排叉結(jié)瓊斯多項(xiàng)式根的分布

韓友發(fā)，孫思宇，孫藝丹，王英姣

紐結(jié)理論是低維流形的重要研究領(lǐng)域，而且得到了廣泛應(yīng)用.分類是紐結(jié)理論的重要課題，而環(huán)鏈多項(xiàng)式扮演了重要角色，從早期的Alexander［1］結(jié)多項(xiàng)式，到近代的紐結(jié)瓊斯多項(xiàng)式［2-5］，都極大促進(jìn)了該領(lǐng)域的發(fā)展.國(guó)內(nèi)外專家對(duì)此進(jìn)行了深入研究，為了探討整系數(shù)多項(xiàng)式與紐結(jié)多項(xiàng)式的關(guān)系，人們對(duì)紐結(jié)瓊斯多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布產(chǎn)生了相當(dāng)濃厚的興趣.在文獻(xiàn)［6］中，Wu和Wang研究了鏈環(huán)和紐結(jié)的Jones多項(xiàng)式的零點(diǎn)的性質(zhì).他們給出了重復(fù)鏈環(huán)和環(huán)面結(jié)的Jones多項(xiàng)式的根的性質(zhì)，同時(shí)又計(jì)算了某些紐結(jié)族的Jones多項(xiàng)式，并給出了其根的性質(zhì).在文獻(xiàn)［7］中，Chang和Shrock討論了四類對(duì)應(yīng)圖的交錯(cuò)鏈環(huán)類的Jones多項(xiàng)式，并給出了它們的零點(diǎn).在文獻(xiàn)［8］中，Xi’an Jin和Fuji Zhang給出了紐結(jié)和鏈環(huán)的Jones多項(xiàng)式在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)零點(diǎn)分布性質(zhì)，討論了某些排叉鏈環(huán)和某些基于DCn（每條邊都是2-重邊的n-圈）的紐結(jié)多項(xiàng)式的零點(diǎn)的性質(zhì)［9］.在文獻(xiàn)［9］中，研究了排叉結(jié)p(c1,c2,c3)與排叉結(jié)p(k ,k,k)的Jones多項(xiàng)式的零點(diǎn)性質(zhì)，在文獻(xiàn)［10］中，討論了排叉結(jié)的Jones多項(xiàng)式及其零點(diǎn)分布，計(jì)算出排叉結(jié) p(k ,k,l)的多項(xiàng)式，然后利用相同的方法討論排叉結(jié) p(k , k,l)的Jones多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布.

本篇論文包含二部分，第一部分給出了鏈環(huán)和紐結(jié)的概念，瓊斯多項(xiàng)式的基本性質(zhì)以及排叉結(jié)的基本性質(zhì)；第二部分研究了排叉結(jié)p(k ,k,l)的Jones多項(xiàng)式及其零點(diǎn)分布.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 紐結(jié)的基本性質(zhì)

定義1 把嵌入到三維球面S3或者歐氏空間R3中的單位圓周S1稱為紐結(jié)；若給紐結(jié)一個(gè)定向，則得到有向結(jié).

1.2 紐結(jié)的多項(xiàng)式

引理1［4］對(duì)任意一個(gè)有向投影圖L都對(duì)應(yīng)一個(gè)關(guān)于t的整數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式V(L )，滿足下面三個(gè)條件：

（1）同痕不變量.若有向投影圖L與L′互相同痕，則它們所對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式相同，即：V(L)=V(L′)；

對(duì)于瓊斯多項(xiàng)式的其它定義，可參見文獻(xiàn)［1-5］.

1.3 排叉結(jié)

定義3 排叉鏈環(huán)p(c1,c2,…,cn)是由n元數(shù)組(c1,c2,…,cn)確定的，其中ci≠0，i=1,2,…,n，n≥3，| ci|表示該處上的半扭轉(zhuǎn)數(shù)，ci的符號(hào)代表扭轉(zhuǎn)數(shù)的正負(fù)號(hào).排叉結(jié)標(biāo)準(zhǔn)圖如圖1所示.

圖1 排叉結(jié)

引理2［3］（I）（1）如果所有的ci都是奇數(shù)，那么①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，p(c1,c2,…,cn)為紐結(jié)；②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),p(c1,c2,…,cn)是兩個(gè)分支的鏈環(huán).

（2）若存在一些ci為偶數(shù)，則偶數(shù)的ci的個(gè)數(shù)就與鏈環(huán)p(c1,c2,…,cn)的分支數(shù)相同.

（II）若所有ci的符號(hào)都一樣（即都為正或都為負(fù)），那么 p(c1,c2,…,cn)為交錯(cuò)鏈環(huán).

（1）如果 ci＞0，那么 A區(qū)域的個(gè)數(shù)

（2）如果 ci＜0，那么 A區(qū)域的個(gè)數(shù) a?=n，B區(qū)域的個(gè)數(shù)

關(guān)于A區(qū)域和B區(qū)域的介紹可見文獻(xiàn)［3-4］.

定義4 排叉結(jié)的定向：p(c1,c2,…,cn)的一半邊上標(biāo)有αi，i=1,2,…,n，所有αi的符號(hào)決定了排叉結(jié) p(c1,c2,…,cn)的定向.即左定向←（右定向→）將賦值-1（+1）給αi.

p(c1,c2,…,cn)的定向如圖2所示.

圖2 p(c 1 ,c2,…,cn)的定向

引理3［3］任意帶定向的排叉結(jié)或排叉鏈環(huán)的擰數(shù)為

接下來(lái)研究ci＞0的排叉結(jié) p(c1,c2,…,cn).

引理4［7］假設(shè)鏈環(huán)L的連通交錯(cuò)可定向的投影圖D，D具有個(gè) A區(qū)域，個(gè)B區(qū)域和擰數(shù)ω.那么鏈環(huán)L的Jones多項(xiàng)式由投影圖D的聯(lián)合圖G的圖特多項(xiàng)式給出：

引理 5［10］

2 排叉結(jié)的瓊斯多項(xiàng)式與其零點(diǎn)分布

定理1 排叉鏈環(huán)p(k , k,l)（其中k為正數(shù)）的瓊斯多項(xiàng)式：

當(dāng) k為奇數(shù)，l為奇數(shù)時(shí)，則VL(t)=

當(dāng)k為奇數(shù)，l為偶數(shù)時(shí)，則VL(t)(α1=+1,α2=-1,α3=+1) ；

當(dāng) k為偶數(shù)，l為奇數(shù)時(shí)，則VL(t)=(α1=+1,α2=-1,α3=+1) ；

當(dāng) k為偶數(shù)，l為偶數(shù)時(shí)，則VL(t)=(α1=+1,α2=-1,α3=+1).

證明 由引理3可得w(p (k ,k,l) )=α1α2c1-，再由引理4和引理5可得：當(dāng)k為奇數(shù)，l為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)k為奇數(shù)，l為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)k為偶數(shù)，l為奇數(shù)時(shí)，

當(dāng)k為偶數(shù)，l為偶數(shù)時(shí)，

定理2 當(dāng)k固定，l→∞時(shí)，排叉鏈環(huán)p(k ,k,l)（其中k為正數(shù)）的Jones多項(xiàng)式的零點(diǎn)分布在曲線-t2k=t+t-1+1上.

證明 令上面定理中的Jones多項(xiàng)式等于零，得到

對(duì)上述四個(gè)式子，當(dāng)k固定，l→∞時(shí)，得到結(jié)論.

3 結(jié)論

本文利用鏈環(huán)投影圖的區(qū)域數(shù)、擰數(shù)和圖特多項(xiàng)式給出排叉鏈環(huán)p(k ,k,l)瓊斯多項(xiàng)式的一種表示，根據(jù)這種表示討論多項(xiàng)式根的分布性質(zhì)，給出了非溫良結(jié)瓊斯多形式根分布的曲線，給出這方面研究是一種嘗試.