一類隨機模糊細胞神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入對狀態(tài)穩(wěn)定性分析

周偉松, 王興武, 吳東海, 曾 豪

(重慶郵電大學 工業(yè)物聯(lián)網(wǎng)與網(wǎng)絡化控制重點實驗室/復雜系統(tǒng)智能分析與決策重點實驗室, 重慶 400065)

1988年,Chua等[1]首次提出一類如下形式的神經(jīng)網(wǎng)絡模型

此模型后來被稱為細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(CNNs)模型.由于CNNs在圖像處理、聯(lián)想記憶、模式識別、二次優(yōu)化等諸多領(lǐng)域的廣泛應用而受到眾多學者關(guān)注[2-9].文獻[2-4]將模糊集理論融入到CNNs,建立了如下模糊細胞神經(jīng)網(wǎng)絡(FCNNs)

的系統(tǒng)理論及其應用,給出一個新的圖像處理范例.鑒于它在學習、適應、容錯、并行和泛化等方面的計算優(yōu)勢,迅速成為圖像處理、模式識別等問題的強有力的工具[5-9].

在FCNNs的眾多應用當中,保證FCNNs系統(tǒng)的穩(wěn)定性顯得尤為重要[10-12].例如,當將FCNNs應用于優(yōu)化計算時,網(wǎng)絡的平衡點刻畫了該優(yōu)化問題的所有可能的最優(yōu)解,而且平衡點的全局漸近穩(wěn)定就可以確保從任何初始條件出發(fā)的最優(yōu)解的收斂性.從而,穩(wěn)定性是研究FCNNs的重要課題之一[13].

另一方面,由Sontag[14-15]對非線性系統(tǒng)控制所提出的輸入對狀態(tài)穩(wěn)定(ISS)是對非線性系統(tǒng)研究中一類非常重要的耗散性質(zhì).而且,它給來自工程控制應用當中許多不確定因素存在的非線性控制問題的穩(wěn)定化提供了一種非常有效的方法.再者,白噪聲和時滯都是動力系統(tǒng)中廣泛存在的現(xiàn)象,并且時常不可避免,都會引發(fā)系統(tǒng)的不穩(wěn)定,甚至混沌.因此,研究帶隨機泛函FCNNs具有非常重要的理論和實際意義.然而,據(jù)我們所知,現(xiàn)在關(guān)于隨機泛函FCNNs在均方意義下的指數(shù)ISS的結(jié)果還沒有.

基于上述討論,將在本文中給出一類帶時變系數(shù)的隨機泛函FCNNs在均方意義下的指數(shù)ISS的2個充分條件.首先,給出一些基本概念、定義以及引理.特別地,建立了一個非常有用的Halanay型非自治泛函微分不等式引理.然后,運用這個引理得到了一個隨機泛函FCNNs在均方意義下指數(shù)ISS的一個充分性判據(jù).而且,在這個基礎上,給出了一個常系數(shù)情形下的該FCNNs系統(tǒng)在均方意義下指數(shù)ISS的充分性判據(jù).最后,給出一個數(shù)值仿真例子證實得到判據(jù)的有效性.

1 預備知識

本文將考慮如下帶時變系數(shù)的隨機泛函FCNNs[2-4]

其中,i=1,2,…,n,并且,對于每一個i,xi(t)表示在t時刻第i個神經(jīng)元的狀態(tài)變量,φi(t)在區(qū)間[-τ,0],τ>0上連續(xù),di(t,xi(t))是依賴于時間t和狀態(tài)隨機過程xi(t)適當?shù)囊粋€行為函數(shù),Ii是第i個神經(jīng)元的外部輸入量,aij(t)、bij(t)和cij(t)描述t時刻神經(jīng)元之間狀態(tài)鏈接的強度.∧和∨分別表示模糊并和模糊或算子.fj(xj(t))、gj(xj(t-τ(t)))和kj(xj(t-τ(t)))分別表示t和t-τ(t)時刻第j個單位元的激勵函數(shù).τ(t)是時變時滯,而且滿足0≤τ(t)≤τ.σij(t,xj(t),xj(t-τ),xj(t-τ(t)))項是漂移系數(shù),并且是一個Borel可測函數(shù).ωj(t),j=1,2,…,n是定義在一個完備概率空間(Ω,F,P)上并且?guī)в幸粋€自然濾波{Ft}t≥0標量標準Brown運動.

E|x(t;φ)|2≤αe-βtE‖φ‖2+γ|u|2.

定義1.2假設矩陣D=(dij)n×n,其中dii>0,并且dij≤0,i≠j,i,j=1,2,…,n,那么以下3個條件任何一個都等價于“D是一個非奇異的M矩陣”[17-18]:

(i)D的所有順序主子式都為正;

(ii)D-1(D的逆矩陣)存在并且D-1≥0;

(iii) 存在一個正向量p使得Dp>0或者DTp>0.

為了得到主要結(jié)論,首先對方程(1)當中的系數(shù)函數(shù)作出一些常規(guī)的假設.此外,都假設這些系數(shù)函數(shù)在定義域當中都是Borel可測的.對i,j∈N?{1,2,…,n},假設以下條件都成立:

(H2) 激勵函數(shù)都是全局Lipshitz連續(xù)的,也就是說,存在正常數(shù)Li、Mi、Ni,使得對于任意的t∈[0,∞)和x,y∈R有

|fi(x)-fi(y)|≤Li|x-y|,

|gi(x)-gi(y)|≤Mi|x-y|,

|ki(x)-ki(y)|≤Ni|x-y|.

(H3)fi(0)=gi(0)=ki(0)=0,σij(0,0,0)=0.

(H4) 存在非負函數(shù)μij(t)和νij(t)使得

|σij(t,x,y)-σij(t,x′,y′)|2≤

μij(t)|x-x′|2+νij(t)|y-y′|2,

其中,x,x′,y,y′∈R.

為了方便計算,將要應用以下2個引理.

引理1.1[3]假設fj(x)是定義在R上的函數(shù),那么對于任給的aij,xj,yj∈R,i,j∈N,都有如下估計:

為了得到系統(tǒng)(1)的MSE-ISS,首先建立以下Halanay型非自治泛函微分不等式.

引理1.2設b∈(0,+∞),υi(t)∈C([0,b);R)是如下帶初值條件υi(t)∈PC([-τ,0];R),i∈N的泛函微分方程的解,且

qij(t)[υj(t)]τ]+Ii, t≥0,

(2)

其中D+(·)是函數(shù)(·)的右上Dini導數(shù)并且

pij(t)≥0,i≠j,

qij(t)≥0, Ii≥0,i,j∈N.

如果存在正常數(shù)λ使得

(3)

υi(t)≤ke-λt+I,t≥0,

(4)

其中初值函數(shù)滿足

υi(t)≤ke-λt+I,t∈[-τ,0].

(5)

證明為了獲得結(jié)果,這里令ui(t)=υi(t)-I,那么,根據(jù)(5)式可得

ui(t)≤ke-λt,t∈[-τ,0].

(6)

首先,將證明對于任給的正數(shù)ε和i=1,2,…,n有

ui(t)≤k*e(-λ+ε)ty(t),t≥t0

(7)

成立,其中k*=keετ.如果(7)式是不正確的,那么根據(jù)初始條件(6)以及ui(t)在區(qū)間[0,b)上的連續(xù)性,一定能找到一個常數(shù)t*>0和某個正整數(shù)m使得下面2式成立:

um(t*)=y(t*),D+um(t*)≥y′(t*), (8)

ui(t)≤y(t),t∈[-τ,t*],

i=1,2,…,n.

(9)

利用(2)式和(8)～(9)式有

D+um(t*)=D+υm(t*)≤

bmj(t*)([uj(t*)]τ+I)}+Im≤

bmj(t*)k*e(-λ+ε)(t*-τ)}+Im+

bmj(t*)k*e(-λ+ε)(t*-τ)}≤

-k*λe(-λ+ε)t*<

k*(-λ+ε)e(-λ+ε)t*=y′(t*),

(10)

這是與不等式(8)相矛盾的.因此(7)式對于任給的t≥t0都成立.最后,令ε→0,得到

ui(t)≤ke-λt,t≥0,i=1,2,…,n,

即

υi(t)≤ke-λt+I,t≥0,i=1,2,…,n.

證明完畢.

注1相比文獻[16]中的引理3.1,該引理中可控輸入項Ii和指數(shù)收斂率λ都是常數(shù).特別地,(3)式中不等號是“<”,而不能是“≤”.

2 主要結(jié)果

分析和研究FCNNs系統(tǒng)(1)的MSE-ISS性質(zhì).

定理2.1假設條件(H1)～(H4)都成立,并且存在正常數(shù)λ使得

其中

那么系統(tǒng)(1)是MSE-ISS的.

證明首先,構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù)

(13)

dVi(t,x(t))=LVi(t,x(t))dt+

Vix(t,x(t))σ(t)dω(t),

(14)

其中

進一步地,根據(jù)條件(H1)～(H4)以及引理1.1,得到It算子LVi(t,x(t))滿足

LVi(t,x(t))=2xi(t)[-di(t,xi(t))+

-2xi(t)di(t,xi(t))+2|xi(t)||Ii|+

-2xi(t)di(t,xi(t))+2|xi(t)||Ii|+

|gj(xj(t-τ(t)))-gj(0)|+

|kj(xj(t-τ(t)))-kj(0)|+

Nj|cij(t)|)-Li|aii(t)|-μii-

Hij(t)[Vj(t,x(t))]τ}+Ui,i,j∈N,

(15)

其中Tij(t)、Hij(t)是由(12)式?jīng)Q定的,且

根據(jù)文獻[6]中定理2,系統(tǒng)(1)有唯一的全局解x(t),并且EVi(t,x(t)),i∈N在t≥0上都連續(xù).另外,根據(jù)(14)式有

EVi(t+Δt,x(t+Δt))=

(16)

最后,假設

EVi(t,x(t))≤E‖φi‖2e-λt+U,t≥0, (17)

對于初值條件xi(?)=φi(?),?∈[-τ,0],可得

E‖φi‖2e-λ?, ?∈[-τ,0].

(18)

然后,由條件(11)和引理1.2,可得

EVi(t,x(t))≤E‖φi‖2e-λt+U,t≥0. (19)

結(jié)合(18)和(19)式得

αe-λtE‖φ‖2+γ|I|2,

(20)

為了研究系統(tǒng)(1)的MSE-ISS,假設以下條件：

那么,系統(tǒng)(1)是MSE-ISS的.

(22)

說明系統(tǒng)(1)是MSE-ISS的.證明完畢.

注2.1定理2.2是文獻[16]中推論2.1的推廣.事實上,文獻[16]中定理2.1是定理2.1的特殊情形,再加上條件(H5)和(H6)都成立,易得文獻[16]中的推論2.1.

3 數(shù)值仿真例子

例3.1考慮如下n=3時帶時變系數(shù)的FCNNs(1):

f1(x)=cosx,f2(x)=tanhx,

k1(x)=k2(x)=k3(x)=

另外,ω(t)是一個二維標準Brownian運動,系統(tǒng)(1)其他參數(shù)全部為零.

顯然地,當選取

時,條件(H1)成立.通過三角不等式

|cosu-cosv|≤|u-v|,

|tanhu-tanhv|≤|u-v|,

可得到f1、f2和f3都是全局Lipschitz連續(xù)的,而且可以求得Lipschitz常數(shù)為L1=L2=L3=1,同理可以得到

即說明假設(H2)成立.另外,假設(H3)顯然是成立的.此外,當取

時,條件(H6)成立.

當選擇λ=1.17時,可以很容易地計算得到,對于任意的t≥-2,有

因此,根據(jù)定理2.1(或者定理2.2),可得上述n=3的時滯FCNNs(1)是MSE-ISS的,并且指數(shù)收斂率為1.17.

致謝重慶郵電大學博士啟動基金(A2016-80)和重慶郵電大學大學生科研訓練計劃項目(A2017-71)對本文給予了資助，謹致謝意.