函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)要基于整體視角下的設(shè)計(jì)
——以二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)為例

☉浙江省臺(tái)州市白云中學(xué) 張安軍

☉浙江省臺(tái)州學(xué)院附中 蔣華靈

有幸參與某學(xué)校教學(xué)開放周活動(dòng)，聆聽了九年級(jí)兩位老師的同課異構(gòu)，課題是人教版“二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)”第1課時(shí).這兩位老師的課大致是這樣的，先回顧二次函數(shù)的定義，然后提出問題，接下來是研究什么以及如何研究，當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，類比正比例、一次函數(shù)的研究思路，引入課題.課中兩位老師又回顧用描點(diǎn)法畫函數(shù)圖像的一般步驟，然后從特殊到一般，從具體的二次函數(shù)（如y=x2等）的圖像觀察中得出性質(zhì).從中可以發(fā)現(xiàn)兩位老師都非常重視y=ax2圖像研究的方法和思路，重視y=ax2的圖像的畫法和性質(zhì)的得出.但對(duì)于函數(shù)的解析式、列表沒有足夠的重視.y=ax2的圖像和性質(zhì)的得出邏輯起點(diǎn)應(yīng)在哪里？什么是函數(shù)的性質(zhì)？函數(shù)性質(zhì)難道一定從圖像觀察中得知嗎？其實(shí)函數(shù)圖像的性質(zhì)要基于整體視野下思考，即要從解析式、表格、圖像詮釋二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì).為此筆者進(jìn)行了一次教學(xué)實(shí)踐，以二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)為例，立足于函數(shù)的解析式，這是研究函數(shù)性質(zhì)的邏輯起點(diǎn)，從解析式猜想圖像的大致形狀和變化趨勢(shì)；從表格中觀察函數(shù)的變化特點(diǎn)，感悟局部對(duì)稱；在圖像中揭開函數(shù)性質(zhì)神秘的面紗.讓學(xué)生在研究函數(shù)性質(zhì)的過程中，猶如欣賞美景，從不同的視角得到不同的景色，豐富了函數(shù)性質(zhì)的認(rèn)識(shí).

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì).

2.內(nèi)容解析

二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是繼一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)探索之后又一個(gè)典型的函數(shù)圖像和性質(zhì)，探索二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)能加深對(duì)二次函數(shù)的理解，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是運(yùn)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的必要準(zhǔn)備.

本課重點(diǎn)探索二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)，它是本章知識(shí)的核心，也是后繼更一般情形下二次函數(shù)圖像和性質(zhì)得出的關(guān)鍵.

y=ax2（a≠0，以下類同）的圖像和性質(zhì)突出了從數(shù)到形的合情推理，即由具體的y=ax2出發(fā)，考慮自變量的取值范圍，分析x、y的對(duì)應(yīng)變化關(guān)系，然后猜想函數(shù)圖像的大致位置和圖像的趨勢(shì)，進(jìn)一步由列表時(shí)表格中的有限對(duì)數(shù)值猜想y=ax2圖像的對(duì)稱性和增減性，在猜想之后進(jìn)行畫圖驗(yàn)證，在這個(gè)過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、推理思想.通過對(duì)y=ax2二次項(xiàng)系數(shù)a的正、負(fù)性分類，觀察幾個(gè)具體二次函數(shù)y=ax2的圖像，逐步歸納得出y=ax2的圖像和性質(zhì)，這一過程是對(duì)y=ax2的圖像和性質(zhì)的認(rèn)識(shí)逐步理性化的過程，也是體驗(yàn)如何研究函數(shù)性質(zhì)的一般思路和方法.

一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)有相似之處，但這種相似之處更體現(xiàn)在函數(shù)研究的思路、研究的內(nèi)容和研究的方法的一般觀念上.二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)的得出比較抽象，但抽象的思維要基于具體的事例，可以先從具體的y=x2等圖像觀察，由部分圖像推測(cè)整體，由點(diǎn)到形，由特殊到一般研究整體，感悟研究函數(shù)圖像的一般觀念.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

（1）掌握y=ax2的圖像和性質(zhì)；

（2）在探索y=ax2的圖像和性質(zhì)過程中，發(fā)展學(xué)生的推理思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類思想，在觀察比較y=ax2的圖像和性質(zhì)的過程中，發(fā)展學(xué)生的抽象和概括能力.

2.目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)a取不同的數(shù)值，能判斷二次函數(shù)y=ax2的圖像開口方向、對(duì)稱軸直線（頂點(diǎn)坐標(biāo)）和增減性.

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)a取具體的數(shù)值，學(xué)生根據(jù)解析式合理估計(jì)圖像的大致形狀，在列表取值中對(duì)表格中的數(shù)對(duì)能進(jìn)行對(duì)稱性、增減性的猜想和估計(jì)，在觀察比較的基礎(chǔ)上能概括二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì).

三、教學(xué)問題診斷分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)及其圖像和性質(zhì)，對(duì)于如何用描點(diǎn)法畫圖，如何觀察，歸納一次函數(shù)圖像的特征，積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，但是二次函數(shù)的圖像研究過程比一次函數(shù)的圖像研究過程更復(fù)雜.由于二次函數(shù)圖像是非線性的，具有增減性、開口方向和對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等，性質(zhì)比一次函數(shù)更復(fù)雜，學(xué)習(xí)相隔的時(shí)間也較長(zhǎng)，從具體的二次函數(shù)圖像特征抽象和概括出二次函數(shù)更普遍的性質(zhì)，蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想，如分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、變化和對(duì)應(yīng)思想等，這要求學(xué)生有較強(qiáng)的綜合能力.

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：掌握y=ax2的圖像和性質(zhì).

本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：探索和歸納y=ax2的圖像和性質(zhì).

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.復(fù)習(xí)回顧，引入課題

回顧：請(qǐng)同學(xué)們回顧什么是二次函數(shù).

問題1：類比一次函數(shù)的研究，你認(rèn)為二次函數(shù)接下來要研究什么？研究的一般步驟和方法是怎樣的？

追問1：在研究一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)時(shí)，從特殊到一般，先研究正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì).在研究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)時(shí)，先要研究怎樣的二次函數(shù)解析式的圖像和性質(zhì)？為什么？

追問2：研究正比例函數(shù)y=kx的圖像和性質(zhì)時(shí)，研究思路是先對(duì)k的正、負(fù)性分類取特殊數(shù)值，用描點(diǎn)法畫圖，再觀察歸納.對(duì)于y=ax2的圖像和性質(zhì)，你認(rèn)為研究思路是怎樣的？

師生活動(dòng)：教師先回顧二次函數(shù)的定義，然后師生共同寫出二次函數(shù)的一般形式：y=ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，且a≠0），類比一次函數(shù)的研究，提出二次函數(shù)接下來要研究的內(nèi)容，師生共同得出研究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，教師追問，先研究怎樣的二次函數(shù)解析式的圖像和性質(zhì)呢？當(dāng)學(xué)生有困難時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)的研究，從特殊到一般，先研究正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，這樣師生明確研究的主題是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧一次函數(shù)的研究思路、研究?jī)?nèi)容和研究方法，發(fā)揮先行組織者的作用，明確二次函數(shù)應(yīng)研究什么和怎樣研究，為明晰本節(jié)課學(xué)習(xí)的線索和內(nèi)容做好鋪墊.

2.探究y=ax2的圖像和性質(zhì)

問題2：我們先探究特殊的二次函數(shù)，如y=x2，你們打算怎樣研究y=x2的圖像和性質(zhì)呢？

追問1：觀察函數(shù)解析式y(tǒng)=x2的特征，你能大致想象該函數(shù)圖像的形狀嗎？

追問2：根據(jù)自變量x的取值和相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y，你能預(yù)測(cè)x、y的變化趨勢(shì)嗎？

師生活動(dòng)：教師提問學(xué)生：從哪一個(gè)具體的y=ax2開始呢？師生總結(jié)：基于簡(jiǎn)單的原則考慮，a取1.有了具體二次函數(shù)y=x2后，準(zhǔn)備如何研究這個(gè)函數(shù)的圖像和性質(zhì)呢？學(xué)生回答先列表、描點(diǎn)、連線得到圖像，此時(shí)，教師指出，先停下來觀察函數(shù)解析式y(tǒng)=x2，考慮自變量x的取值，分析對(duì)應(yīng)y的值，想象它的圖像有哪些特征和變化趨勢(shì).

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生在用描點(diǎn)法畫圖前，先根據(jù)解析式的特點(diǎn)，發(fā)揮函數(shù)解析式的價(jià)值作用，從數(shù)到形合情推理，預(yù)測(cè)二次函數(shù)的圖像特征，發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、運(yùn)算、推理和空間想象能力.

問題3：對(duì)y=x2列表如下：

表1

（1）根據(jù)表格中的數(shù)對(duì)，你能進(jìn)一步驗(yàn)證問題2中所提出的猜想嗎？

（2）根據(jù)表格中數(shù)對(duì)的特點(diǎn)，你還能提出哪些猜想？

近年來，山西省委認(rèn)真落實(shí)意識(shí)形態(tài)工作責(zé)任制，不斷加強(qiáng)對(duì)宣傳思想工作的領(lǐng)導(dǎo)，使全省意識(shí)形態(tài)領(lǐng)域形勢(shì)發(fā)生了重大而深刻的變化。面對(duì)新的形勢(shì)、新的任務(wù)、新的挑戰(zhàn)，各級(jí)黨委（黨組）要把意識(shí)形態(tài)工作責(zé)任制切實(shí)落到實(shí)處，切實(shí)擔(dān)負(fù)起政治責(zé)任和領(lǐng)導(dǎo)責(zé)任。主要負(fù)責(zé)同志要帶頭把方向、抓導(dǎo)向、管陣地、強(qiáng)隊(duì)伍，層層傳導(dǎo)壓力。要?jiǎng)?chuàng)新領(lǐng)導(dǎo)方式，跳出傳統(tǒng)陳舊套路，善用各種宣傳工具和渠道，講究藝術(shù)、抓住關(guān)鍵，牢牢掌握主動(dòng)權(quán)。要夯實(shí)基層基礎(chǔ)，充實(shí)基層宣傳思想工作力量，完善各種保障，打牢黨的執(zhí)政根基。要堅(jiān)持全黨動(dòng)手，真正形成黨委統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)、黨政齊抓共管、宣傳部門組織協(xié)調(diào)、有關(guān)部門分工負(fù)責(zé)的大宣傳工作格局。

師生活動(dòng)：當(dāng)學(xué)生列表取值完成后，教師引導(dǎo)學(xué)生不要急于描點(diǎn)、連線、畫圖，再次放慢腳步，停下來觀察表格中的數(shù)對(duì)，驗(yàn)證單純依據(jù)解析式所得到的猜想.然后基于表格中的數(shù)對(duì)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，學(xué)生發(fā)現(xiàn)表格中的數(shù)對(duì)（-5，25）和（5，25）以及（-4，16）和（4，16）等，展開想象，猜想二次函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是y軸，教師不失時(shí)機(jī)追問：“難道這一切，正如你們所預(yù)料的嗎？有沒有意外呢？”引導(dǎo)學(xué)生畫圖，在期待中揭開二次函數(shù)圖像神秘的面紗.

設(shè)計(jì)意圖：從解析式到列表取值，從模糊的估計(jì)到表格定量的刻畫，學(xué)生經(jīng)歷觀察、想象、操作驗(yàn)證.培養(yǎng)學(xué)生有條理地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的問題意識(shí).基于具體表格中的數(shù)對(duì)，這樣開放性的設(shè)計(jì)，既讓學(xué)生有根據(jù)地提出問題，又能合理地驗(yàn)證自己提出的問題，同時(shí)為后繼畫圖做好鋪墊.

問題4：在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，繼續(xù)畫出y=0.5x2、y=2x2的圖像，上述得出的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是否成立？

追問1：y=x2、y=0.5x2、y=2x2，這些拋物線有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

追問2：是不是所有的二次函數(shù)y=ax2（a＞0）的圖像和性質(zhì)都具有這樣的特征呢？

師生活動(dòng)：讓學(xué)生獨(dú)立畫出y=x2后，驗(yàn)證對(duì)稱性和增減性等.然后同桌繼續(xù)合作畫出y=0.5x2、y=2x2的圖像，然后追問學(xué)生：還要不要再畫圖像呢？當(dāng)學(xué)生回答不要畫時(shí)，教師繼續(xù)追問，讓學(xué)生概括二次函數(shù)y=ax2（a＞0）的圖像和性質(zhì)（從具體到抽象概括）.

設(shè)計(jì)意圖：一方面，讓學(xué)生親身經(jīng)歷畫圖，感悟圖像和性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、猜想、驗(yàn)證、概括過程，發(fā)展學(xué)生的歸納概括能力、合情推理能力；另一方面，用幾何畫板展示a（a＞0）變化時(shí)多個(gè)不同的拋物線.感悟動(dòng)態(tài)的變化，進(jìn)一步驗(yàn)證a＞0時(shí)拋物線的圖像和性質(zhì).

問題5：上面研究了y=ax2（a＞0）的圖像和性質(zhì)，你能獨(dú)立研究a＜0嗎？如何展開研究？

追問1：不畫圖像，你能猜想y=-x2和y=x2圖像之間的關(guān)系嗎？

追問2：請(qǐng)你歸納y=ax2（a＜0）的圖像和性質(zhì).

追問3：你能進(jìn)一步總結(jié)y=ax2的圖像和性質(zhì)嗎？

師生活動(dòng)：當(dāng)學(xué)生研究了y=ax2（a＞0）的圖像和性質(zhì)后，教師追問接下來還要研究哪一類函數(shù)，如何研究y=ax2（a＜0）的圖像和性質(zhì).在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生明確研究二次函數(shù)的一般步驟，在學(xué)生畫圖之前，教師讓學(xué)生又一次停下來思考：y=-x2和y=x2圖像之間的位置關(guān)系是怎樣的？為了驗(yàn)證猜想，引導(dǎo)學(xué)生分組畫出y=-x2、y=-0.5x2、y=-2x2的圖像，再用幾何畫板把y=x2的圖像旋轉(zhuǎn)180°或者關(guān)于x軸對(duì)稱，進(jìn)行驗(yàn)證，最后總結(jié)y=ax2的圖像和性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在教師的引導(dǎo)下完成了y=ax2（a＞0）的圖像和性質(zhì)，在這個(gè)研究過程中，學(xué)生積累了基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，然后把這種基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)遷移到y(tǒng)=ax2（a＜0）的圖像和性質(zhì)中，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法.

3.例題講解，學(xué)以致用

問題6：解決下列問題：

例1已知拋物線y=mx2經(jīng)過點(diǎn)A（-2，-8）.

（1）求此拋物線的函數(shù)解析式，并判斷該函數(shù)存在最大值還是最小值；

（2）點(diǎn)M（2，-8）是否在此拋物線上？

（3）求出此拋物線上縱坐標(biāo)為-6的點(diǎn)的坐標(biāo).

練習(xí)1：（1）二次函數(shù)y=-2x2的圖像是一條開口____的拋物線，對(duì)稱軸是直線______，頂點(diǎn)坐標(biāo)是______，當(dāng)x取______時(shí)，y有最______，該最值為______.

（2）若點(diǎn)A（x1，y1）和B（x2，y2）在拋物線y=2.5x2上，當(dāng)x1＞x2＞0時(shí)，y1______y2；當(dāng)x1＜x2＜0時(shí)，y1______ y2.

4.回顧與小結(jié)

問題7：請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，思考以下問題：

（1）二次函數(shù)y=ax2的圖像是什么樣子的？

（2）二次函數(shù)y=ax2中的a在函數(shù)圖像中起什么作用？

（3）如果要繼續(xù)研究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，應(yīng)該怎樣研究？

五、教學(xué)反思

筆者在中國(guó)知網(wǎng)上查閱近6年“二次函數(shù)y=ax2的圖像和性質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)”的相關(guān)案例，得到文獻(xiàn)［1］~［5］，教學(xué)設(shè)計(jì)和上述三位老師非常類似，注重函數(shù)研究整體的套路，即研究什么，怎樣研究，注重課堂形式，淡化數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì).什么是二次函數(shù)？有的教師認(rèn)為二次函數(shù)的一般式：y=ax2+bx+c就是二次函數(shù)，作為教師，這樣的認(rèn)識(shí)有片面之嫌，一般式僅是二次函數(shù)的一種表達(dá)方式而已，對(duì)于二次函數(shù)還有列表、圖像，對(duì)于二次函數(shù)應(yīng)有一個(gè)整體觀，即解析式、列表和圖像.研究二次函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，要基于解析式、列表、圖像三個(gè)層面加以綜合考慮，這三者既有聯(lián)系又有區(qū)別，既有自身的優(yōu)點(diǎn)也有缺點(diǎn).在教學(xué)中不要過分偏重二次函數(shù)的圖像，誤認(rèn)為二次函數(shù)的性質(zhì)一定要基于圖像觀察得知，其實(shí)不然，由函數(shù)解析式想象函數(shù)的圖像和性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)研究函數(shù)圖像的基本思路，這種想象基于解析式到圖像的聯(lián)想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、幾何直觀都有獨(dú)特的教育價(jià)值.同樣在函數(shù)列表中也蘊(yùn)含著豐富的教育資源，如進(jìn)一步驗(yàn)證自己從解析式聯(lián)想圖像的猜想，由于函數(shù)的對(duì)稱性不易發(fā)現(xiàn)，也可引導(dǎo)學(xué)生通過表格發(fā)現(xiàn)數(shù)字變化的規(guī)律，再進(jìn)一步提出自己的猜想.相反二次函數(shù)的圖像就如同蓋著紅布的新娘，至于新娘的音容笑貌很早就在新郎的夢(mèng)想里千萬(wàn)次的尋思，同樣函數(shù)的圖像很早就在學(xué)生思維的勾勒中逐漸豐滿.畫圖像無非是再次驗(yàn)證自己的猜想和整體感知、抽象概括的能力體現(xiàn)，因此教師在函數(shù)圖像教學(xué)中，認(rèn)知的邏輯起點(diǎn)基于解析式，由式中數(shù)字對(duì)應(yīng)變化關(guān)系想象它的形狀，由表格中的數(shù)對(duì)再次驗(yàn)證、質(zhì)疑和重新提出猜想，圖像僅是最后出場(chǎng)的“伊人”.教師要在教學(xué)過程激起對(duì)“伊人”的向往和追求，感受數(shù)學(xué)之美、之情.