厘清二次函數(shù)的數(shù)形關(guān)系

文陳小鋒 費(fèi) 菲

（作者單位：江蘇省南京江寧開發(fā)區(qū)學(xué)校）

同學(xué)們對(duì)知識(shí)的掌握和運(yùn)用能力取決于理解程度。二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，厘清二次函數(shù)中的數(shù)形關(guān)系對(duì)學(xué)好二次函數(shù)尤為重要。

一、以形論數(shù)，厘清二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系

例1 （2019·隨州）如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA=OC，對(duì)稱軸為直線x=1，則下列結(jié)論：①abc＜0；c=0；③ac+b+1=0；④2+c是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根。其中正確的有（ ）。

A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)

【分析】二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的直接關(guān)系有以下幾個(gè)方面：我們可以根據(jù)圖像的開口方向得到a的取值范圍，再根據(jù)對(duì)稱軸得到a與b的關(guān)系，從而得到b的取值范圍，還可以根據(jù)圖像與y軸的交點(diǎn)，得到c的取值范圍，結(jié)論①可由此判斷。將以上條件綜合梳理或者進(jìn)行代數(shù)分析可以呈現(xiàn)其他類似結(jié)論，結(jié)論②即可由等式的變換進(jìn)行判斷。二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間還暗存特殊關(guān)系，如a、b、c結(jié)合的等式，需要考慮圖像中的特殊點(diǎn)，本題由OA=OC可得A的坐標(biāo)，代入解析式可判斷③，由點(diǎn)A坐標(biāo)結(jié)合對(duì)稱軸可得點(diǎn)B坐標(biāo)，據(jù)此可判斷④，結(jié)論②也可以運(yùn)用特殊點(diǎn)的位置求解。

【解析】∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對(duì)稱軸為直線1，∴b=-2a＞0，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正確。

∵C（0，c），OA=OC，∴A（-c，0），把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，∵c＞0，∴ac-b+1=0，所以③錯(cuò)誤。

∵A（-c，0），對(duì)稱軸為直線x=1，∴B（2+c，0），即2+c是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根，所以④正確。

綜上，正確的有2個(gè)，故選B。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解決此類問題需要明確以下幾點(diǎn)。

1.當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線開口向下；a的絕對(duì)值決定了拋物線的開口大小，即拋物線的形狀。

2.當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)（簡(jiǎn)稱：左同右異）。

3.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸的交點(diǎn)，拋物線與y軸交于（0，c）。

二、以數(shù)定形，把脈關(guān)鍵信息，速解中考小題

例2 （2019·河南）已知拋物線y=-x2+bx+4經(jīng)過（-2，n）和（4，n）兩點(diǎn)，則n的值為（ ）。

A.-2 B.-4 C.2 D.4

【分析】根據(jù)拋物線y=-x2+bx+4經(jīng)過（-2，n）和（4，n）兩點(diǎn)可知，這兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，以數(shù)定形，兩點(diǎn)既在直線y=n上，也在拋物線y=-x2+bx+4上，則兩點(diǎn)的坐標(biāo)也可以看作是二元二次方程組， 的兩個(gè)解；又知這兩點(diǎn)是關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱的，從而可以根據(jù)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系確定拋物線的對(duì)稱軸為x=1，再由對(duì)稱軸與系數(shù)的關(guān)系即可確定b的值，解出n。

【解析】二次函數(shù)y=-x2+bx+4中，a=-1，b待定，c=4，對(duì)稱軸可表示為x=，拋物線 y=-x2+bx+4經(jīng)過（-2，n）和（4，n）兩點(diǎn)，可知函數(shù)的對(duì)稱軸x=1，1，∴b=2，∴y=-x2+2x+4，將點(diǎn)（-2，

n）代入函數(shù)解析式，可得n=-4。答案選B。

【點(diǎn)評(píng)】例題中以數(shù)定形，從拋物線y=-x2+bx+4經(jīng)過兩點(diǎn)（-2，n）和（4，n），看透坐標(biāo)的本質(zhì)特性，抓住軸對(duì)稱這一關(guān)鍵性的信息，可迅速打開思路。本題還可以抓住點(diǎn)在線上，將兩點(diǎn)代入拋物線，得到二元一次方程組解決問題。

三、雙向思考，把握數(shù)形結(jié)合思想精髓

例3 （2019·維坊）拋物線y=x2+bx+3的對(duì)稱軸為直線x=1。若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t為實(shí)數(shù)）在-1＜x＜4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍是（ ）。

A.2≤t＜11 B.t＞2

C.6＜t＜11 D.2≤t＜6

【分析】由拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1可以快速得到拋物線的解析式為：y=x2-2x+3，對(duì)于一元二次方程x2+bx+3-t=0，即x2-2x+3-t=0，可將其變形為x2-2x+3=t，結(jié)合以數(shù)識(shí)形、以形識(shí)數(shù)的雙向思考，把問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋涸?1＜x＜4的范圍內(nèi)，t的取值范圍為多少時(shí)，函數(shù)y=x2-2x+3與函數(shù)y=t有交點(diǎn)。

【解析】∵拋物線y=x2+bx+3的對(duì)稱軸為直線x=1，∴拋物線的解析式為：y=x2-2x+3?！咭辉畏匠蘹2+bx+3-t=0有實(shí)數(shù)根，可以看作函數(shù)y=x2-2x+3與函數(shù)y=t有交點(diǎn)，又∵方程在-1＜x＜4的范圍內(nèi)有實(shí)數(shù)根，而當(dāng)x=-1時(shí)，y=6，當(dāng)x=4時(shí)，y=11，∴函數(shù)y=x2-2x+3在當(dāng)x=1時(shí)有最小值y=2，在x=4時(shí)有最大值y=11，∴2≤t＜11。故本題正確答案為選項(xiàng)A。

【點(diǎn)評(píng)】將一元二次方程的問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，并結(jié)合圖像解決問題是答題的關(guān)鍵。理解題目的意思，以數(shù)識(shí)形、以形識(shí)數(shù)的雙向思考并進(jìn)行轉(zhuǎn)化是本題的難點(diǎn)。當(dāng)我們真正厘清二次函數(shù)中的數(shù)形關(guān)系，看透數(shù)中蘊(yùn)含的幾何特征，巧用數(shù)形結(jié)合，將為我們正確解題錦上添花。

圖1

圖2

例題中我們畫出二次函數(shù)的圖像（如圖1），并截取-1＜x＜4的部分（紅色部分）。根據(jù)t的取值范圍為多少時(shí)函數(shù)y=x2-2x+3與函數(shù)y=t有交點(diǎn)，可以在圖中嘗試畫幾條y=t的直線，如圖2。由此可以直觀得到兩函數(shù)只有在2≤t＜11時(shí)才有交點(diǎn)，解法可謂絕妙。

同學(xué)們，厘清二次函數(shù)中的數(shù)形關(guān)系，只是學(xué)好二次函數(shù)的基礎(chǔ)，二次函數(shù)與方程、不等式、其他函數(shù)、幾何圖形及生活實(shí)際都能整合聯(lián)系，因此也成為中考?jí)狠S考點(diǎn)之一。更深入的理解還需同學(xué)們?cè)诰唧w實(shí)踐中繼續(xù)磨礪。