊥X和┯X,LX上的代數(shù)運算∧,∨,*,→可以利用L上的相應運算點態(tài)地定義來得到.所謂L-子集的L-包含序是一個二元映射SX(-,-):LX×LX→L,計算意義是對任意的(A,B)∈LX×LX,

其中,→是L中的蘊涵運算.值SX(A,B)可解釋為A是B的子集程度.下面介紹滿層L-濾子的概念及其性質.

定義1.1[7]映射F:LX→L稱為非空集X上的滿層L-濾子,如果它滿足以下條件:

(F1) F(┯X)=⊥,F(┯X)=⊥;

(F2) 對任意A,B∈LX,A≤B?F(A)≤F(B);

(F3) 對任意A,B∈LX,F(A)∧F(B)≤F(A∧B);

(Fs) 對α∈L,α*F(A)≤F(α*A).

給定映射φ:X→Y,滿層L-濾子F在映射φ下的像記作定義φ?(F),φ?(F)是Y上的滿層L-濾子使得對任意B∈LY,φ?(F)(B)=F(φ←(B)),這里φ←(B)=B°φ.設F和G為乘積集X×X上的滿層L-濾子.分別定義映射F-1,F°G:LX×X→L如下:

F-1(A)=F(A-1), ?A∈LX×X,

其中(x,y)∈X×X,A-1(x,y)=A(y,x).

由文獻[5]中結果知F-1總是X×X上的滿層L-濾子,而F°G是X×X上的滿層L-濾子當且僅當f°g=⊥X×X可推得F(f)*G(g)=⊥.

1) (φ×φ)?(F-1)=((φ×φ)?(F))-1;

2) (φ×φ)?(F)°(φ×φ)?(G)≤(φ×φ)?(F°G);

3) SLX×X(F,G)≤SLY×Y((φ×φ)?(F),(φ×φ)?(G)).

2 L-序水平一致極限空間

下面將引入L-序一致極限空間的概念,然后確定L-序一致極限空間范疇作為拓撲范疇是笛卡兒閉的.同時,還界定了其對應的“水平空間”所滿足的本質性質,由此幸運地獲得了新的空間概念,即L-序水平一致極限空間.進一步證明了L-序水平一致極限空間范疇與L-序一致極限空間范疇是同構的.因此,可以說獲得了L-序一致極限空間新的版本,即L-序水平一致極限空間.此外,建立了L-序水平一致極限空間范疇恰好是文獻[4]中L-水平一致極限空間范疇的雙反射子范疇這一深入聯(lián)系.

(UC1)Γ([(x,x)])=┯;

(OUC2) SLX×X(F,G)≤Γ(F)→Γ(G);

(UC3)Γ(F)≤Γ(F-1);

(UC4)Γ(F)∧Γ(G)≤Γ(F∧G);

(UC5) 當F°G存在時,Γ(F)*Γ(G)≤Γ(F°G).

定理2.2L-序一致極限空間范疇是拓撲的.

當完備剩余格L上的運算*=∧,即L為完備Heyting代數(shù)時,用文獻[6]的方法可證如下結論.

定理2.3若L為完備Heyting代數(shù),則L-序一致極限空間范疇是笛卡兒閉的.

(LUC1) 對任意x∈X,α∈L,[(x,x)]∈Λ(α);

(LUC2) 當F∈Λ(α)且G≥F時,G∈Λ(α)成立;

(LUC3) F∈Λ(α)總意味F-1∈Λ(α)成立;

(LUC4) 若F,G∈Λ(α),則F∧G∈Λ(α);

(LP1) 當F∈Λ(α)且β≤α時,F∈Λ(β)恒成立;

(LLC) 當A?{α∈L|F∈Λ(α)}時,F∈Λ(∨A)成立,則稱(X,Λ)為L-水平一致極限空間.L-水平一致極限空間及其一致連續(xù)映射構成一個范疇,將其記作L-LULIM,這里所謂映射φ:(X,Λ)→(Y,Σ)是一致連續(xù)的是指對任意α∈L,(φ×φ)?(Λ(α))?Σ(α)成立.

定義2.4若L-水平一致極限空間(X,Λ)還滿足

首先指出,由于作為L-序水平一致極限空間本質性質的(LOUC2)總意味著(LUC2),因此L-序水平一致極限空間一定是L-水平一致極限空間.正是這個理由,L-序水平一致極限空間作為對象構成L-水平一致極限空間范疇的滿子范疇,本文將其記作L-OLULIM.此外,為進一步探索L-序水平一致極限空間范疇與L-序一致極限空間范疇之間深入的關系,下面給出幾個預備性的命題,目的是指出對象轉化過程中存在一些規(guī)律性.限于篇幅,僅給出命題2.6的證明.

則(X,ΛΓ)∈|L-OLULIM|.

ΓΛ(F)=∨{α∈L|F∈Λ(α)},

則(X,ΓΛ)∈|L-OULIM|.

ΓΛ(F)*SLX×X(F,G)=

(∨{α∈L|F∈Λ(α)})*SLX×X(F,G)≤

∨{(α*SLX×X(F,G))∈L|

G∈Λ(α*SLX×X(F,G))}≤

∨{β∈L|G∈Λ(β)}=ΓΛ(G),

所以

SLX×X(F,G)≤ΓΛ(F)→ΓΛ(G).

根據(jù)(LP1)可知,Λ(α),Λ(β)?Λ(α∧β),由于

可由完備格上的交運算對任意并是分配的來證得,且由(LUC4)有F∧G∈Λ(α∧β),因此

ΓΛ(F)∧ΓΛ(G)≤

從而(UC4)也是成立的.最后證明(UC5)成立,借助于(LPULIM),當F°G存在時,(UC5)可由下列式子保證

綜上可知,(X,ΓΛ)是L-序一致極限空間.

根據(jù)命題2.5和2.6,還可以證明以下推論.

推論2.7對(X,Γ)∈|L-OULIM|和(X,Λ)∈|L-OLULIM|,恒有ΓΛΓ=Γ和ΛΓΛ=Λ成立.

命題2.8設(X,Γ),(Y,Δ)∈|L-OULIM|,φ:X→Y是映射,則φ:(X,Γ)→(Y,Δ)一致連續(xù)當且僅當φ:(X,ΛΓ)→(Y,ΛΔ)是一致連續(xù)的.

由命題2.5和2.6及其推論2.7,并結合命題2.8可知存在函子η:L-OULIM→L-OLULIM及函子θ:L-OLULIM→L-OULIM,滿足等式η°θ=idL-OLULIM,θ°η=idL-OULIM.由此得到如下重要的定理.

定理2.9L-序水平一致極限空間范疇與L-序一致極限空間范疇是同構的.

然后,用定理2.9及本文的定理2.2和2.3,可證得L-序水平一致極限空間范疇的如下性質.

推論2.10L-序水平一致極限空間范疇是拓撲的且L是完備Heyting代數(shù)時,它是笛卡兒閉的.

最后用下面的定理肯定了L-序水平一致極限空間范疇與L-水平一致極限空間范疇之間的內在聯(lián)系.

定理2.11L-序水平一致極限空間范疇是L-水平一致極限空間范疇的雙反射子范疇.

證明為了用定義1.3證明本定理,任取L-水平一致極限空間(X,Λ).令

EΛ={Λ1|Λ1是X上的L-序水平一致極限

結構且Λ(α)?Λ1(α),?α∈L},

(φ×φ)?(F)∈Σ(α)}.

由于對任意α∈L,(φ×φ)?(Λ(α))?Σ(α),從而有Λ(α)?Φ(α).如果可以證明Φ是X上的L-序水平一致極限結構,則Λ*(α)?Φ(α)成立,進而有(φ×φ)?(Λ*(α))?Σ(α),即φ:(X,Λ*)→(Y,Σ)是一致連續(xù)的.因此只需證明Φ滿足(LUC1)、(LOUC2)、(LUC3)、(LUC4)、(LP1)、(LP2)、(LPULIM)以及(LLC),其中(LP1)和(LP2)是顯然成立的.

首先Φ滿足(LUC1)是因為Σ滿足(LUC1)保證了對x∈X,

(φ×φ)?([(x,x)])=[(φ(x),φ(x))]∈Σ(α)

成立.總之,對x∈X,恒有[(x,x)]∈Φ(α),這里α∈L.

(φ×φ)?(G)∈

Σ(α*SLY×Y((φ×φ)?(F),(φ×φ)?(G))),

再用引理1.2的結論3)有

SLY×Y((φ×φ)?(F),(φ×φ)?(G))≥

SLX×X(F,G).

這說明對任意α∈L,恒有

(φ×φ)?(G)∈Σ(α*SLX×X(F,G)),

即證得G∈Φ(α*SLX×X(F,G)).

第三,Φ滿足(LUC3)可由Σ滿足(LUC3),然后借助引理1.2的結論1)證得.

第四,為證Φ滿足(LUC4),由定義可知對α∈L,F,G∈Φ(α)時,

(φ×φ)?(F)∈Σ(α), (φ×φ)?(G)∈Σ(α).

如此F∧G∈Φ(α)可由

(φ×φ)?(F)∧(φ×φ)?(G)=

(φ×φ)?(F∧G)

推得.

第五,Φ滿足(LPULIM)等價于對F∈Φ(α),G∈Φ(β),且F°G存在時,F°G∈Φ(α*β)成立,這里α,β∈L.由引理1.2的結論2)知

(φ×φ)?(F)°(φ×φ)?(G)≤

(φ×φ)?(F°G),

故

(φ×φ)?(F)°(φ×φ)?(G)∈Σ(α*β)

保證了

(φ×φ)?(F°G)∈Σ(α*β),

這說明F°G∈Φ(α*β)成立.

最后,為證Φ滿足(LLC),任取子集

A?{α∈L|F∈Φ(α)}.

由α∈A保證了(φ×φ)?(F)∈Σ(α),結合Σ(α)的(LLC)性質可知,(φ×φ)?(F)∈Σ(∨A).因此證得F∈Φ(∨A).證畢.

為了清楚L-一致極限空間與L-序一致極限空間的關系,借助定理2.9和2.11,本文有如下推論.

推論2.12L-序一致極限空間范疇是L-一致極限空間范疇的雙反射子范疇.