HPM視角下的概念教學—以正態(tài)分布的教學為例

廣東省江門市新會第一中學(529100)洪偉榮

一、正態(tài)分布的傳統(tǒng)教學及其重要性

1.正態(tài)分布的傳統(tǒng)教學

正態(tài)分布在高中課程標準中的教學目標是:通過對正態(tài)分布的探究,結合正態(tài)曲線,加深對正態(tài)密度函數的理解,掌握正態(tài)分布在實際生活中的應用.傳統(tǒng)的教學一般致力于讓學生記住正態(tài)曲線的大致形狀及μ和σ的值對曲線位置與形狀的影響.不重視概念的探究和理解,特別是忽略了概念發(fā)生的過程,同時也不重視概念的應用,直接拋出概念的結果,使“正態(tài)分布”留在學生的記憶中只是一個零碎的知識片段,割裂了知識之間的聯系.所以當學生真正遇到問題時感覺束手無策.正態(tài)分布密度函數是比較復雜的,學生在學習過程中肯定有畏難情緒,這也是從HPM 視角來重新審視這一問題的必要性.統(tǒng)計知識的學習最終是要為人們制定決策提供依據,正態(tài)分布的應用同樣如此.

2.正態(tài)分布的重要性

隨著社會的發(fā)展,數據的收集變得越來越容易,隨著而來的問題是數據的分析和使用問題,統(tǒng)計與概率知識在今后的經濟生活中將變得越來越重要.這在近年的數學高考全國卷中也有所體現.正態(tài)分布是概率論中最重要的一種連續(xù)型分布,同時又是統(tǒng)計學的基石.而在高中,正態(tài)分布卻一直處于比較邊緣的地位沒有受到高中教師的重視.我們必須注意到近年全國I 卷理科數學分別在2014年的第18 題第(2)小問和2017年的第19 題整題都圍繞著正態(tài)分布進行考查.特別是后者由于我們平時教學不重視導致這一題目的得分率相當的低.這不得不引起我們高中數學教師的注意,我們亟需改變以往只讓學生粗略地了解正態(tài)分布這一概念的教學現狀,而應該從一個全新的視角來開展我們的教學,不但讓學生學“懂”,還要讓學生學“會”.

二、HPM 的概述

HPM 是數學史與數學教育的關系國際小組的一個簡稱.自從1972年HPM 成立以來,數學史與數學教學關系越來越受到數學教育研究者的關注,特別是2005年我國在西北大學第一屆全國數學史與數學教育會議的成功召開以來,數學史融入數學教學得到了越來越多專家的認可,尤其是在概念教學中融入數學史.著名的數學家陳省身說過:“了解歷史的變化是了解這門科學的一個步驟”,做為數學的學習同樣如此.隨著HPM 研究的深入,相關的文獻己經逐漸從開始時對數學史融入數學教學必要性和可行性的探討轉向實踐研究,越來越多的研究開始關注數學史與數學教育整合的研究方案,并開發(fā)出一些基于數學史的數學教學案例.但研究者多數是高校的教師或研究生,一線高中數學教師開發(fā)HPM 案例還是不多見,基本上呈現“高評價,低應用”的現狀.[1]

三、HPM 視角下的正態(tài)分布教學案例

1.概念引入

教師通過電腦展示利用Flash 軟件制作好的高爾頓板模擬實驗(順便說明高爾頓板實驗現在已經被制作成一些游戲機,引起學生的共鳴)、一次期中考全班、全年級總分的頻率分布直方圖、《必修3》100 位居民的月均用水量頻率分布直方圖(并回顧直方圖中每個小矩形面積的意義,及所有小矩形面積之和),進一步展示當樣本容量增加后得到的總體密度曲線,引入正態(tài)分布密度曲線.

2.擬合函數

(1)教師引導學生觀察正態(tài)分布密度曲線這一條光滑的鐘型曲線,引導學生利用已經學習的初等函數來擬合函數.初步確定該曲線對應的函數應該是一個由指數函數及二次函數復合而成的函數,且其對稱軸為x=μ,其開口大小與σ的值有關系;

(2)為什么要使用e作為底數呢? 教師著重強調e為底的指數式在積分或導數的運算中的便捷性.

為什么正態(tài)分布密度函數中的指數式要以e為底——數學家在大量的指、對數運算中發(fā)現以e為底的指數式在積分或導數的運算中最為簡單,我們在學習選修2-2 導數與定積分地運算中應該能夠感知一二,如(ex)′=ex,(ax)′=axlna,前者比后者的運算顯然更簡單,而如使用后者在導數和積分的運算中同樣會出現e.所以以e為底既是“自然”的選擇,更是運算的選擇.[3]

(3)展示10 馬克錢幣的圖片并介紹高斯與正態(tài)分布的數學歷史,強調正態(tài)分布在統(tǒng)計學中的歷史地位激發(fā)學生學習的興趣.

早在1733年,法國數學家棣莫弗在二項分布正態(tài)逼近的研究中,用n!的近似公式得到了正態(tài)分布,但其成果不夠完善,并沒有引起人們的重視;直到1809年德國數學家高斯在研究測量誤差時完善了正態(tài)分布理論,對正態(tài)分布的廣泛應用奠定了扎實的理論基礎,并贏得了人們的普遍關注和研究.其使用范圍也不斷擴展,從天文學、測地學到生物學、社會科學……,至今正態(tài)分布被廣泛地用于生活、生產、教育以及科學研究的各個領域.高斯是一位偉大的數學家,有數學王子的美譽,其一生在數學研究方面碩果累累,他對數學工作精益求精,只有將問題研究通透了,他才發(fā)表,在正態(tài)分布的研究方面也體現了這一精神,為了紀念其貢獻,德國10 馬克印有高斯的頭像,在其上還印有正態(tài)分布密度曲線,可見正態(tài)分布是多么重要的一個發(fā)現.[2]

以此為基礎教師給出正態(tài)分布密度函數.

3.函數的圖象及性質

引導學生得到正態(tài)曲線有如下的特點:

(1)f(x)＞0 恒成立,曲線位于x軸的上方,與x軸不相交;

(2)曲線是單峰的,開口向下,它關于直線x=μ對稱;

(3)曲線在x=μ處達到峰值

(4)曲線與x軸之間的面積為1;

利用計算機演示μ、σ的取值對鐘型曲線的位置、開口大小的影響,總結如下特點:

(5)當σ一定時,曲線的位置由μ確定,隨著μ的變化沿x軸平移;

(6)當μ一定時,曲線的形狀由σ確定,σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體分布越分散;σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體分布越集中.

4.正態(tài)分布的初步應用

(I)教師介紹正態(tài)分布在三個常用特殊區(qū)間內取值的概率取值P(μ-σ ＜X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ ＜X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ ＜X≤μ+3σ)≈0.9973 并介紹3σ原則及極大似然法;

(II)通過課堂練習熟悉正態(tài)分布:

例1給出下列正態(tài)總體的函數表達式,請找出其均值μ和標準差σ:

例2在一次測試中,測量結果X服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ ＞0),若X在(0,2)內取值的概率為0.2,求:

(1)X在(0,4)內取值的概率;

(2)P(X ＞4).

例3在某次數學考試中,考生的成績X服從一個正態(tài)分布,即X ～N(90,100).

(1)試求考試成績X位于區(qū)間(70,110)上的概率;

(2)若這次考試共有2 000 名考生,試估計考試成績在(80,100)間的考生大約有多少人?

(III)介紹正態(tài)分布的常見應用,感受其強大的普適性,并讓學生完成例4 體會正態(tài)分布的應用.

正態(tài)分布的應用——研究表明,一個隨機變量如果是受到眾多的、獨立的、不分主次的隨機因素的影響,那么它就服從或近似服從正態(tài)分布.如:長度測量的誤差,射擊時彈著點與靶心間的距離,一定條件下生長的同種植物的高度,正常生產條件下各種產品的質量指標(如尺寸、重量等),某一地區(qū)同齡人的身高、體重、肺活量等等.[4]實例(例4):公共汽車車門的高度設計——某型號的公共汽車車門的高度要求按成年男子與車門頂碰頭的概率不高于0.135%來設計.假設男子身高X ～N(170,49),問車門高度應設計為多高?(單位:cm)

5.課堂小結

四、HPM 的意義

1.從教師層面來說,教師統(tǒng)過HPM 的研究可以了解更多的數學文化,增強自己的數學素養(yǎng),借鑒歷史便于找到突破教學難點的方法.

2.從學生層面來說,學生通過HPM 下的教學,可以拓展學生的視野,幫助學生理解所學的知識,激發(fā)學生學習數學的興趣,改變學生的數學觀,培養(yǎng)學生的探索精神,幫助學生掌握科學的學習方法.

3.從教學層面上來說,HPM 為我們的教學研究和實踐提供了一個新的視角.2019 高考數學全國卷進一步增強了數學文化的考察力度,數學史不再是課堂的潤滑劑,已是高考的考察內容,是在數學課堂中落實“立德樹人”很好的素材.

五、HPM 下的教學案例開發(fā)方法初探

1.教師是教學史融入教學過程的主體,教師要對相應的教學內容的史料及文獻進行搜集、閱讀、整理,并考慮將其融入到適當的教學環(huán)節(jié)當中;

2.要充分發(fā)揮學生的主動性,現在學生查找資料的能力并不亞于老師,在學生查找資料、選擇資料的過程中也是一種學習數學史的過程;但學生在課堂展示相關史料必須經過加工和教師的斟酌,以提高針對性和效率;

3.HPM 要服務于教學,增強教學的效果,促進學生對相關知識的學習,不能為講數學史而講數學史,應將數學史融入教學過程當中,解決教學的難點,解決學生的困惑,要有的放矢,不應泛泛而談,促進教學目標的完成.