文陳 卓
(作者單位:南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校)
最值問題的研究,有著悠久的歷史。早在古希臘時,就研究了“等周問題”。在歐幾里得的著作《幾何原本》中,實際上已證明了如下的最值問題:具有相同周長的矩形中,正方形的面積最大。研究函數(shù)的最值,是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的基礎(chǔ),是生活生產(chǎn)的必備工具。二次函數(shù)的最值問題也是中考的熱點內(nèi)容之一,今天我們就一起來認(rèn)識一下吧。
方法1:將二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)配方化為y=a(x-h)2+k的形式,頂點坐標(biāo)為(h,k),對稱軸為直線x=h。若a>0,y有最小值,當(dāng)x=h時,y最小值=k;若a<0,y有最大值,當(dāng)x=h時,y最大值=k。
1.自變量x沒有范圍限制,可以取到整個實數(shù)。這時拋物線的頂點對應(yīng)的y值是這個函數(shù)的最值,也就是說,當(dāng)x取拋物線的對稱軸的值時,即時,所得的y值是這個函數(shù)的最值。
2.自變量x有范圍限制,它只能取到拋物線的一部分,這時需要判斷x能夠取到的范圍是否包括拋物線的對稱軸x=如果包括,那它的一個最值一定在對稱軸處得到(最大值還是最小值要由a的正負(fù)判斷,a正就是最小值,a負(fù)就是最大值)。另外一個最值出現(xiàn)在所給范圍的端點,此時可以把兩個端點值都代入函數(shù),分別計算y值,比較一下就可以。如果
給的是代數(shù)形式,也可以用與對稱軸距離的大小來判斷,與對稱軸距離大的那個端點能夠取到最值。如果x的取值范圍不包括對稱軸,則它的最值一定出現(xiàn)在范圍的端點處。當(dāng)a>0時,離對稱軸最遠(yuǎn)的端點取得最大值,最近的端點取得最小值;當(dāng)a<0時,離對稱軸最遠(yuǎn)的端點取得最小值,最近的端點取得最大值。
例1 (2018·黃岡)當(dāng) a≤x≤a+1時,函數(shù)y=x2-2x+1的最小值為1,則a的值為( )。
A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2
【分析】利用二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征找出當(dāng)y=1時x的值,結(jié)合當(dāng)a≤x≤a+1時函數(shù)有最小值1,即可得出關(guān)于a的一元一次方程,解之即可得出結(jié)論。
解:當(dāng)y=1時,有x2-2x+1=1,
解得:x1=0,x2=2。
∵當(dāng)a≤x≤a+1時,函數(shù)有最小值1,
∴a=2或a+1=0,
∴a=2或a=-1,
故選:D。
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的最值,利用二次函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征找出相應(yīng)的值是解題的關(guān)鍵。
例2 (2018·濰坊)已知二次函數(shù)y=-(x-h)2(h為常數(shù)),當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時,與其對應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為-1,則h的值為( )。
A.3或6 B.1或6
C.1或3 D.4或6
【分析】分h<2、2≤h≤5和h>5三種情況考慮:當(dāng)h<2時,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于h的一元二次方程,解之即可得出結(jié)論;當(dāng)2≤h≤5時,由此時函數(shù)的最大值為0與題意不符,可得出該情況不存在;當(dāng)h>5時,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于h的一元二次方程,解之即可得出結(jié)論。
解:當(dāng)h<2時,-(2-h)2=-1,
解得:h1=1,h2=3(舍去);
當(dāng)2≤x≤5時,y=-(2-h)2的最大值為0,不符合題意;
當(dāng)h>5時,-(5-h)2=-1,
解得:h3=4(舍去),h4=6。
綜上所述:h的值為1或6。
故選:B。
【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的性質(zhì),分h<2、2≤h≤5和h>5三種情況求出h值是解題的關(guān)鍵。
例3 (2017·樂山)已知二次函數(shù)y=x2-2mx(m 為常數(shù)),當(dāng)-1≤x≤2時,函數(shù)值y的最小值為-2,則m的值是( )。
【分析】將二次函數(shù)配方成頂點式,分m<-1、m>2和-1≤m≤2三種情況,根據(jù)y的最小值為-2,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解。
解:y=x2-2mx=(x-m)2-m2,
①若m<-1,當(dāng)x=-1時,y=1+2m=-2,
②若m>2,當(dāng)x=2時,y=4-4m=-2,
③若-1≤m≤2,當(dāng)x=m時,y=-m2=-2,
故選:D。
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的最值,根據(jù)二次函數(shù)的增減性分類討論是解題的關(guān)鍵。
例4 (2019·鐵嶺)小李在景區(qū)銷售一種旅游紀(jì)念品,已知每件進(jìn)價為6元,當(dāng)銷售單價定為8元時,每天可以銷售200件。市場調(diào)查反映:銷售單價每提高1元,日銷量將會減少10件。物價部門規(guī)定:銷售單價不能超過12元。設(shè)該紀(jì)念品的銷售單價為x(元),日銷量為y(件),日銷售利潤為w(元)。
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式。
(2)要使日銷售利潤為720元,銷售單價應(yīng)定為多少元?
(3)求日銷售利潤w(元)與銷售單價x(元)的函數(shù)關(guān)系式,當(dāng)x為何值時,日銷售利潤最大,并求出最大利潤。
【分析】(1)根據(jù)題意得到函數(shù)解析式;
(2)根據(jù)題意列方程,解方程即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)題意得到w=(x-6)(-10x+280)=-10(x-17)2+1210,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論。
解:(1)根據(jù)題意得,
y=200-10(x-8)=-10x+280。
(2)根據(jù)題意得,(x-6)(-10x+280)=720,解得:x1=10,x2=24(不合題意舍去)。
答:要使日銷售利潤為720元,銷售單價應(yīng)定為10元。
(3)根據(jù)題意得,w=(x-6)(-10x+280)=-10(x-17)2+1210,
∵-10<0,
∴當(dāng)x<17時,w隨x的增大而增大,當(dāng)x=12時,w最大=960。
答:當(dāng)x為12元時,日銷售利潤最大,最大利潤960元。
【點評】此題考查了一元二次方程和二次函數(shù)的運用,利用“總利潤=單個利潤×銷售數(shù)量”建立函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)一步利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題,解答時求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵。
總之,二次函數(shù)的最值問題是一個在充分理解題意的基礎(chǔ)上,綜合運用各種方法進(jìn)行解答的過程。通過這方面的學(xué)習(xí),同學(xué)們能感受到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)、最值的合理。