高中數(shù)學(xué)不等式的解法分析

湖北省黃岡市團(tuán)風(fēng)中學(xué) 張文華

在不等式部分的教學(xué)過程中，我們數(shù)學(xué)教師應(yīng)讓學(xué)生加強(qiáng)自身邏輯思維能力和獨(dú)立思考能力的培養(yǎng)。因此，對(duì)高中數(shù)學(xué)中不等式的解法進(jìn)行分析是一項(xiàng)非常重要的工作。

一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中不等式的解答分析

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中，兩個(gè)不同變量之間的大小關(guān)系都可以用不等式來表示，這樣函數(shù)問題中未知量與變量之間的大小關(guān)系都可以非常清晰地表示出來。在一次函數(shù)中，給出自變量的取值范圍，通過不等式的性質(zhì)以及函數(shù)的具體表達(dá)式就可以求出因變量的取值范圍，同理，給出因變量的取值范圍，就可以求出自變量的取值范圍。在二次函數(shù)甚至三次函數(shù)中，雖然求解過程的復(fù)雜性會(huì)在一定程度上有所增加，但是從本質(zhì)上來看，二次函數(shù)中的不等式問題與一次函數(shù)中的不等式問題是相同的。高中教師在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)函數(shù)問題中不等式的教學(xué)過程中，應(yīng)該盡可能地培養(yǎng)學(xué)生解決問題時(shí)的發(fā)散性思維，引導(dǎo)學(xué)生掌握這一類題型的解決方法，即充分挖掘題目中已經(jīng)給出的條件并分析，然后根據(jù)函數(shù)的具體表達(dá)式以及具有的性質(zhì)進(jìn)行解題，在這個(gè)過程中，教師必須要引導(dǎo)學(xué)生尋找題目中的隱含條件，掌握題目已知條件與最終求解答案之間的具體關(guān)系。

例如，對(duì)于函數(shù)f(x)=-bx2+ax，已知常數(shù)a＞0，且當(dāng)b＞0，x 的取值范圍為實(shí)數(shù)域時(shí)，f(x)≤1。證明：。高中數(shù)學(xué)教師為學(xué)生講解這道題目時(shí)，可以先和學(xué)生一起對(duì)題目進(jìn)行分析，然后再讓學(xué)生寫出具體的求解過程。分析過程如下：從題目中的已知條件知，a＞0，b＞0，當(dāng)x 為任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)值大于1，因此，可以將代入函數(shù)的表達(dá)式中，此時(shí)函數(shù)值大于1，根據(jù)得到的具體表達(dá)式對(duì)不等式進(jìn)行求解，就可以得出題目要求證明的結(jié)論。

二、高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃問題中不等式的求解

在高中數(shù)學(xué)線性規(guī)劃部分的學(xué)習(xí)中，不等式也有著非常廣泛的應(yīng)用。實(shí)際上，利用不等式對(duì)線性規(guī)劃的方案進(jìn)行求解是解決線性規(guī)劃問題的重要方法。因?yàn)槔貌坏仁綄?duì)數(shù)據(jù)的可取范圍進(jìn)行明確是線性規(guī)劃問題求解過程中的第一步，也是非常重要的一個(gè)步驟，接下來就需要對(duì)數(shù)據(jù)的可取范圍進(jìn)行區(qū)分，比如某一個(gè)函數(shù)的上半部分大于零，而下半部分小于零，再通過不等式的具體符號(hào)來判斷結(jié)果是否包含所規(guī)劃區(qū)域的邊界。具體來講，利用不等式求解線性規(guī)劃問題的步驟如下：首先，利用題目中已知的約束條件在坐標(biāo)軸中畫出可行域，其次，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的具體表達(dá)式以及可行域?qū)瘮?shù)的最大值或者最小值進(jìn)行求解，最后得出具體的數(shù)值結(jié)果。這種解題方法是所有解決線性規(guī)劃問題方法中較為簡單易行的一種，高中數(shù)學(xué)教師為學(xué)生講解線性規(guī)劃問題求解方法的過程中，要讓學(xué)生充分體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的重要作用，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之美。

例如，已知變量x 和y 滿足以下條件：x+y ≥5，x-y+3 ≤0，x ≤3，求解函數(shù)z=x+2y 在此區(qū)域內(nèi)的最大值和最小值。這道題目的分析過程如下：在求解這道題目時(shí)，必須要充分利用數(shù)形結(jié)合的解題思想，將題目中已知的變量x 和y 滿足的約束條件在平面直角坐標(biāo)中畫出來，得到一個(gè)區(qū)域之后，再在圖中畫出函數(shù)z=x+2y 的圖像，根據(jù)所學(xué)知識(shí)可知目標(biāo)函數(shù)的圖像為一條直線，這時(shí)可以將直線在開始畫出的可行域中進(jìn)行平移，一般情況下，在可行域的頂點(diǎn)位置處目標(biāo)函數(shù)取得最大值或者最小值。

三、高中數(shù)學(xué)中對(duì)不等式的取值范圍進(jìn)行求解

從數(shù)學(xué)角度來說，取值范圍是指一個(gè)數(shù)值集合，在這個(gè)集合中，所有的數(shù)都會(huì)滿足特定的條件。在高中數(shù)學(xué)研究范圍內(nèi)，通常使用區(qū)間和不等式這兩種形式對(duì)變量的取值范圍進(jìn)行表達(dá)。在求解參數(shù)的具體取值范圍時(shí)，也可以采用對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)并分析函數(shù)單調(diào)性的方法，但是這種方法的復(fù)雜性較高，學(xué)生在計(jì)算時(shí)會(huì)容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，如果利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解，那么求解過程會(huì)變得簡單許多。一般情況下，利用不等式對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行求解的步驟為：首先，對(duì)不等式進(jìn)行移項(xiàng)等基礎(chǔ)變換，將參數(shù)分離出來單獨(dú)放到不等式的一側(cè)，而不等式的另一側(cè)則是x 的表達(dá)式。其次，根據(jù)x 的取值范圍求出包含x 的整個(gè)表達(dá)式的取值范圍。最后，根據(jù)x 的表達(dá)式的取值范圍對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行求解。

例如，在方程3x+3y=2+2a 中，x+y 的取值范圍為（-∞，0），求方程中參數(shù)a 的取值范圍。首先對(duì)方程進(jìn)行變換和化簡，得到x+y=，由于x+y 小于零，那么得到＜0，對(duì)這個(gè)不等式進(jìn)行求解，就可以快速得到參數(shù)a 的取值范圍。高中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，首先要讓學(xué)生明確在解題時(shí)不能完全依靠教師的講解或者答案的分析，而是要有自己的思考過程，這樣才可以在真正意義上提升學(xué)生的思維能力和數(shù)學(xué)水平。

在高中數(shù)學(xué)中，同一道題往往有著不同的解法，而且求解問題時(shí)需要有很強(qiáng)的技巧性，這就需要高中教師在教學(xué)過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，對(duì)學(xué)生的思維進(jìn)行擴(kuò)展。對(duì)不等式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，教師可以將不等式在各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中的應(yīng)用總結(jié)出來，這樣學(xué)生在求解數(shù)學(xué)問題時(shí)就可以有更多的解題方法。