多元正態(tài)分布下的投資方案簡析

張伊寒 保定市第一中學(xué)

隨著我國綜合國力的增強(qiáng)，GDP不斷增長，我國人居收入在不斷的增加，越來越多的家庭有了更多的可支配資金。經(jīng)濟(jì)的轉(zhuǎn)型也使得人們的消費(fèi)觀念發(fā)生了改變，多種多樣的金融產(chǎn)品和理財(cái)方案的出現(xiàn)，促使著人們改變將多余的資金存入銀行的這種資金處理方式。股票、黃金儲蓄、國債和其他的金融衍生產(chǎn)品往往有著比儲蓄更高的收益，也是當(dāng)下最為熱門的投資方式。有需求就會有市場，投資公司如春筍般涌現(xiàn)。如何投資和如何分配投資資金，是人們最為關(guān)注的問題之一。本文將針對如何投資問題進(jìn)行討論。現(xiàn)在有一位投資這，他手中的資金為Q。他該怎么選擇怎樣的投資方式才更加合理，選擇怎樣的投資方案才能在風(fēng)險(xiǎn)相對較小而受益相對較高呢？

為了便于分析問題，我們首先選擇一種投資的單周期投資方式進(jìn)行討論，得到該種投資方式的收益。然后根據(jù)一種投資方式的結(jié)論延伸到多種投資方式的組合，最終得到最符合需求的投資方案的模型。

模型由淺入深，首先討論投資者在一個(gè)周期內(nèi)單種投資方式的收益。假設(shè)該投資者單周期投資的為黃金儲蓄[1]，投資者投資的資金在其總資金的比例為w，則投資黃金的資金為在t時(shí)刻，單位數(shù)量的黃金的價(jià)格為S(t)，可以知道購買的黃金的數(shù)量為表示從購入到經(jīng)過一個(gè)周期后，一份黃金價(jià)格。那么，在一個(gè)周期之后，投資者獲利為：

應(yīng)該注意的是，黃金的價(jià)格是隨市場變化的，價(jià)格可能有所升高，也可能降低，由此可知，對投資者來說，投資黃金得到的利益可能是正數(shù)，也可能是負(fù)數(shù)，即投資者可能賺了也可能虧了。不僅黃金儲蓄如此，類似股票等價(jià)格隨著市場變化的投資方式的收益都是可正可負(fù)的，這也就是我們所說的風(fēng)險(xiǎn)投資。

上文得到了具有風(fēng)險(xiǎn)的投資的一個(gè)周期中，單一種投資方式的期望收益，現(xiàn)在我們討論多種風(fēng)險(xiǎn)投資方式下一個(gè)周期后投資者能夠獲得的利益模型。在建立模型之前，首先規(guī)定模型中涉及到量的符號表示，我們用i代表投資者的第i種風(fēng)險(xiǎn)投資方式，用wi代表該在第i種風(fēng)險(xiǎn)投資方式下，投入的資金比例，Si(t)表示第i種投資產(chǎn)品在購入時(shí)刻的價(jià)格，Si(t+1)表示第i種投資產(chǎn)品在一個(gè)周期之后的價(jià)格。

文章中提到了資產(chǎn)組合，現(xiàn)在介紹資產(chǎn)組合和其表達(dá)形式。資產(chǎn)組合是資產(chǎn)持有者對其持有的各種股票、債券、現(xiàn)金以及不動(dòng)產(chǎn)進(jìn)行的適當(dāng)搭配。我們將投資者在多種投資方式中的投資比例用表達(dá)式w=(w1,w2,…,wi)表示，該表達(dá)式稱為資產(chǎn)組合的表達(dá)形式[2]。

我們已經(jīng)求得一種投資方式在一個(gè)周期后的收益模型，將該模型擴(kuò)展到多種投資方式中，再分別對各個(gè)投資的收益模型求和就可以得到投資者在多種投資方式下一個(gè)周期的收益模型為：

假設(shè)多種投資方式下一個(gè)周期的收益率為r(t)，則由上述模型可以得到收益率的表達(dá)式為：

經(jīng)驗(yàn)告訴我們，不要把雞蛋放在同一個(gè)籃子里。這是因?yàn)槎喾N投資方式的組合可以有效的規(guī)避投資的風(fēng)險(xiǎn)。投資的風(fēng)險(xiǎn)是不確定的，因此在本文中，我們假設(shè)投資的收益率是多元正態(tài)分布，也認(rèn)為所有的投資方式都是有風(fēng)險(xiǎn)的，均為風(fēng)險(xiǎn)投資（對于銀行儲蓄、債券等投資方式，也是一種風(fēng)險(xiǎn)投資，只不過我們認(rèn)為這類投資方式的賠的風(fēng)險(xiǎn)為0）。

接下來我們討論投資的風(fēng)險(xiǎn)性。利用Xi表示投資i在一個(gè)周期的收益率，那么就可以用表示投資的期望收益率。類似資產(chǎn)組合的表達(dá)形式，我們將投資的收益率向量和投資的期望收益率向量用以下表達(dá)式分別表達(dá)：

同時(shí)，利用方差和協(xié)方差的計(jì)算公式求的收益率的兩個(gè)方差表達(dá)式：

如果w=(w1,w2,…,wi)為該投資者的資產(chǎn)組合向量，那么多種投資方式的期望收益率可以表示為：

則，多種投資方式組合的收益率的方差為：

以上就是本文對多種投資方式在單一周期下的獲利和風(fēng)險(xiǎn)分析。根據(jù)單周期多投資方式的收益函數(shù)得到期望收益率和收益率的方差，投資者可以根據(jù)期望收益率和收益率方差選擇風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)行投資。由此可見本模型在金融類投資中有著不小的應(yīng)用。