趣而有味 厚而有用
——“烙餅問題”教學實踐與思考

安徽合肥市廬陽區(qū)教研室 李玲玲

“烙餅問題”是人教版小學數(shù)學四年級上冊“數(shù)學廣角”的內(nèi)容。安排這一內(nèi)容主要是通過生活中烙餅這一簡單事例，讓學生嘗試從優(yōu)化的角度在解決問題的多種方案中尋找最優(yōu)方案，初步體會運籌思想在實際生活中的應(yīng)用。優(yōu)化問題是我們生活中經(jīng)常遇到的問題，這節(jié)課顯而易見的目標是要討論烙餅時怎樣操作最節(jié)省時間，通常的教學思路是先提出問題，再通過動手操作和交流探索去解決問題，直至發(fā)現(xiàn)規(guī)律，最后建構(gòu)模型。但是，這樣的規(guī)劃思路突出的是發(fā)現(xiàn)規(guī)律和建構(gòu)模型，而帶來的后果則是數(shù)學味太濃，實踐味不足。烙餅這一問題情境只是借以發(fā)現(xiàn)規(guī)律的跳板，而當規(guī)律“水落石出”的時候，它就完成了使命，退居幕后了，留下的卻是干癟而抽象的數(shù)學規(guī)律和公式。然而，我們不要忘了，作為數(shù)學實踐活動的烙餅問題應(yīng)該有它特殊的要求，在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中明確指出：“要讓學生經(jīng)歷有目的、有設(shè)計、有步驟的綜合與實踐活動，積累數(shù)學活動經(jīng)驗?！币簿褪钦f積累數(shù)學活動經(jīng)驗應(yīng)該是處在第一位的目標，所以，在探究烙餅問題的過程中，我們雖然要用數(shù)學的方法去研究，并最終用數(shù)學的語言去表達，經(jīng)歷一個將現(xiàn)實問題數(shù)學化的過程，但是，這樣的過程始終沒有脫離生活經(jīng)驗，始終與生活實際休戚相關(guān)，對于烙餅方法不能簡單地訴求于最節(jié)省時間，而更要考慮最省事、最省力等生活實際習慣。這個過程是“運籌思想”的領(lǐng)悟過程，更是優(yōu)化應(yīng)用的經(jīng)驗積累過程。

基于以上考慮，筆者在設(shè)計這一課教學時，沒有把著力點放在抽象出數(shù)學規(guī)律，甚至建構(gòu)出數(shù)學公式上，而是還原它的生活厚度，著重體現(xiàn)如何讓學生真正感受到“運籌思想”的價值所在，體會到數(shù)學有用，數(shù)學有味，數(shù)學有溫度。

一、妙趣橫生，熔鑄數(shù)學味與生活味

學生的數(shù)學學習內(nèi)容應(yīng)當是現(xiàn)實的、有趣的和富有挑戰(zhàn)性的。越是貼近生活實際的問題，就越能激發(fā)學生的學習興趣，所以問題的現(xiàn)實性是激發(fā)興趣的基礎(chǔ)。但是，在學習的過程中，如何保持興趣，讓學生始終能夠積極投入，參與其中呢？這就要靠問題的挑戰(zhàn)性，要有探究的深度和廣度，引領(lǐng)學生深入其中，愈變愈奇，愈探愈妙，讓他們感受到發(fā)現(xiàn)的樂趣。所以，問題的挑戰(zhàn)性和數(shù)學味是充滿妙趣的根本原因。

1.以生活所需和模擬操作突出生活味

要讓學生充滿興趣地參與到活動中來，選擇恰當?shù)膯栴}情境是關(guān)鍵，同時，這樣的問題情境又能夠讓學生積極地動手、動腦，注重學生的實踐感受，體現(xiàn)學生的全程參與。

【片段一】

烙餅，你們見過嗎？

學校附近新開了一家烙餅店，生意好得不得了。這不，人手不夠了實在忙不過來，店里需要請幾位烙餅小幫手。你們覺得這請的幫手該是什么樣的？（勤快、麻利、聰明……）

的確，老板和你們想的一樣。為了選到合適的幫手，老板就考了大家一個“烙餅問題”，你們想試試嗎？

（呈現(xiàn)烙餅要求：每次最多只能烙兩張餅，兩面都要烙，每面3分鐘）

引導：請說說你對這幾句話的理解。

提問：行，要求明確了，考核開始。烙熟1張餅，需要幾分鐘？

操作：用圓片當餅，動手烙一烙。1-2-3，1-2-3，烙好了就立即舉手說“完工”。

史寧中教授指出：“我們必須清楚，世界上很多東西是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷?！边x擇學生熟悉的“烙餅店”招手腳麻利的小幫手為引入，是基于生活所需而產(chǎn)生的，真實而自然。為每個學生準備學具“鍋”和“餅”，讓學生在“1-2-3”的烙餅聲中，動手做，動腦思。趣味盎然地操作體驗，把靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化成活動狀態(tài)，賦知識以“生命”，激發(fā)學生主動參與、主動思考。

2.以數(shù)學符號和語言表達突出數(shù)學味

在問題情境引領(lǐng)下，學生積極參與、動手實踐，并將自己的發(fā)現(xiàn)用語言表達出來，在比較和分析過程中，抽象出數(shù)學符號，最終發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，從而經(jīng)歷一個數(shù)學化的過程。

【片段二】

（在發(fā)現(xiàn)2張餅和3張餅的烙法之后）

思考：如果烙4張、5張餅，或者更多的餅，怎樣烙最節(jié)省時間？（要求：不用學具，獨立思考，在練習本上畫畫寫寫，把你的方案用喜歡的方式表示出來。）

（1）雙數(shù)張餅

烙4張餅：交流得出烙4張餅都是轉(zhuǎn)化成2和2解決的。

（若有3+1，對比交流，沒有最好，只有最適合）

類推：除了4張餅，你認為還有幾張餅也能像這樣兩張兩張的同時烙？（雙數(shù)張餅）

小結(jié)：交流中引導小結(jié)出烙雙數(shù)張餅的最優(yōu)方案。

（2）單數(shù)張餅

思考：解決了雙數(shù)張餅的問題，那單數(shù)張餅呢？

①5張餅

交流：交流中引導對“2+2+1”烙法評價：你們認為這會是最節(jié)省時間的方案嗎？

強化：只要鍋里一次只烙1張餅，就肯定不省時

思考：5張餅，怎樣烙才最節(jié)省時間？（把5轉(zhuǎn)化2和3）。

小結(jié)：看來，烙餅的數(shù)量越來越多，我們只要利用已有經(jīng)驗，進行合理組合、合理安排就可以啦！

②7張餅

明確：7張餅，你打算怎么組合？

轉(zhuǎn)化為一個3和兩個2，這種方法最節(jié)省時間。

學生已經(jīng)能夠?qū)?張餅和3張餅的烙法遷移到4張、5張、7張餅之中，從而透過烙餅活動的表象，發(fā)現(xiàn)蘊含其中的數(shù)學規(guī)律。并將餅數(shù)歸納為雙數(shù)和單數(shù)兩種，體現(xiàn)數(shù)學的分類思想，也是為了方便總結(jié)“運籌思想”在烙餅問題上的具體方法。用“2+2”和“2+3”這樣的數(shù)學的符號來表達烙餅方法，進一步完成對“運籌思想”的數(shù)學表達。

二、厚積薄發(fā)，體味實用性與廣泛性

通過烙餅問題，并在一系列的探究實踐活動中，最終要總結(jié)出的方法或規(guī)律是以數(shù)字加算式這樣簡單而抽象的數(shù)學符號來總結(jié)概括的，這是數(shù)學“厚積薄發(fā)”的必然結(jié)果。但是，這樣的方法或規(guī)律要應(yīng)用到生活中去才能實現(xiàn)它的真正價值，從而讓學生體會到數(shù)學不僅有趣，而且有用。

1.從生活習慣體味有溫度的實用性

數(shù)學的實用價值并不是體現(xiàn)在解決一道道練習題上，而是體現(xiàn)在能夠解決生活中的實際問題，與生活息息相通，并且能夠根據(jù)生活的實際需要以及人們的生活習慣而加以靈活運用。

【片段三】

（烙9張餅）

交流：方法多樣化。

對比：雖然兩種方法都要27分鐘，可是結(jié)合實際考慮，你們會選擇哪種方案？

（組織對“3+3+3”和“2+2+2+3”烙法進行評價）

明確：9張餅，轉(zhuǎn)化一個3和三個2，這種方法既節(jié)省時間，又省事、省力。

在探索9張餅的烙餅方法時，出現(xiàn)了“3+3+3”和“2+2+2+3”兩種烙餅方法，雖然它們用時都是27分鐘，從省時的角度看，兩種方法并沒有區(qū)別。可是，從生活習慣的角度看，又存在著既要考慮“省時”，還要考慮“省事”“省力”等實際情況。如果僅從純數(shù)學的角度看，省時似乎是唯一的訴求，但是忽略了生活習慣和實際需求的省時未免過于僵化，因為也失去了數(shù)學背后的生活厚度。而當學生選擇“2+2+2+3”這一烙餅方法時，這樣的數(shù)字背后就蘊含著更多的生活內(nèi)涵，也就充滿了生活的底蘊，賦予了它鮮活的生命，還原了其應(yīng)有的溫度。

2.從引申拓展感受應(yīng)用的廣泛性

要讓學生感到數(shù)學有用，就必然要談到數(shù)學應(yīng)用意識的培養(yǎng)，對此，《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年級）》指出：“要有意識利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題。”當然，學生的數(shù)學學習與生活實際之間可能存在著距離，所以，要有意識地引導學生從數(shù)學回歸生活，運用數(shù)學的眼光去觀察周圍世界，盡量設(shè)計一些有生活味的問題讓學生去解決。

【片段四】

（1）回顧我們的烙餅過程，我們是怎么解決這么多問題的？（動手動腦；簡單入手、轉(zhuǎn)化應(yīng)用、利用已有；合作交流……）

（2）你們覺得我們用了這么多的時間來研究烙餅問題有什么用？真的只為了烙餅？（用數(shù)學的眼光觀察世界；用數(shù)學的思想和方法解決問題）

3.生活回歸，應(yīng)用規(guī)律

問題：老師辦公室只有2臺電腦可以上網(wǎng)，甲、乙、丙3位老師每人都要上網(wǎng)2次查資料，每次1小時，怎樣安排可使3人最快完成查資料的任務(wù)？時間是多少？

教師引導學生反思“研究烙餅問題有什么用”是有意識地讓數(shù)學回歸生活，當然，更有可能引起學生的聯(lián)想和類推，并運用今天所學的烙餅的優(yōu)化方法去解釋其他相關(guān)的生活問題，如燒開水等。不過，生活畢竟是瑣碎的、復雜的，要培養(yǎng)學生的數(shù)學應(yīng)用意識更多地應(yīng)該在數(shù)學實踐活動中完成，而不是解答一道道練習題。?