尺規(guī)“三等分線段”集觀

☉中國農(nóng)業(yè)大學(xué)煙臺研究院 邢恩臻

尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖.尺規(guī)作圖是起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，只使用圓規(guī)和直尺，并且只準(zhǔn)許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題.這類作圖在現(xiàn)行數(shù)學(xué)課本中已經(jīng)淡化，有很多經(jīng)典的作圖退出了歷史的舞臺，相反，工具作圖得到了前所未有的推崇，當(dāng)然這是與時俱進(jìn)的調(diào)適，我們絕無反對之意，但尺規(guī)作圖是不是就應(yīng)該大量地削減？是不是沒有太大存在的必要了呢？

文［1］認(rèn)為：首先，尺規(guī)作圖和圖形運(yùn)動有密切的聯(lián)系，《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)圖形的運(yùn)動，包括平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等變換，尺規(guī)作圖是實現(xiàn)圖形運(yùn)動的極佳手段；其次，尺規(guī)作圖是一種學(xué)生實際執(zhí)行的操作，具有不可替代的直觀性；再次，尺規(guī)作圖是問題解決不可分割的一部分.

文［2］認(rèn)為：其一，通過作圖，學(xué)生可以把頭腦中零散的概念和幾何事實具體化、綜合化，從而更深刻地領(lǐng)會定理的真諦；其二，尺規(guī)作圖是其他復(fù)雜作圖的基礎(chǔ)，只有在尺規(guī)作圖上訓(xùn)練有素，才有可能掌握其他復(fù)雜的作圖方法；其三，尺規(guī)作圖要求學(xué)生按照步驟，一步步地去完成，訓(xùn)練了學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ鲬B(tài)度，這就是新課程所強(qiáng)調(diào)的，使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度等方面得到進(jìn)步和發(fā)展.

兩類觀點(diǎn)縱然不完全一致，但它們共同透射出尺規(guī)作圖在教學(xué)實踐中仍然有很重要的現(xiàn)實意義，尤其是尺規(guī)作圖本身的約束力，自然增強(qiáng)了智能挑戰(zhàn)性，它是體驗運(yùn)動、統(tǒng)攝知識、歷練學(xué)生思維非常有價值的舉措.

下面就對原有的一個退出尺規(guī)作圖要求的三等分線段問題，做一規(guī)整，把散亂的作法重新?lián)焓捌饋恚Ｍ芤鸶魑煌矢嗟乃伎?

作圖：把已知線段AB三等分.

一、教材之法（借力相似）

作法：如圖1.

（1）作直線AP；

（2）以A點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交AP于C點(diǎn)；

圖1

（3）以C點(diǎn)為圓心，AC長為半徑畫弧，交AP于D點(diǎn)；

（4）以D點(diǎn)為圓心，CD長為半徑畫弧，交AP于E點(diǎn)；

（5）連接BE；

（6）過D點(diǎn)作BE的平行線，交AB于M點(diǎn)；

（7）過C點(diǎn)作BE的平行線，交AB于N點(diǎn).

則M、N把線段AB分成三等份.

簡證：利用平行線等分線段定理得知：

AN∶NM∶MB=AC∶CD∶DE=1∶1∶1.

變式之法1：如圖2.

（1）過已知線段AB的端點(diǎn)A與B作一組不與AB重合的平行線m與n；

（2）在m上截取線段BC；

（3）在AB與C的異側(cè)直線n上，截取AD=2BC；

（4）連接CD，交AB于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為線段AB的一個三等分點(diǎn)；

（5）然后作AO的中垂線得AO的中點(diǎn)P.

證明：類似于上一證明，在此從略.

變式之法2：如圖3.

（1）以AB為邊作一個任意△ABC；

（2）取BC的中點(diǎn)D，連接AD；

（3）取AD的中點(diǎn)O，連接CO并延長與AB相交于點(diǎn)E；

（4）取BE的中點(diǎn)F.

則E、F就是AB的三等分點(diǎn).

簡證：如圖3，由作圖可知DF為三角形CBE的中位線，即DF∥OE，則△AOE △ADF，所以AO∶AD=AE∶AF.又O為AD的中點(diǎn)，即AO∶AD=1∶2，可知AE∶AF=1∶2，顯然AE=EF.又EF=FB，故AE=EF=FB.得證.

以上方法的理論依據(jù)是共性的相似或平行線截線段成比例的知識，屬于在教材中被淡化的部分.

圖2

圖3

二、借力重心

我們知道三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為重心，而重心有一個非常重要的性質(zhì)，即把中線分成1比2的兩部分，這一性質(zhì)為作三等分線提供了思路.

（1）如圖4，作線段AB；

（2）作線段MN使A為MN的中點(diǎn)，連接BM、BN；

（3）找出BM的中點(diǎn)E，連接NE交AB于G；

（4）找出GB的中點(diǎn)K.

則G、K將線段AB三等分.

簡證：直接根據(jù)三角形重心的性質(zhì)可知：BG∶AG=2∶1.又K為GB的中點(diǎn)，故有AG=GK=KB.得證.

圖4

圖5

三、借力等邊三角形

作法1：如圖5.

（1）以AB為邊作等邊△ABC；

（2）分別作角A、B的角平分線，兩線交于點(diǎn)O；

（3）分別作AO、BO的中垂線MP、NQ，依次交AB于點(diǎn)M、點(diǎn)N.

則點(diǎn)M、N即為AB的三等分點(diǎn).

簡證：連接OM、ON，不難證明△OMN為正三角形，即OM=MN=ON，另根據(jù)中垂線的性質(zhì)有OM=AM，ON=NB.所以AM=MN=NB.得證.

作法2：如圖6.

（1）以線段AB為邊，分別作上、下兩個正三角形ABC、ABD；

（2）連接CD，交AB于點(diǎn)O；

（3）分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心，以線段AO的長為半徑畫弧，在線段AD、BD上分別截取AE=BF=AO；（或者把第（2）步和第（3）步合為分別作AD、BD的中垂線，得其中點(diǎn)E、F）

（4）連接CE和CF，分別交線段AB于點(diǎn)M與點(diǎn)N.

則點(diǎn)M、點(diǎn)N即為線段AB的三等分點(diǎn).

圖6

簡證：連接OE，可證OE為三角形ADC的中位線，則有OE∥AC，OE=AC.所以△OEM △ACM，故OM∶AM=OE∶AC=1∶2.同理ON∶NB=1∶2.進(jìn)一步推知AM=MN=NB.得證.

4.借力塞瓦定理

作法：如圖7.

（1）作射線AP；

（2）在射線AP上截取AX1=X1X2=X2X；

（3）連接XB，作XB的中點(diǎn)M，連接AM；

（4）連接BX1、BX2，分別交AM于點(diǎn)M1、M2；

（5）連接并延長XM1、XM2，分別交AB于點(diǎn)B1、B2.

則B1、B2即為AB的三等分點(diǎn).

證明：根據(jù)塞瓦定理

圖7

由M為BX的中點(diǎn)，AX1=X1X2=X2X，得

進(jìn)而得知AB1=B1B2=B2B.

對中學(xué)生而言，想到這一方法的難度較大，證明也逾越了現(xiàn)行的課程標(biāo)準(zhǔn)，但擺出來認(rèn)識一下、探索一番，對培養(yǎng)學(xué)生的興趣及創(chuàng)新思維有很大的正向強(qiáng)化作用.

四、寫在最后

尺規(guī)三等分線段僅是等分線段中的一族，但它是等分線段一個突出的代表，對這一方法的探研將有效驅(qū)動我們動手與動腦的融合，是一種深層次的“做中學(xué)”，對幾何知識的理解有深化之用，同時，它凸顯出的思維張力與藝術(shù)魅力，將推動數(shù)學(xué)愛好者為之探索.誠如文［1］之言：尺規(guī)作圖是人類理性思維的瑰寶，科學(xué)和藝術(shù)的完美結(jié)晶，體現(xiàn)了“真善美”.