“二次函數(shù)”之圖像平移

文莊 嚴(yán)

（作者單位：江蘇省南京市文樞初級(jí)中學(xué)）

學(xué)習(xí)了“二次函數(shù)”之后，同學(xué)們對(duì)二次函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)都有了一定的了解，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題。回顧“二次函數(shù)”整章的探究過(guò)程，再類(lèi)比“一次函數(shù)”“反比例函數(shù)”，我們不難看出，“二次函數(shù)”整章采用的是從特殊到一般的探究模式，即先研究最特殊、最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=x2的圖像和性質(zhì)，然后通過(guò)上、下、左、右平移的方法，繼續(xù)研究較復(fù)雜的二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，因此“平移”就成為研究本章內(nèi)容最重要的方法之一。針對(duì)“二次函數(shù)”中的“平移”類(lèi)問(wèn)題，我們結(jié)合課本例題進(jìn)行整理、歸納、變式，希望可以幫助同學(xué)們解決此類(lèi)問(wèn)題。

一、抓“平移變換”基本要素，研“形到數(shù)”的變化規(guī)律

例1（蘇科版《數(shù)學(xué)》教材九年級(jí)下冊(cè)“5.2二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”習(xí)題第9題）怎樣平移函數(shù)y=-x2的圖像，可以得到函數(shù)y=-x2-8x-7的圖像？

【分析】“平移變換”是圖形基本變換中的一種情況，具備兩個(gè)要素，即平移的方向和距離。函數(shù)的研究離不開(kāi)圖像，圖像也是一種圖形，所以平移的兩個(gè)要素是解決圖像平移的關(guān)鍵。任何圖形的變換都是關(guān)鍵點(diǎn)的變換，抓住二次函數(shù)圖像的關(guān)鍵點(diǎn)——頂點(diǎn)的平移就是解決此類(lèi)問(wèn)題的突破口。函數(shù)y=-x2的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），函數(shù)y=-x2-8x-7圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-4，9）。圖像如何平移本質(zhì)上就是兩個(gè)頂點(diǎn)通過(guò)怎樣的平移相互轉(zhuǎn)換，即點(diǎn)（0，0）通過(guò)怎樣的平移變?yōu)椋?4，9）。

解：y=-x2-8x-7=-（x+4）2+9，將函數(shù)y=-x2的圖像向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移9個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=-x2-8x-7的圖像。

【點(diǎn)評(píng)】在“平移變換”中，我們可以積累經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)也可以總結(jié)出“上正下負(fù)，左正右負(fù)”的經(jīng)驗(yàn)。比較變換前后的兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=-x2和y=-（x+4）2+9的形式，發(fā)現(xiàn)x后多了+4，等號(hào)右邊整體多了+9，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，也可以迎刃而解。

二、抓“平移變換”互逆性，探“形到數(shù)”的雙向功能

例2（蘇科版《數(shù)學(xué)》教材九年級(jí)下冊(cè)第37頁(yè)探索研究第14題）把二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像沿y軸向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿x軸向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）。寫(xiě)出原拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

【分析】平移前的坐標(biāo)未知，平移后的坐標(biāo)已知，我們可以根據(jù)變換的互逆性，從平移后所得的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-2，0）出發(fā)，將提供的變換方式倒推，即“沿y軸向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿x軸向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度”，改為“沿y軸向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再沿x軸向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度”，這樣就可以得到圖像平移前的頂點(diǎn)坐標(biāo)（3，1），從而寫(xiě)出原拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。

解：y=（x-3）2+1。

【點(diǎn)評(píng)】從形的變換總結(jié)出式的變化規(guī)律，即設(shè)y=（x+5）2+b（x+5）+c-1=x2+（b+10）x+5b+c+24，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），解得b=-6，c=10。

三、抓“平移變換”本質(zhì)特點(diǎn)，解“形到數(shù)”的思想方法

例3 （2014·南京）已知二次函數(shù)y=x2-2mx+m2+3（m是常數(shù)）。

（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)；

（2）把該函數(shù)的圖像沿y軸向下平移多少個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？

【分析】就此題第（2）問(wèn)分析如下：函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)的理解有兩個(gè)角度：一個(gè)角度是借助y=0時(shí)，所對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，但是因?yàn)槠揭频木嚯x未知，原二次函數(shù)表達(dá)式也未知，所以解決起來(lái)有困難；另一個(gè)角度，所謂函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)也可以理解為函數(shù)圖像的頂點(diǎn)在x軸上，這樣從頂點(diǎn)坐標(biāo)入手，就能很順利地解決問(wèn)題了。

解：y=x2-2mx+m2+3=（x-m）2+3。把函數(shù)y=（x-m）2+3的圖像沿y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)y=（x-m）2的圖像，它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，0），因此，這個(gè)函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)。

所以，把函數(shù)y=x2-2mx+m2+3的圖像沿y軸向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)的圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)。