談數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法

陜西省咸陽(yáng)市乾縣大墻九年制學(xué)校(713302)范亞飛

數(shù)學(xué)是一門創(chuàng)造性的藝術(shù),蘊(yùn)含著豐富的美,而靈活、巧妙的構(gòu)造令人拍手叫絕,能為數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決增添色彩,更具研究和欣賞價(jià)值.所謂構(gòu)造法是指當(dāng)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題使用通常辦法按定勢(shì)思維去解決很難奏效時(shí),應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)、從新的角度、用新的觀點(diǎn)觀察、分析、解決對(duì)象,抓住反映問(wèn)題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,把握問(wèn)題的外形、數(shù)值等特征,用已知條件中的元素為“元件”,用已知數(shù)學(xué)關(guān)系式為“支架”,在思維中構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對(duì)象,使原問(wèn)題中隱晦不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對(duì)象中清楚的展現(xiàn)出來(lái),從而借助該數(shù)學(xué)對(duì)象簡(jiǎn)捷的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法.

構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法,本質(zhì)特征是“構(gòu)造”,其主要特點(diǎn)也是“構(gòu)造”.在運(yùn)用時(shí),一要明確構(gòu)造的目的,即為什么目的而構(gòu)造;二要弄清問(wèn)題的特點(diǎn),以便依據(jù)特點(diǎn),確定方案、實(shí)現(xiàn)構(gòu)造,下面舉例說(shuō)明這些.

一、構(gòu)造方程

方程式是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要工具,許多數(shù)學(xué)問(wèn)題,根據(jù)其數(shù)量關(guān)系,在已知和未知之間搭上橋梁,構(gòu)造出方程,使解答簡(jiǎn)捷、合理.運(yùn)用方程觀點(diǎn)解題可歸結(jié)為3 個(gè)步驟:(1)將所面臨的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題;(2)解這個(gè)方程或討論這個(gè)方程的有關(guān)性質(zhì)(常用判別式與韋達(dá)定理)得出相應(yīng)的結(jié)論;(3)將方程的相應(yīng)結(jié)論再返回為原問(wèn)題的結(jié)論.

例1已知a,b,c為互不相等的實(shí)數(shù),試證:

證明構(gòu)造方程

顯然a,b,c為方程的三個(gè)互不相等的實(shí)根.面對(duì)任意實(shí)數(shù)x均滿足(2)式.特別地,令x=0,即得(1)式.

例2若p,q ∈R,p3+q3=2.求證:0＜p+q≤2.

證明由p3+q3=2,有(p+q)3-3pq(p+q)=2.顯然p+0,令p+q=k,則構(gòu)造方程

則p,q顯然是方程(1)的二實(shí)根,于是0,即解得0＜k≤2,即0＜p+q≤2.

例 3設(shè)x,y為實(shí)數(shù),且滿足關(guān)系式:則x+y=____.

分析此題用常規(guī)方法,分別求出x和y的值后再求x+y既繁又難,三次方程畢竟不熟悉.若將兩方程聯(lián)立構(gòu)造出方程(x-1)3+1997(x-1)=(1-y)3+1997(1-y)=1,利用函數(shù)f(t)=t3+1997t的單調(diào)性,易得x-1 = 1-y,即x+y=2,自然、簡(jiǎn)潔.

二、構(gòu)造函數(shù)

在求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),根據(jù)問(wèn)題的條件,變換思維的角度,構(gòu)想、組合一種新的函數(shù)關(guān)系,題在新的函數(shù)觀點(diǎn)下實(shí)行轉(zhuǎn)化,并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問(wèn)題是一種行之有效的解題手段,是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)中從常量到變量的這個(gè)認(rèn)識(shí)的飛躍.很多數(shù)學(xué)命題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性質(zhì),并利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、奇偶性等使繁冗復(fù)雜、難尋入口的問(wèn)題得到巧妙和別具一格的解決.

例1(柯西不等式)設(shè)ai,bi(i= 1,2,··· ,n)均為實(shí)數(shù),證明:

證明; 構(gòu)造二次函數(shù)即,f(x)= (a1x+b1)2+(a2x+b2)2+···(anx+bn)2≥ 0,所 以 Δ =不等式得證.

例2設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且ab ＞0,求證:?ξ ∈(a,b)使2ξ(f(b)-f(a))=(b2-a2)f′(ξ).

證明只需構(gòu)造g(x)=x2,則可知g(x)在[a,b]連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo); 且在(a,b)內(nèi)g′(x)≠0,故應(yīng)用柯西定理有即2ξ(f(b)-f(a))=(b2-a2f′(ξ).

例3已知求α+β.

分析與解注意到兩個(gè)已知等式的左邊具有相同的結(jié)構(gòu),故可構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=x3-3x2+5x,進(jìn)而化成f(x)=(x-1)3+2(x-1)+3,再引入函數(shù)g(u)=u3+2u,則f(x),g(x)之間有關(guān)系g(x-1)=f(x)-3.易見(jiàn)g(u)是單調(diào)上升的奇函數(shù)，而題中的條件變成g（α- 1）= f（α）-3= -2，g（β- 1）= f（β）- 3 = 2 由g（u）的性質(zhì)知α- 1，β- 1在x 軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱故有（α- 1）+（β- 1）= 0，因此得α + β = 2.

例4設(shè)函數(shù)f（x）在［0，1］上連續(xù)，f（0）= 0，在（0，1）內(nèi)0 ＜ f '（x）＜ 1.證明：

證明構(gòu)造函數(shù)所以φ（x）為單調(diào)增函數(shù).x = 0 時(shí)，φ（0）= 0.故φ（x）≥ 0，即F'（x）≥ 0.所以F（x）為單調(diào)增函數(shù)，F(xiàn)（0）= 0，故F（1）≥ F（0）= 0，既成立.

三、構(gòu)造數(shù)列

涉及與自然有關(guān)的不等式的證明時(shí)，可以用數(shù)學(xué)歸納法，但若用構(gòu)造遞增數(shù)列（或遞減）數(shù)列的方法，有時(shí)會(huì)更簡(jiǎn)便一些.

例1設(shè)都大于- 1且同號(hào)，求證：

證明構(gòu)造數(shù)列則

證明不等式的方法有很多，構(gòu)造法就是其中的一種，其實(shí)質(zhì)是將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.它以構(gòu)造數(shù)列、圖形、方程作為常用手段.以下就以構(gòu)造數(shù)列、圖形為例來(lái)談.

由以上兩例可以得出構(gòu)造圖形的要點(diǎn)是：仔細(xì)審題，繪出符合題設(shè)、能部分或全部體現(xiàn)題意并反映各數(shù)量關(guān)系的幾何圖形，借助幾何圖形來(lái)解決問(wèn)題.

從以上各例不難看出，構(gòu)造法是一種極富技巧性和創(chuàng)造性的解決問(wèn)題的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，也滲透著猜想、探索、特殊化等重要得數(shù)學(xué)方法，而在構(gòu)造時(shí)，要以觀察為先導(dǎo)、以分析為武器、以一定的知識(shí)背景、通過(guò)仔細(xì)觀察、分析、去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的各個(gè)環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件.另外，運(yùn)用構(gòu)造法解數(shù)學(xué)題可以從中欣賞數(shù)學(xué)之美，感受解題的樂(lè)趣，更重要的是可開(kāi)拓思維空間、啟迪智慧、并對(duì)培養(yǎng)多元化思維和創(chuàng)造精神大有裨益.

［1］李明振.《數(shù)學(xué)方法與解題研究》.上?？萍冀逃霭嫔?，2003（9）.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編《數(shù)學(xué)分析》.高等教育出版社，2002（1）