證據(jù)實(shí)驗(yàn)：為提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)而教

江蘇邳州市鄒莊鎮(zhèn)中心小學(xué) 翟新偉

當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，一個(gè)根本轉(zhuǎn)向就是：從“知識(shí)教學(xué)”轉(zhuǎn)向“素養(yǎng)教學(xué)”。這就要求教師要充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人功能，為提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)而教。著名數(shù)學(xué)家高斯說：“數(shù)學(xué)中許多結(jié)論都是用實(shí)驗(yàn)和歸納發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)充手續(xù)而已?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須重視學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，為了讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)深刻化，教師必須引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的“證據(jù)”。只有在“證據(jù)”視域下，學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察、比較、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，才能成為一種有意義、有價(jià)值的學(xué)習(xí)方式。

一、證據(jù)定位：精確規(guī)劃數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作方向

基于“證據(jù)”的數(shù)學(xué)教學(xué)理念最早出現(xiàn)在20世紀(jì)90年代的醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。當(dāng)時(shí)的循證醫(yī)學(xué)旨在通過科技手段采納最優(yōu)可得證據(jù)，用于最終臨床和政策決策?；谧C據(jù)理論的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)，不僅是一種具體的學(xué)習(xí)方式、方法，更是一種理念，即數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)應(yīng)當(dāng)是有方向、有根據(jù)、有道理的。證據(jù)實(shí)驗(yàn)，避免了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的“隨意化”“盲目化”。以前測(cè)證據(jù)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的起點(diǎn)，以后測(cè)證據(jù)作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的反饋、評(píng)價(jià)，能在學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)起點(diǎn)與終點(diǎn)之間規(guī)劃學(xué)生的實(shí)驗(yàn)方向，即運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)素材，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，優(yōu)化數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)方式，評(píng)估數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成效等。

如筆者教學(xué)《長(zhǎng)方體和正方體的體積》時(shí)，在學(xué)生的自主學(xué)習(xí)單上出示了這樣一個(gè)問題：我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了用數(shù)小正方體木塊的方法計(jì)算長(zhǎng)方體物體的體積，為什么還要學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式呢？這樣的問題，能引發(fā)學(xué)生的深度反思。有學(xué)生認(rèn)為，因?yàn)橛闷创畹姆椒ū容^麻煩；有學(xué)生認(rèn)為，因?yàn)橛霉椒ū容^簡(jiǎn)單、快捷；有學(xué)生認(rèn)為，因?yàn)橛辛斯椒?，才可以?duì)長(zhǎng)方體、正方體展開更深入的研究，等等。顯然，學(xué)生只是關(guān)注到長(zhǎng)方體和正方體體積公式產(chǎn)生的外在因素，而沒有真正從本源、本質(zhì)上加以理解。為此，筆者借助多媒體課件展開對(duì)比性數(shù)學(xué)虛擬實(shí)驗(yàn)：切開一個(gè)長(zhǎng)為4厘米,寬為3厘米,高為2厘米的長(zhǎng)方體綠豆糕，可以通過數(shù)體積單位的方法，求出這塊長(zhǎng)方體綠豆糕的體積。但隨即出示的長(zhǎng)方體瓷磚、長(zhǎng)方體木材等，是無法通過切割求出其體積的。為此，探索長(zhǎng)方體和正方體的體積公式就成為一種必然。至此，學(xué)生深刻理解了探索長(zhǎng)方體、正方體體積公式的必然性、必要性。這樣教學(xué)，不僅讓學(xué)生“知其然”，更讓學(xué)生“知其所以然”?！爸渌匀弧保褪且斫?、洞察數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的證據(jù)。

有了這樣的深刻認(rèn)識(shí)，學(xué)生就能借助分割長(zhǎng)方體、拼搭長(zhǎng)方體推導(dǎo)長(zhǎng)方體、正方體的體積公式。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要設(shè)定教學(xué)目標(biāo)，為學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)導(dǎo)航。要讓學(xué)生感受、體驗(yàn)、認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的必要性。通過證據(jù)定位，精確規(guī)劃數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作方向、操作內(nèi)容、操作方式。對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來說，證據(jù)就是一種指引、一種規(guī)劃，它能引導(dǎo)學(xué)生找到適切的學(xué)習(xí)方式，助推學(xué)生觸摸到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

二、證據(jù)標(biāo)識(shí)：精準(zhǔn)定位數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作路徑

著名的教育心理學(xué)家奧蘇貝爾認(rèn)為：“如果將全部教育心理學(xué)歸結(jié)為一句話，就是要弄清楚學(xué)生已經(jīng)知道了什么，并據(jù)此實(shí)施教學(xué)?！痹跀?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，不少教師總是根據(jù)自己的已有經(jīng)驗(yàn)展開實(shí)驗(yàn)教學(xué)，導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)的針對(duì)性不強(qiáng)、有效性薄弱。為了提升數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的效能，筆者認(rèn)為，應(yīng)當(dāng)研究學(xué)生的具體學(xué)情，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)建基于學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從而根據(jù)學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，精確定位數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的操作路徑。

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，教師要重視證據(jù)的意義和作用。教學(xué)前要確定學(xué)生“在哪里”，即了解學(xué)生現(xiàn)在知道什么、能做什么、能以什么樣的方式完成什么樣的活動(dòng)等。只有這樣，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)才能走在學(xué)生發(fā)展的前面，從而切入學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)。如在教學(xué)《三角形的面積》時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生遇到這樣的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)問題，經(jīng)常容易發(fā)生錯(cuò)誤。即：“將一張長(zhǎng)16厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形紙，裁剪成一個(gè)底為5厘米、高為3厘米的直角三角形，最多能裁多少個(gè)？”學(xué)生在解答時(shí)經(jīng)常出錯(cuò)。究其原因，主要是因?yàn)閷W(xué)生習(xí)慣于用“包含除”的方法進(jìn)行直接計(jì)算，而不是從實(shí)際出發(fā)，具體問題具體分析。為了改變學(xué)生的固化思維，引導(dǎo)學(xué)生突破思維的禁錮，筆者在教學(xué)中以引導(dǎo)學(xué)生采用“模擬實(shí)驗(yàn)”和“對(duì)比實(shí)驗(yàn)”，從數(shù)學(xué)問題入手，采用分析的思路，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)分析。

[實(shí)驗(yàn)1]將一張長(zhǎng)16厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形紙，裁剪成一個(gè)底為4厘米、高為4厘米的直角三角形，最多能裁多少個(gè)？

[實(shí)驗(yàn)2]將一張長(zhǎng)16厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形紙，裁剪成一個(gè)底為4厘米、高為3厘米的直角三角形，最多能裁多少個(gè)？

[實(shí)驗(yàn)3]將一張長(zhǎng)16厘米、寬12厘米的長(zhǎng)方形紙，裁剪成一個(gè)底為5厘米、高為5厘米的直角三角形，最多能裁多少個(gè)？

相同的問題、不同的條件，有助于學(xué)生對(duì)證據(jù)進(jìn)行定位。為什么“實(shí)驗(yàn)1”既可以用實(shí)驗(yàn)的“分割”的方法解決問題，也可以用包含除解決問題？“實(shí)驗(yàn)2”要注意什么？為什么“實(shí)驗(yàn)3”只能用“分割”的方法，而不能運(yùn)用“包含除”的計(jì)算方法？通過條件的對(duì)比，學(xué)生能找尋到解決問題的證據(jù)。通過對(duì)比，學(xué)生能將問題解決的關(guān)鍵證據(jù)準(zhǔn)確定位，即長(zhǎng)方形紙長(zhǎng)、寬的長(zhǎng)短與直角三角形底、高的長(zhǎng)短之間的關(guān)系。

當(dāng)學(xué)生通過模擬實(shí)驗(yàn)、對(duì)比實(shí)驗(yàn)，找尋到解決問題的證據(jù)之后，就能有效地解決問題。后測(cè)證明，學(xué)生在解決這類數(shù)學(xué)問題時(shí)，正確率提高了很多。他們不再像從前一樣盲目，而是多了一份理性、多了一份智慧。有學(xué)生通過畫圖，還能將剩下的邊角材料繼續(xù)進(jìn)行裁剪，從而真正讓裁剪的三角形最多。

三、證據(jù)掃描：精細(xì)反思數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的階段路標(biāo)

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，教師不僅要進(jìn)行前反饋、后反饋，而且要進(jìn)行過程性反饋。也就是說，在學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，不僅要進(jìn)行診斷性評(píng)價(jià)、終結(jié)性評(píng)價(jià)，更要進(jìn)行形成性評(píng)價(jià)、表現(xiàn)性評(píng)價(jià)。證據(jù)掃描，就是在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中，不斷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)階段性目標(biāo)進(jìn)行反思。在這個(gè)過程中，要對(duì)證據(jù)進(jìn)行跟蹤，從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)芰υ谧C據(jù)交互中進(jìn)階、在證據(jù)反思中生長(zhǎng)。

如教學(xué)《一億有多大》時(shí)，教師就可以設(shè)計(jì)不同的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生感受、體驗(yàn)一億的大小。當(dāng)一個(gè)活動(dòng)結(jié)束時(shí)，就是就要引導(dǎo)學(xué)生反思，陳述自己的理解、分享實(shí)驗(yàn)的快樂，建構(gòu)認(rèn)知的意義。比如[實(shí)驗(yàn)一]：數(shù)一數(shù)，從時(shí)間上感受一億的大小。筆者給學(xué)生分發(fā)50本本子，要求學(xué)生用計(jì)時(shí)器記錄數(shù)50本本子所用的時(shí)間，然后推算出數(shù)一億本本子所需要的時(shí)間。[實(shí)驗(yàn)二]：掂一掂，從質(zhì)量上感受、體驗(yàn)一億的大小。筆者先讓學(xué)生估測(cè)10枚硬幣的質(zhì)量，然后通過電子秤稱出這10枚硬幣的質(zhì)量，進(jìn)而推算出一億枚硬幣的質(zhì)量。[實(shí)驗(yàn)三]：量一量，從高度上感受、體驗(yàn)一億的大小。筆者先讓學(xué)生測(cè)量一枚硬幣、十枚硬幣的高度，然后推算出一億枚硬幣的高度。不同層次、不同視角的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，其目的始終是如一的，這就是讓學(xué)生初步感受、體驗(yàn)一億有多大。在這個(gè)過程中，自然能激發(fā)學(xué)生的好奇心，喚起學(xué)生的驚異感。在每一個(gè)實(shí)驗(yàn)階段，教師都必須停下探索的步伐，催生學(xué)生的數(shù)學(xué)反思，讓學(xué)生用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)說話，從而實(shí)現(xiàn)階段性路標(biāo)。豐富實(shí)驗(yàn)證據(jù)的呈現(xiàn)，讓學(xué)生與學(xué)生、小組與小組、小組與全班之間展開積極的互動(dòng)。學(xué)生相互影響、同構(gòu)共生，共同實(shí)現(xiàn)著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的群體進(jìn)階。

“證據(jù)實(shí)驗(yàn)”好比一輛奔馳的動(dòng)車，它是“核驅(qū)動(dòng)”的。基于“證據(jù)”的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，保障了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是有根的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，具有鮮明的學(xué)科特質(zhì)。基于證據(jù)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、能力、情感、生命等同構(gòu)共生。在證據(jù)的引導(dǎo)下，學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有的放矢，突破了傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)“動(dòng)手不動(dòng)腦”的局限性，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的提升、實(shí)現(xiàn)了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成，實(shí)現(xiàn)了學(xué)生個(gè)體數(shù)學(xué)精神生命的不斷發(fā)展。實(shí)踐證明，“證據(jù)”為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)打開了一扇窗，不僅讓數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有效，讓師生的數(shù)學(xué)教與學(xué)有效，更是將學(xué)生培養(yǎng)成善于獨(dú)立判斷和獨(dú)立思考的人。