小網格，大容量
—— 品2018年天津市中考卷第18題第二問有感

☉天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學 劉家良

在正方形網格中畫出符合條件的點或線，是天津市中考卷第18題的命題點，此類題已歷7年，現已成為天津市中考卷的區(qū)域亮點.題設有兩問，第一問求線段長或角，主要圍繞勾股定理展開，比較簡單；第二問所涉及的知識面廣、思維靈活、難度大，對大多數的考生來講面臨的是一場“挑戰(zhàn)”，但若訓練有法還是可以戰(zhàn)勝的，同時開闊思維，提升素養(yǎng).

一、試題析解

（2018年天津中考題）如圖1，在每個小正方形的邊長為1的網格中，△ABC的頂點A、B、C均在格點上.

（Ⅰ）∠ACB的大小為______度.

（Ⅱ）在如圖所示的網格中，P是BC邊上任意一點.以點A為中心，取旋轉角等于∠BAC，把△ABC逆時針旋轉，點P的對應點為P′.當CP′最短時，請用無刻度的直尺，畫出點P′，并簡要說明點P′的位置是如何找到的（.不要求證明）

說明：天津中考卷共25題，從易到難按“7∶2∶1”的梯度來命題.此題的（Ⅱ）屬壓軸題，是“1”的成分.

解析1：由題意知，點P′是邊B′C′上一點，欲使CP′最短，根據垂線段最短的性質，可知CP′⊥B′C′.對此，先需找到點B、C的旋轉對應點B′、C′.由于旋轉中心為點A，旋轉角為∠BAC，易知點B的旋轉對應點B′在AC的延長線上且滿足B′C=2（B′C=AB′-AC=AB-AC=5-3=2）.由圖1獲悉點C的旋轉對應點C′應在點A的左側橫1×縱7的矩形對角線AK上，但點C′的位置又該如何確定呢？可過點B′向左數7格（需將現有網格向左增加一列），再向下數1格，得格點T，連接B′T交AK于點C′，則∠AC′B′=90°，如圖2.

圖1

圖2

現在“輪廓”有了，接下來應該考慮點P′的位置.由于CP′⊥B′C′，所以暫可把這個目標作為已知條件來對待，在圖2的基礎上標注CP′⊥B′C′，據此挖出所需的信息點.由CP′∥AC′，得△B′P′C △B′C′A，可得現在的困擾是點C′不是一個格點，即線段B′C′不是格點線段，這給找點P′帶來了新的“挑戰(zhàn)”，這需要我們往格點線段上轉化，即將點P′放置在B′T上.如圖3，由B′T=5，得TP′=B′T-B′P′=.至此，可借助構造相似形，找到點P′的位置.取格點S、R，連接SR，交格線于點G，再取格點Q，連接QG交B′T于點P′，則P′為所求點.確定點P′的位置還可將現有網格向上增加三行，過點C向左數1格，再向上數7格，得到格點R，連接CR交B′T于點P′.

點評：這種解法“中規(guī)中矩”，是由面到點的思維.先確定旋轉后的三角形，再根據垂線段最短的性質找到點P′，合乎常理.確定點C′的位置，因受網格中“列”數的局限而向左增加了1列網格；為尋求點P′的位置，將所達到的目標視為已知條件，畫草圖幫助尋找圖形之間的聯系，利用相似，展現了數與形融合的“風采”.借助網格中的垂直、平行的位置關系和度量性特征，通過觀察關系、數格等方式，減少了這類題的運算量，體現了這類題賦予的觀察、聯想與思考的價值所在.

圖3

圖4

解析2：由于點B′在AC的延長線上，且B′C的長度、∠B′的大小都是確定的，對此可嘗試著延長BC交∠B′的另一邊于點D，則△B′CD為直角三角形，且△B′CD△BCA，可得，即點D在BC的延長線上且，據此畫出點D的位置.由題意知CP′為邊B′D的高線.為探究未知與已知之間的聯系，可延長P′C交AB于點O，易證∠ACO=∠A，∠BCO=∠B，則AO=CO，CO=BO，于是AO=BP，即P′O平分AB.反過來，若P′O平分AB，就會有OP′⊥B′D，至此問題有了突破口.如圖4，取格點B′，連接B′C，取格點M、N、H、Q，連接MH、QN，MH交QN于點D，連接B′D，取格點E、G，連接EG，交AB于點O，連接OC，并延長OC交B′D于點P′，則P′即為所求點.

點評：尋找點P′的位置過程中，實則穿插了直角三角形的一個性質，如圖5，A、B分別是直角邊FC、EC延長線上的點，連接AB.若∠A=∠E，EH=FH，HC的延長線交AB于點K，則CK⊥AB.這個性質成為解此問的依據.透過這一解法，從中我們可獲得這樣的啟示：對教材中所涉及到的典型性圖形及其蘊含的結論要盡可能熟記于心，以便能在新的問題情境中進行聯想和遷移.

綜上，數格是找點畫線的頭道工序，當數格無濟于事時，可算畫并舉，可“先畫后算”和“先算后畫”，其中先畫后算的“畫”是指幫助分析問題時所畫的草圖，有助于求相關的線段或角，為畫規(guī)范的、準確的圖形做事先鋪墊，先算后畫的“畫”是指獲得數據后的畫圖.畫圖走過了一個先糙后精的辯證之路.算只是畫圖的一個輔助，而依靠觀察關系，數格是解這類題的常用之法，同時是這類題的命題價值所在.

圖5

二、“漸進”突破

網格雖小，但蘊藏的知識量大，思維具有廣闊性、深刻性和靈活形的特點.

循序漸進是獲取知識的重要原則.同樣突破此類題也要遵循這一“漸進”性原則，因為這類題隸屬壓軸題，具有較強的選拔功能.解決好此類問題需要學生具有扎實的圖形功底、有序化的訓練和戰(zhàn)勝險阻的毅力、靈活的思維，解好此類問題體現了由量變累積促成質變的過程.可分“三步走”：

1.熟悉網格特征，開啟思維之門

正方形網格的“背后”隱藏著哪些信息量呢？能解決什么問題呢？正方形網格中的橫線與橫線之間平行、縱線與縱線之間平行，這些習以為常的東西有時我們會熟視無睹，事實上這些位置關系蘊藏著可觀的價值，如：尋求以平行為特征的相似三角形；正方形網格中的橫線與縱線之間相互垂直，可構造直角三角形或矩形、正方形；網格中相鄰兩格點的長度單位為1，能解決橫、縱線段或對角線的長度；網格中的對角線平行或垂直，這些位置關系為解旋轉、平移、軸對稱等變換問題提供了條件支撐.簡而言之，網格為解題者提供了求線段長、周長和面積的條件，教材中也不乏這樣的題.

2.始于基本題型，摸索思維之路

從網格中的基本題入手，如求線段的幾等分點、作垂直、求網格中某些不規(guī)則圖形的面積等，這些基本題為破解綜合網格問題奠定了可遷移的思維路徑.

3.善于聯想遷移，形成轉化之法

以圖形的性質、判定為依據，對已做過的基本題中所涉及的圖形及結論熟記于心，同時以基本圖形為起點進行聯想，在遷移中逐步轉化所求的問題.

仍以2018年天津市中考卷第18題第二問為例，共同體驗一下通過“漸進”性方式突破此類題的解答歷程.嘗試著將該題“分解”成幾個子題，適時地布置給學生，通過不同階段的滾動性訓練、聚合，自然會通向該題的求解之路，這樣做能克服大部分學生一遇此類題就發(fā)憷的心里.

子題1：畫出旋轉后的圖形.

（1）如圖6，在每個小正方形的邊長為1的網格中，△ABC的頂點A、B、C均在格點上，將△ABC以點C為旋轉中心，逆時針旋轉90°.請在網格中畫出旋轉后的三角形.

（2）如圖7，在每個小正方形的邊長為1的網格中，△ABC的頂點A、B、C均在格點上，將△ABC以點A為旋轉中心逆時針旋轉，旋轉角為∠BAC.請在網格中畫出旋轉后的三角形.

圖6

圖7

意圖：第（1）題的旋轉角為90°，與網格中的垂直關系相吻合，教材中也不乏這樣的題，旨在起到“熱身”的效果；第（2）題的旋轉角使旋轉變得復雜些.兩題的訓練使學生對解旋轉問題有了基本的“套路”：找關系，數格子.

子題2：求比值或找格點等分線段.

（1）如圖8，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、B均在格點上，AB與網格線交于點C，則=______.

（2）如圖9，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點A、B均在格點上.請在線段AB上尋找一點P，使

圖8

圖9

意圖：通過子題2的訓練，使學生對解線段比的問題有了基本“套路”：將線段比的問題歸結為構造相似三角形的問題.如何構造？此時學生已有了解答的途徑（構造“A”字形或“X”字形）和思路的體驗.

圖10

子題3：畫點到直線的垂線段.

如圖10，在每個小正方形的邊長為1的網格中，△ABC的頂點A、B、C均在格點上，請在邊AB上找一點D，使CD長最短.

意圖：通過子題3的訓練，使學生對解最短問題有了基本“套路”：找垂直關系時需找關系，數格子.

通過對子題的漸進性訓練，為壓軸題的解答漸漸提供了方法和思想的力量——找關系，數格子，其中數格子用在構造相似、尋找垂直等方面，當數格子受到局限時需要計算為輔助.

網格題之所以在得分率較低的現狀中生存下來并成為全國中考題的一道亮麗風景，就是因為它題小而容量大、思維廣，會給那些愛好數學的學生提供寬廣的舞臺，“海闊憑魚躍，天高任鳥飛”的成長空間，踐行著“不同的人在數學上得到不同的發(fā)展”的理念.