巧妙變角，求解三角函數(shù)的值

■劉長柏

三角函數(shù)的計算問題是高考的一個重要考點。對于角的計算問題，除了掌握和、差角及倍角公式之外，還要掌握一些必要的拆角、配角技巧，抓住題設與結(jié)論中角的差異，利用角的和、差、倍、半關系，化異角為同角，巧妙變角，這樣可以簡化三角函數(shù)的運算。拆角和配角體現(xiàn)了整體與局部之間的關系，是連接題設條件與待求結(jié)論的紐帶，是三角函數(shù)求值的一種常用方法。下面就三角函數(shù)求值中的拆角、配角技巧進行舉例分析，供大家學習與參考。

一、利用特殊角進行拆角

例1不查表求值

解：原式

評析：利用特殊角，達到角的變換，從而巧妙化簡求值。將80°拆成60°+20°，看起來好像把問題復雜化了，但由于60°是特殊角，故實際上問題變得簡單了。

跟蹤練習1：求值

提示：原式

二、利用所求角與已知角的關系拆配

例2已知α為銳角，且求cosα的值。

解：由可得所以

評析：此類問題不宜對已知三角函數(shù)式進行展開，一般可根據(jù)具體角和抽象角的關系進行“拆角”，將所求角用已知角表示，靈活處理已知、未知的關系，溝通條件與結(jié)論中的角的差異。解題時，必須注意角的范圍，適時地將角的范圍盡可能地縮小。

跟蹤練習2：已知均是銳角，求cosβ的值。

提示：由題設可得故cosβ=cos[（α+β）-α]=

三、利用所求角與已知角的關系，借助誘導公式變形拆配

例3已知求的值。

解：由可得因為可知是第四象限角，所以可得sinα=

評析：這類問題主要是尋找已知與未知間的聯(lián)系點，這個聯(lián)系點就是解題的切入點。本題將看成一個整體，則可轉(zhuǎn)化為，這樣問題就容易解決了。

跟蹤練習3：已知求sin（α+β）的值。

提示：由可得所以故

四、利用倍、半角的關系，借助公式求值

例4已知函數(shù)+2 cos2x-1（x∈R）。

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及在區(qū)間上的最大值和最小值。

解：（1）由可得函數(shù)f（x）的最小正周期為π。因為f（x）=在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又f（0）=1，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值為2，最小值為-1。

評析：本題主要考查二倍角的正余弦公式、兩角和的正余弦公式的應用，考查分拆與整合的數(shù)學思想和運算能力。解答本題的關鍵是對cos 2x0的分拆與整合。

跟蹤練習4：求函數(shù)y=sin2x+2 sinx·cosx+3 cos2x的最小正周期及最大值和最小值。

提示：y=sin2x+2 sinxcosx+3 cos2x=故此函數(shù)的最小正周期是π，最大值是最小值是

編者注：在利用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式時，不能機械地從表面上套公式，而要變通地從本質(zhì)上使用公式。變角時，對角的分拆要盡可能化成同名、同角或特殊角的和與差，并且這兩個角的正、余弦函數(shù)值和正切函數(shù)值是已知的或可求的。