注重知識形成過程的初中數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究

☉安徽省宣城市宣州區(qū)金壩中心初級中學(xué) 袁永春

建立在學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平與已有知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的數(shù)學(xué)教學(xué)才能令學(xué)生的思維更加活躍并積極參與到數(shù)學(xué)活動中，使學(xué)生能夠在自主探索與合作交流中對基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想與方法有真正的理解，在獲得豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上對數(shù)學(xué)知識的形成與本質(zhì)形成獨到而深刻的理解.因此，教師應(yīng)著眼于知識的形成、知識本質(zhì)的揭示及學(xué)生發(fā)散思維的訓(xùn)練進行有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué).

學(xué)生必然會興致倍增并積極開展探索活動.

圖2

一、再現(xiàn)知識的形成

初中學(xué)生的抽象思維能力比形象思維能力相對薄弱，教師應(yīng)關(guān)注到學(xué)生的這一認(rèn)知特點，并以學(xué)生已有知識為出發(fā)點再現(xiàn)知識的形成，引導(dǎo)學(xué)生在精心設(shè)計的多種教學(xué)手段中對知識形成的過程展開觀察、歸納與發(fā)現(xiàn)，幫助學(xué)生在教師的精心指導(dǎo)中獲得學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新能力的發(fā)展.

例如，教師在“多邊形內(nèi)角和定理”的教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生做如下思考：

首先出示△ABC，并引導(dǎo)學(xué)生對三角形內(nèi)角和定理進行有效回顧，然后在AC邊上取一點D并將點D向△ABC外移動，線段AD、CD出現(xiàn)，隱去線段AC得到四邊形ABCD，以此類推并最終得到如圖1所示的六邊形.過該六邊形的一個頂點作出其對角線并將其分割成四個三角形，六邊形的內(nèi)角和即為這四個三角形的內(nèi)角和之和.

啟發(fā)學(xué)生在以上思考的基礎(chǔ)上進行討論與交流，并使其在合作學(xué)習(xí)中歸納得出n邊形內(nèi)角和的計算方法.

教師接著可以這樣提問：如圖2，將圖2（1）中每個三角形的公共頂點A1（P）沿線段A1A2運動并形成圖2（2），大家能在這一變化中獲得求多邊形內(nèi)角和的不同方法嗎？或者，你們可還有更好的想法？大家都來試試.

圖1

二、揭示知識的本質(zhì)

教師在具體教學(xué)中，應(yīng)為學(xué)生多創(chuàng)造學(xué)生能夠積極參與的數(shù)學(xué)活動并引導(dǎo)學(xué)生進行歸納與總結(jié)，令數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)在學(xué)生的親身參與和深刻理解中獲得展現(xiàn).

例如，教師在“全等三角形”的教學(xué)中可以進行以下設(shè)計：

問題1：如圖3（1），已知AO=DO，BO=CO，求證：△ABC △DCB；

圖3

問題2：如圖3（2），已知AO=DO，BO=CO，BE=CE，求證：△ABE △DCE；

問題3：如圖3（3），已知AO=DO，BO=CO，BE=CF，求證：△ABE △DCE.

學(xué)生面對以上比較常規(guī)的問題都能解決得比較順利，教師可以在此基礎(chǔ)上啟發(fā)學(xué)生歸納與總結(jié)：大家能歸納出此類問題之間的規(guī)律呢？

學(xué)生在教師的啟發(fā)下立即開始了討論和動手操作，并歸納出了其中所隱含的圖形運動：將△ABE沿直線BC作平移即可得到圖3中的圖形.引導(dǎo)學(xué)生再次研究可得：將△ABE以過點A且垂直于BC的直線l為對稱軸并進行翻折（如圖4），將翻折后得到的△AFC平移即可得到圖3中的各個圖形.

圖4

進一步啟發(fā)學(xué)生：若要使△ABE沿直線l翻折后能直接得到以上圖形，我們應(yīng)該怎樣確定直線l的位置呢？

三、發(fā)散思維訓(xùn)練

1.圖形變式

對圖形進行適當(dāng)?shù)淖兪讲⒁龑?dǎo)學(xué)生重新思考往往能夠鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維能力.一般來說，圖形的變化包含特殊圖形一般化和整體固本這兩個方面，舍去圖形中的一些次要元素是整體固本這一圖形變化的主要思想.

例如，在圖5中，Rt△ACD是圖中涉及最多的圖形，若將另一半舍去，正方形ABCD中的結(jié)論PE+PF=AB還成立嗎？

圖5

圖6

變式1：如圖6，在等腰直角△ACD中，斜邊AC上任一點P到兩直角邊的距離之和為其一條腰的長.

變式2：如圖7，△ACD中，DA=DC，P是底邊AC上任意一點，過P作PE⊥AD，PF⊥CD，垂足分別為E、F，AH⊥CD于H，則PE+PF=AH.

圖7

圖8

變式3：如圖8，在等腰直角△ACD中，∠ADC=90°，點P是 三角形內(nèi)一點，且∠PDC=∠PCD=15°，則AP=AD.

2.多種證法

教師在具體教學(xué)中應(yīng)著眼于一題多證這一幾何的重要特點，引導(dǎo)學(xué)生對一題多證展開研究，這對于學(xué)生創(chuàng)新能力的發(fā)展來說極其重要.

例如，在變式2的解決中，可以引導(dǎo)學(xué)生從多個角度進行思考并證明：

思路1：延長法，即利用延長線將兩段或多段線段拼成一段并證明其相等.

分析1：如圖9，延長FP至點Q，使PE=PQ.易證△PAE△PAQ，則AQ⊥PQ，所以PE+PF=PQ+PF=QF=AH.

圖9

圖10

圖11

思路2：截短法，即將某一線段截短成兩段或多段，并根據(jù)其中明顯相等的線段來證明其他線段相等.

分析2：如圖10，與分析1證法相似.

思路3：面積法，即通過等面積法來探尋線段之間的關(guān)系.

分析3：如圖11，連接PD，利用S△ADC=S△DAP+S△DCP.

思路4：三角函數(shù)法，即利用直角三角形中的三角函數(shù)定義把邊和角聯(lián)系起來并進行關(guān)系的探尋.

分析4：如圖7，在Rt△AHC中=sin∠ACH，則AH=AC·sin∠ACH.

同理可得：

PE=PA·sin∠DAC，PF=PC·sin∠DCA.

又∠DCA=∠DAC，則PE+PF=AH.

評注：引導(dǎo)學(xué)生在多種證明方法的思考中激發(fā)出主動探索的意識并培養(yǎng)其創(chuàng)新意識與能力.

3.動手實驗

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容巧妙設(shè)計開放性問題，并引導(dǎo)學(xué)生親手實驗，能令學(xué)生的發(fā)散思維得到很好的鍛煉.

例如，請學(xué)生利用紙張折一折，并將等腰直角△ACD分成面積相等的五個部分，大家有多少種方案呢？

學(xué)生往往在合作實驗與探索中能夠獲得更多的分割方法（.圖略）

總之，教師只有讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，才會令學(xué)生的思考更加積極，才能令學(xué)生在大膽探索、猜想與嘗試中獲得真實、有效的學(xué)習(xí)效果.因此，教師一定要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容進行有意義的設(shè)計，并引導(dǎo)學(xué)生在不斷探索中不斷獲得新奇的發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生能夠在享受探索帶來的樂趣之時獲得學(xué)習(xí)的激情、深刻的理解、與日俱增的學(xué)習(xí)能力及學(xué)習(xí)的持久動力.F