對合情推理的思與行

嚴(yán)彪

[摘要]學(xué)生推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。由兩次“加法運算律”的對比教學(xué)得出，引導(dǎo)學(xué)生進行合情推理，培養(yǎng)學(xué)生思必有源、推必有理、言必有據(jù)的思維品質(zhì)，才能真正落實學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)。

[關(guān)鍵詞]加法運算律;合情推理;類比推理;歸納推理

[中圖分類號]

G623.5

[文獻標(biāo)識碼]A

[文章編號] 1007-9068（ 2019）35-0067-02

推理是由一個或幾個已知判斷（前提）推出新判斷（結(jié)論）。推理在數(shù)學(xué)中則更純粹、更直接，也更徹底，它是數(shù)學(xué)基本的，也是主要的思維方式，從這一角度來看，數(shù)學(xué)教學(xué)活動的過程可以視作數(shù)學(xué)推理教學(xué)的過程。

關(guān)于推理，依據(jù)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，其分類結(jié)果也各不相同。課程標(biāo)準(zhǔn)指出：推理一般包括合情推理和演繹推理。小學(xué)階段是學(xué)生推理能力發(fā)展與形成的重要時期，針對小學(xué)生的思維特征和數(shù)學(xué)知識的特點，小學(xué)數(shù)學(xué)中的推理及其教學(xué)具有一定的特殊性。

合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果。它是一種合乎情理的推理，常與感知、遷移、聯(lián)想和想象等心理活動相伴，其過程也體現(xiàn)思維的跳躍性和結(jié)論的或然性。因此，它不但是啟動和推進思維的小船，還能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律，給學(xué)生提供研究的線索和思路，從而猜想和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

【教學(xué)片段】加法交換律

第一次教學(xué)

師：28個男生跳繩，17個女生跳繩，跳繩的有多少人？解決這個問題時你是怎樣想的？

生1：把男、女生人數(shù)合起來，就是跳繩總?cè)藬?shù)。

師：能用數(shù)量關(guān)系式來表示解題思路嗎？

生2：男生跳繩人數(shù)+女生跳繩人數(shù)=跳繩總?cè)藬?shù)。

生3：女生跳繩人數(shù)+男生跳繩人數(shù)=跳繩總?cè)藬?shù)。

生4：男生跳繩人數(shù)+女生跳繩人數(shù)=女生跳繩人數(shù)+男生跳繩人數(shù)。

師：能列式計算嗎？

生5：28+17=45。

生6：17+28=45，即28+17=17+28。

師：你能再寫幾個這樣的等式嗎？（類比推理）

（學(xué)生匯報;教師評價學(xué)生寫出的等式）

第二次教學(xué)

師：還記得我們很小的時候是怎樣做加法的嗎？（如圖1）兩盤一共有多少個桃？

師：要求一共有多少個桃，我們常常是這樣數(shù)的。從左往右數(shù)，得到3+2=5;也可以倒過來數(shù)，得到2+3=5。你從中發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：3+2=2+3。

師：明明是交換加數(shù)的位置，為什么結(jié)果都不變呢？

生2：無論先數(shù)哪一堆，桃子總量保持不變。

師：（如圖2）改變數(shù)的先后順序，桃子的總量會不會變化呢？

生3：這回不用數(shù)，可以列式計算。28+17=45。

生4：17+28=45，即28+17=17+28。

師：（如圖3-1）如果桃子的數(shù)量再增加，多到數(shù)也數(shù)不清;（如圖3-2）或者是桃子的數(shù)量減少，少到只剩下零零碎碎的部分，還是求一共有多少個桃。數(shù)的順序改變，桃子的總量會改變嗎？

師：我們得出的幾道算式中，交換加數(shù)的位置后和不變。像這樣的情況，還能舉出別的例子嗎？

生5：3+2=2+3。

生6：28+17=17+28。

生7：1/2+1/4=1/4+1/2。

師：觀察、比較這些等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。

師：為了表示這無窮多的情況，可以用字母來表示。用a+b表示任意兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置就變成了b+a，結(jié)果不變。這條加法運算律就可以寫成a+b=b+a，它就叫作“加法交換律”。

【評析：類比推理簡稱類推、類比，是從特殊到特殊的推理。它是兩個或兩類對象在某些屬性相同或相似的前提下，通過比較而推斷出它們在其他屬性上也相同或相似的結(jié)論。上述的兩次教學(xué)都是在同類對象之間進行推理的，學(xué)生“再寫幾道這樣的等式”，都是以對象所具有的“兩數(shù)相加，交換位置”的共同屬性為前提，推出它們具有相同屬性，即“和不變”的結(jié)論。其中，第一次教學(xué)中的類比推理顯得層次單一，而第二次教學(xué)中的類比推理則從有限到無限，從整數(shù)到非整數(shù)，在都具有“兩數(shù)相加，交換位置”的共同屬性的前提下，推出它們都具有“和不變”的共同屬性。通過這樣層層遞進、螺旋上升的思維訓(xùn)練，學(xué)生自然而然地學(xué)會用推理去分析和解決問題。

類比推理在思維方面是橫向的，雖然推出的結(jié)論可能是或然的，但它有提供思路，進而引出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的效用。在教學(xué)活動中，學(xué)生常常需要聯(lián)系新舊知識的某些相同或相似之處進行類比遷移、自主探索。如蘇教版教材五年級下冊轉(zhuǎn)化策略中的要求“1/2+1/4+1/8+1/16”

的結(jié)果，就可以運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將其轉(zhuǎn)化為“把正方形看作單位‘1，求其中的涂色部分”來解決;求“15+16+17+18+19+20+21+22+23+24”這幾個連續(xù)自然數(shù)的和時，運用遷移的規(guī)律，將求“幾個連續(xù)自然數(shù)的和”轉(zhuǎn)化為求“上底15、下底24、高10的梯形的面積”。以上類比推理，都是在兩類不同對象具有“數(shù)列中各數(shù)之間有一定的規(guī)律”這一相似屬性的前提下，推出它們又都具有相同屬性——可以轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圖形面積的結(jié)論。】

【教學(xué)片段】加法結(jié)合律

師：之前是增加每堆桃的個數(shù)，如果增加桃子的堆數(shù)呢（如圖4）？

生1：28+17+23=68。

生2：17+28+23=68。

生3：28+（17+23）=68。

生4：17+23+28=68。

師：對于28+17+23=68和17+28+23=68，你有什么想法？

生5：結(jié)果相同，位置改變，說明加法交換律也適用于三個數(shù)相加。

師：對于28+（17+23）=68和17+28+23=68，你有什么想法？這樣兩個算式什么相同，什么又不同了呢？是什么變化了呢？

生6：多了小括號，順序就變了。先數(shù)前兩堆，或先數(shù)后兩堆，并不改變桃子的總量。

生7：不需要再計算，桃子的總量肯定不會變化，因為桃子的總數(shù)不會因為數(shù)的先后順序而發(fā)生變化。

生8：也就是說，像（28+17）+23=28+（17+23）這樣的算式，我們還可以寫出很多很多。

生9：如果用a+b+c來表示任意的三個數(shù)相加，那么改變運算的順序，結(jié)果不變。可以表示為（a+b）+c=a+（b+c），這個規(guī)律就叫作“加法結(jié)合律”。

師：加法交換律和加法結(jié)合律，統(tǒng)稱為“加法運算律”。

【評析：歸納是通過對某類事物中的若干特殊情形的分析得出一般結(jié)論的思維方法，歸納推理則是由特殊到一般的推理，是以個別對象的屬性為前提，推出此類對象一般屬性的結(jié)論。歸納推理都是以各自之前的每一個類比推理中具有特殊或個性屬性的結(jié)論為前提，得出具有一般和共性屬性的結(jié)論，即“兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”與“三個數(shù)相加，改變運算的順序，和不變”。而“加法運算律”也是對“加法交換律”和“加法結(jié)合律”的歸納概括。歸納推理又可以分為完全歸納推理和不完全歸納推理?！?/p>

【總評】

1.自主推理，替代被動接受

小學(xué)數(shù)學(xué)中有許多定理和規(guī)則。對于規(guī)則的教學(xué)，可以直陳其然，但對小學(xué)生來說，這是一種簡單的、被動的接受性學(xué)習(xí)。要有利于學(xué)生的認(rèn)知和思維的發(fā)展，就應(yīng)賦規(guī)則教學(xué)以理性思考。教師應(yīng)積極尋找和發(fā)掘教材中適合學(xué)生推理的內(nèi)容，善于引導(dǎo)學(xué)生從對象的現(xiàn)象到本質(zhì)進行思考和推理，或由因?qū)Ч?，或?zhí)果索因，并有意識地培養(yǎng)學(xué)生思必有源、推必有理、言必有據(jù)的思維品質(zhì)，使學(xué)生“在游泳中學(xué)會游泳”，在運用和思辨中發(fā)展能力，在感悟和積累中逐步形成關(guān)于推理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.借助推理，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

推理的過程常常伴隨著聯(lián)想和遷移等心理活動。開展推理活動，尤其是合情推理活動，也利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。讓學(xué)生在推理活動中憑借直覺、運用遷移、展開聯(lián)想、發(fā)揮想象，乃至突發(fā)靈感、達成頓悟，得出創(chuàng)新性的結(jié)論或觀點。雖然這些結(jié)論或觀點可能是粗糙的，但經(jīng)過一定的加工和完善，也許就成了學(xué)生學(xué)習(xí)中和思維上的金點子。

（責(zé)編金鈴）