聚焦意義 關(guān)注理解 突出應(yīng)用
——《平均數(shù)與條形統(tǒng)計圖》教材解讀與教學(xué)建議

○朱 宇

《平均數(shù)與條形統(tǒng)計圖》主要包括認(rèn)識平均數(shù)、用平均數(shù)解決實際問題、復(fù)式條形統(tǒng)計圖，介紹了平均數(shù)的概念以及求平均數(shù)的方法。教學(xué)中應(yīng)聚焦意義理解，凸顯概念本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境，把探索平均數(shù)算法的主動權(quán)交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷意義辨析和讀圖分析的過程，突出統(tǒng)計在生活中的運用，體現(xiàn)統(tǒng)計的應(yīng)用價值。

一、教材變化點

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容進行了調(diào)整和刪減。

1.優(yōu)化了學(xué)習(xí)素材，強調(diào)平均數(shù)的統(tǒng)計意義。

首先，新教材把原教材例題中的“相同人數(shù)”變?yōu)椤安煌藬?shù)”，設(shè)置“兩隊人數(shù)不同，不能用總數(shù)比較”的思維沖突，激發(fā)學(xué)生尋找一個新的統(tǒng)計量進行比較的內(nèi)在需求。通過平均數(shù)的比較，體會平均數(shù)代表的是“一組數(shù)據(jù)的整體水平”“反映一組數(shù)據(jù)的總體情況”的價值。其次，在習(xí)題的安排上，既鞏固了算法探索的成果，但是不拘泥于平均數(shù)的計算，更側(cè)重于運用平均數(shù)的統(tǒng)計含義解決問題。另外，新教材編寫時既展現(xiàn)了平均數(shù)“利用所有數(shù)據(jù)信息刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢”的優(yōu)點，又充分考慮到平均數(shù)容易受極端數(shù)據(jù)的影響的缺點，在習(xí)題中進行了適當(dāng)滲透。

2.豐富了呈現(xiàn)形式，凸顯復(fù)式統(tǒng)計圖的特征。

新教材在編排上注意突出復(fù)式條形統(tǒng)計圖便于直觀比較兩類事物這一特點。例如，引導(dǎo)學(xué)生畫出復(fù)式條形統(tǒng)計圖后，通過問題的解決，展開對復(fù)式條形統(tǒng)計圖與單式條形統(tǒng)計圖的對比，感受單式條形統(tǒng)計圖在數(shù)量比較上的局限性，凸顯復(fù)式條形統(tǒng)計圖便于比較的優(yōu)勢。新教材還在例題中呈現(xiàn)了復(fù)式條形統(tǒng)計圖的兩種畫法，“生活中的數(shù)學(xué)”又呈現(xiàn)了第三種畫法，從而讓學(xué)生了解到統(tǒng)計圖呈現(xiàn)方式的多樣性。

3.關(guān)注了趨勢預(yù)測，體會統(tǒng)計的意義和價值。

新教材引入了很多現(xiàn)實問題，例3呈現(xiàn)了某地區(qū)近30年城鄉(xiāng)人口數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映的是某地區(qū)近年來鄉(xiāng)村人口不斷減少、城鎮(zhèn)人口不斷增加的現(xiàn)實，據(jù)此讓學(xué)生經(jīng)歷“運用數(shù)據(jù)進行推斷”的思考過程。通過分析，學(xué)生探尋出了城鄉(xiāng)人口變化的原因——隨著經(jīng)濟的發(fā)展，鄉(xiāng)村人口不斷轉(zhuǎn)為城鎮(zhèn)人口，進而體會統(tǒng)計對于事物發(fā)展趨勢的判斷作用。

二、年段銜接點

學(xué)生從一年級開始就在“分類與整理”接觸統(tǒng)計知識，并在二年級下學(xué)期、三年級下學(xué)期和四年級上學(xué)期學(xué)會了收集和整理數(shù)據(jù)的方法，用統(tǒng)計表和單式條形統(tǒng)計圖來表示統(tǒng)計的結(jié)果。

人教版數(shù)學(xué)教材第一學(xué)段安排學(xué)生參加初步的數(shù)據(jù)統(tǒng)計活動，用自己的方式（文字、表格、圖畫等）呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結(jié)果，簡單的數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程則主要集中安排在第二學(xué)段。本單元是繼單式條形統(tǒng)計圖和相應(yīng)統(tǒng)計表后出現(xiàn)的統(tǒng)計知識，五年級下學(xué)期和六年級上學(xué)期，學(xué)生將開展折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的學(xué)習(xí)。第三學(xué)段，統(tǒng)計的教學(xué)內(nèi)容和要求又有了不同程度的擴展和提高。因此，本單元內(nèi)容既是舊知的遷移與發(fā)展，也是后續(xù)學(xué)習(xí)的橋梁。

三、疑難問題及教學(xué)策略

1.怎樣理解“平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的整體水平”？

（1）在體現(xiàn)知識特征的現(xiàn)實情境中孕伏。

例題創(chuàng)設(shè)了一個現(xiàn)實的、有意義的、具有挑戰(zhàn)性的問題情境：四年級第4小組的5名男生和4名女生進行踢毽比賽，各人踢毽的個數(shù)表示在統(tǒng)計表上，要解決的問題是“哪個隊的成績好”。由于男生和女生人數(shù)不相等，所以比較男生踢毽的總數(shù)和女生踢毽的總數(shù)是不合理的方法。由于一個人踢毽的個數(shù)不能代表男生或女生的整體水平，所以比較男生中踢毽最多的個數(shù)和女生中踢毽最多的個數(shù)也是不合理的方法。這時，學(xué)生有可能提出“分別求出男生和女生平均每人踢毽的個數(shù)，再比較較”，這是一種新的辦法，是不是有用？男生（女生）平均每人踢毽的個數(shù)是什么含義？怎樣求？都是需要進一步探索的內(nèi)容。由此自然引出平均數(shù)概念，為后面深化對平均數(shù)意義的理解和把握做好預(yù)設(shè)。

（2）在自主探索平均數(shù)的計算方法中理解。

學(xué)生有平均分的經(jīng)驗基礎(chǔ)，教師應(yīng)順應(yīng)學(xué)生“使所有男生（女生）踢毽的個數(shù)同樣多”的真實想法，鼓勵學(xué)生主動進行觀察、估計、驗證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中，探究求平均數(shù)的方法。既可以讓學(xué)生遷移例1的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，借助教材提供的象形統(tǒng)計圖，直觀發(fā)現(xiàn)求平均數(shù)可以用移多補少的方法，也可以用數(shù)據(jù)總和平均分成幾份的方法。在此過程中，學(xué)生逐步感悟“總數(shù)不變”“移多補少”“結(jié)果同樣多”等“平均分”概念的重要成分，平均數(shù)的意義、求法融為一體。求出男生每人踢毽17個，女生每人踢毽19個，哪個隊的成績好就很清楚了。問題解決之后，教師要帶著學(xué)生及時回顧解決實際問題的過程與方法，使平均數(shù)的知識順利進入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（3）在應(yīng)用平均數(shù)解決問題的過程中體驗。

平均數(shù)在日常生活和生產(chǎn)勞動中的應(yīng)用非常廣泛，教學(xué)中要緊緊抓住平均數(shù)應(yīng)用設(shè)計練習(xí)，在豐富的練習(xí)中不斷深化對平均數(shù)意義的理解，使學(xué)生逐漸認(rèn)識到：平均數(shù)不是一個真實存在的數(shù)，它既與一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)有關(guān)，但是又不是一組數(shù)據(jù)中的某一個數(shù)。例如，教學(xué)例1時，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生借助平均分的意義，理解平均數(shù)不是指每個學(xué)生實際收集到的瓶子數(shù)量，而是“相當(dāng)于”把4個學(xué)生收集到的瓶子總數(shù)平均分成4份，體會平均數(shù)只是一個表示中間狀態(tài)的抽象數(shù)量。

2.怎樣凸顯復(fù)式條形統(tǒng)計圖的獨特優(yōu)勢，以此進一步體會統(tǒng)計的作用？

（1）設(shè)置沖突，激發(fā)尋找策略的欲望。

選取學(xué)生熟知的材料，從制作單式條形統(tǒng)計圖開始，通過對兩幅單式條形統(tǒng)計圖的分析與比較，使學(xué)生感受到在兩幅圖中比較兩種數(shù)據(jù)的不便，自然生成改進方案的需求，積極主動地投入到尋找新的統(tǒng)計策略的活動中去。

（2）聚焦本質(zhì)，實踐完整的操作過程。

教學(xué)時應(yīng)放手讓學(xué)生尋找繪制方法，通過觀察比較，動手?jǐn)[直條等活動，直觀感受到可以用一幅統(tǒng)計圖來描述同一事物的兩種數(shù)據(jù)的過程。引導(dǎo)學(xué)生不斷對設(shè)計的復(fù)式條形統(tǒng)計圖進行完善，由完全一樣的多個直條表示，到用文字標(biāo)注，再到用不同條紋或用不用顏色直條加以區(qū)分，最后抽象為圖例說明，由此提煉出先確定圖例，再用不同的直條表示多種數(shù)據(jù)的繪制方法。隨著復(fù)式條形統(tǒng)計圖的逐步完善，為下一步發(fā)現(xiàn)和解讀信息、分析數(shù)據(jù)做好認(rèn)知和方法上的準(zhǔn)備。

（3）著眼應(yīng)用，強化數(shù)據(jù)分析觀念。

統(tǒng)計的核心是數(shù)據(jù)分析，只有讓學(xué)生主動積極地參與統(tǒng)計的全過程，親身體驗統(tǒng)計、分析和運用數(shù)據(jù)，才能真正把統(tǒng)計觀念的培養(yǎng)落到實處。因此，對復(fù)式條形統(tǒng)計圖的恰當(dāng)運用是教學(xué)的必要組成部分。要把數(shù)據(jù)分析與解決簡單的實際問題結(jié)合起來教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷運用數(shù)據(jù)進行推斷的思考過程，體會統(tǒng)計對于事物發(fā)展趨勢的判斷作用。教學(xué)中，還可以借助條形統(tǒng)計圖中的直條，有機滲透幾何直觀思想，將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化。要深度挖掘練習(xí)題的比較建模功能，通過數(shù)據(jù)分析得出有價值的結(jié)論，提出科學(xué)化的建議，進行合理決策。教學(xué)中還要將課內(nèi)外結(jié)合起來，適當(dāng)設(shè)計一些課外實踐活動，如從不同渠道搜集各種形式的復(fù)式條形統(tǒng)計圖，開展各項比賽活動，調(diào)查了解學(xué)生的參與程度、愛好和特長等等。

資料存盤

1.《平均數(shù)與條形統(tǒng)計圖》課標(biāo)解讀。

課程標(biāo)準(zhǔn)在“學(xué)段目標(biāo)”的“第二學(xué)段”中提出：經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理和分析過程，掌握一些簡單的數(shù)據(jù)處理技能；進一步認(rèn)識到數(shù)據(jù)中蘊含的信息，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念；認(rèn)識條形統(tǒng)計圖，能用條形統(tǒng)計圖直觀且有效地表示數(shù)據(jù)；體會平均數(shù)的作用，能計算平均數(shù)，能用自己的語言解釋其實際意義；能從報刊、電視等媒體中，有意識地獲得一些數(shù)據(jù)信息，并能讀懂簡單的統(tǒng)計圖表；能解釋統(tǒng)計結(jié)果，根據(jù)結(jié)果進行簡單的判斷和預(yù)測，并能和他人交流。

2.平均數(shù)的幾個特性。

（1）虛擬性：平均數(shù)的概念與平均分的意義是不完全一樣的，雖然可以借助平均分的意義通過計算得到平均數(shù)，但是它并不是一個“真實”的數(shù)，并不表示一個實際存在的數(shù)量。（2）集中趨向性：一組數(shù)的平均數(shù)的大小，一定在最大數(shù)與最小數(shù)之間。（3）敏感性：一組數(shù)的平均數(shù)容易受這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)的影響，這組數(shù)據(jù)中任何一個數(shù)發(fā)生變化，都能引起平均數(shù)的變化。

3.在一些比賽中為什么要“去掉一個最高分，去掉一個最低分”？

在統(tǒng)計中，平均數(shù)的優(yōu)點是能充分利用所有數(shù)據(jù)的信息刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，但是它也有自身的缺點──容易受極端數(shù)據(jù)的影響。如果計算平均數(shù)的數(shù)據(jù)出現(xiàn)極端差異，平均數(shù)就會產(chǎn)生欺騙性。為了消除這種現(xiàn)象，可將少數(shù)極端數(shù)據(jù)去掉，只計算余下數(shù)據(jù)的平均數(shù)。所以，統(tǒng)計比賽的成績時，常常采用在評分?jǐn)?shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分，再計算平均分的辦法，以避免極端數(shù)據(jù)造成的誤導(dǎo)。