基于實際問題 強化數(shù)學建模 彰顯素養(yǎng)導向
——例談初中數(shù)學方程模型教學的探索與實踐

江蘇省興化市邊城學校 方震軍

《義務教育數(shù)學課程標準（2011 版）》（以下簡稱《標準》）指出：模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。進行數(shù)學建模的主要目的就是培養(yǎng)學生用數(shù)學眼光看待現(xiàn)實世界中的實際問題，并將實際問題抽象成數(shù)學模型，然后用數(shù)學方法求解模型，進而解決實際問題。方程模型是數(shù)學模型中最重要的模型之一，本文結(jié)合筆者的教學實踐，就實際教學中如何基于《用二次一次方程組解決問題》開展方程建模教學提供一點做法，以供參考。

一、精選實際問題，關(guān)注已有經(jīng)驗

《標準》指出：課程內(nèi)容的選擇要貼近學生實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索。這就要求我們在對問題進行選擇時，必須以學生所熟悉的生活中的問題為背景，以便他們發(fā)揮已有經(jīng)驗，使學生更容易獲得成功的機會，體會到成功的喜悅。在這一過程中，學生發(fā)現(xiàn)問題和轉(zhuǎn)化問題的能力都得到了訓練，建模能力得到了提高?！半u兔同籠問題”是我國古算書《孫子算經(jīng)》中著名的數(shù)學問題，之所以選擇這個問題不僅是因為它貼近學生生活實際，有利于激發(fā)學生的好奇心和求知欲，而且在小學就已從算術(shù)角度給出解決，更能讓學生通過這個古代數(shù)學應用題增加民族自豪感。

二、讀題幫助抽象，形成數(shù)學問題

讀題先要漫讀，應明確題意，讀出已知條件和問題。從整體上把握是哪方面的問題，一旦明確了是哪一方面的問題，腦子里相關(guān)的知識鏈接就會被激活。漫讀就像方向標，決定著我們向哪個方向前進。讀題還要細讀，在讀的過程中思考題目中各條件間的相互聯(lián)系，即在讀題中進行思考，在思考中進行讀題，初步分析判斷數(shù)量間的聯(lián)系。例如：今有雞兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雞兔各幾何？學生第一次漫讀時就會聯(lián)想到這是“和差類”的方程問題，方程問題的相關(guān)信息就會被激活。第二次細讀時，學生會從關(guān)鍵句中發(fā)現(xiàn)重要的數(shù)量關(guān)系，并將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學文字語言，發(fā)展學生的數(shù)學眼光。

三、借助梯度問題，明晰等量關(guān)系

這一步要引導學生逐一分析關(guān)鍵句，從中體會蘊含的等量關(guān)系。方程建模的重點和難點就是找出問題中存在的等量關(guān)系，學生分析實際問題中的數(shù)量關(guān)系、尋找相等關(guān)系的能力還比較薄弱，通過問題串的設計層層深入，引發(fā)學生的數(shù)學思考。教師通過引導學生學會分析問題，為問題的解決尋找思路。例如設計如下問題串：（1）題目中出現(xiàn)了哪些量？（2）哪些是已知量？（3）哪些是未知量？（4）請你找出題目中表示等量關(guān)系的句子。根據(jù)前面的精細讀題，學生對題中的相關(guān)數(shù)據(jù)及其數(shù)量關(guān)系已經(jīng)初步厘清，在此基礎(chǔ)上，等量關(guān)系已經(jīng)在學生頭腦中浮現(xiàn)，教師可以通過關(guān)鍵詞閱讀法、表格法、示意圖法來幫助學生分析等量關(guān)系，從而為后續(xù)數(shù)學建?；顒拥於ɑA(chǔ)。

四、巧設未知數(shù)量，建立方程模型

《標準》指出：教師教學應該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學生，注重啟發(fā)式教學和因材施教。學生通過“用一元一次方程解決問題”的學習，已經(jīng)初步具備了建立一元一次方程模型解決簡單實際問題的能力，這也為本節(jié)課的學習奠定了堅實的基礎(chǔ)。因此本節(jié)課的教學采用類比的方式來組織教學，放手讓學生參與探究，教師只是在學生有困難時給予幫助，以問題引領(lǐng)學生尋找解決問題的方法。例如，你準備設哪個未知量？你能依據(jù)等量關(guān)系列出方程或方程組嗎？學生基于已有的學習一元一次方程的經(jīng)驗，設雞數(shù)（或兔數(shù)）為x 只，根據(jù)足數(shù)94 列出方程。也有學生大膽而創(chuàng)新地設出雞有x 只，兔有y 只，從而根據(jù)頭35 個和足94 個列出了兩個二元一次方程，形成方程組。通過對比發(fā)現(xiàn)用二元一次方程組來表示更簡便，學會合理選擇模型，同時體會到用二元一次方程組來解決問題的優(yōu)越性，理解學習二元一次方程組解決問題的必要性，感受到一元一次方程和二元一次方程組都是解決實際問題的有效數(shù)學模型，并發(fā)展學生的符號意識和創(chuàng)新意識。

五、突出對比辨析，加強模型銜接

這一環(huán)節(jié)是這節(jié)課最有價值的地方，要讓學生通過對比研究知道兩種解法其實是對問題中包含的兩個等量關(guān)系使用方式的不同而已。例如設計如下問題：（1）對比上述兩種解法，它們之間有什么聯(lián)系和區(qū)別嗎？（2）用帶入消元法解二元一次方程組，你有什么發(fā)現(xiàn)？列一元一次方程解題是設一個未知量，利用“雞的頭數(shù)+兔的頭數(shù)=35”這一等量關(guān)系表示出另一個未知量，再用“雞的足數(shù)+兔的足數(shù)=94”這一等量關(guān)系去列方程；列二元一次方程組解題是同時設兩個未知量，利用問題中的兩個等量關(guān)系列出二元一次方程組。當用帶入消元法解二元一次方程組時，學生可以發(fā)現(xiàn)二元一次方程組剛好轉(zhuǎn)化成前面列出的一元一次方程，可以進一步感受到兩種模型之間的聯(lián)系，讓兩種模型自然銜接，同時體會學習新模型的必要性與價值，深化模型思想。

六、出結(jié)果需謹慎，不忘復查檢驗

求出結(jié)果后，對于結(jié)果的正確性和合理性，還需要我們進行檢驗。然而學生平時的檢查往往只注重形式，沒有深入地進行推理論證，沒有什么實際效果。因此在實際教學中，首先要引導學生明確檢驗的必要性，養(yǎng)成反思意識，其次要教給學生一些具體檢驗的方法，讓學生有法可循，以提高檢驗的能力。

七、歸納一般步驟，掌握建模方法

學生基于列一元一次方程解決問題的經(jīng)驗，再通過上面例題的學習，能夠總結(jié)出建立二元一次方程組數(shù)學模型的一般步驟：（1）實際問題情境；（2）建立二元一次方程組模型；（3）解二元一次方程組；（4）解釋二元一次方程組解的合理性。在這個基本過程中,我們要著重培養(yǎng)學生從實際問題情境中抽象出數(shù)學問題，并利用關(guān)鍵詞閱讀法、表格法等幫助學生分析問題，從而建立合理的方程（組）模型，求解模型并討論結(jié)果的意義，最終解決實際問題。通過歸納總結(jié)，使學生能夠掌握建模的方法。

本節(jié)課內(nèi)容在整個初中方程建模教學中有著承上啟下的作用，是設一元建模到設多元建?？缭降年P(guān)鍵環(huán)節(jié)。從方程建模教學的整體角度考慮本節(jié)課的學習，最主要的是讓學生體會從設一元到設多元是建模不斷優(yōu)化的過程，扎實推進深度教學，通過對比辨析，學會合理選擇模型，體會數(shù)學模型之間的自然銜接，最終實現(xiàn)數(shù)學建模的系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化。

【備注：本文為泰州市教育科學“十三五”規(guī)劃2017 年度一般立項課題“農(nóng)村義務教育中數(shù)學建模核心素養(yǎng)的銜接研究”的階段成果，課題編號：TJKYBLX2017/154】