例談分類討論思想在等腰三角形問(wèn)題中的應(yīng)用

廣東省廣州市番禺區(qū)市橋橋城中學(xué)(511400)陳俊霞

清代教育家顏元說(shuō)過(guò):“講之功有限,習(xí)之功無(wú)已.”在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中,我們不僅要重視課堂上知識(shí)的傳授,更要重視“習(xí)行之功”.等腰三角形是一種特殊的三角形,其性質(zhì)豐富多彩,相關(guān)問(wèn)題也靈活多變.一些與等腰三角形的邊、角有關(guān)的問(wèn)題,由于條件沒(méi)有明確給出,會(huì)出現(xiàn)多種情況,需要通過(guò)分類討論才能解決.學(xué)生遇到等腰三角形中有關(guān)分類問(wèn)題,往往會(huì)因?yàn)榉诸惒划?dāng),或考慮不全面導(dǎo)致錯(cuò)解或漏解,因此要特別引起重視.本文就分類討論思想在等腰三角形問(wèn)題中的應(yīng)用進(jìn)行舉例說(shuō)明.

一、等腰三角形的分類討論思想在角中的應(yīng)用

1、(2018·成都)等腰三角形的一個(gè)角為50°,則它的頂角的度數(shù)為 ____.

解析題中未指明50°是頂角還是底角,因此應(yīng)該分兩種情況考慮:①當(dāng)50°是頂角,②50°是底角,頂角度數(shù)180°-50°×2=80°.因此答案50°或80°.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于一個(gè)等腰三角形,若條件中并沒(méi)有確定頂角或底角時(shí),應(yīng)注意分情況討論,先確定這個(gè)已知角是頂角還是底角,再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求解.

二、等腰三角形的分類討論思想在邊中的應(yīng)用

2、(2017 番禺區(qū)期末8)已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4,另一邊長(zhǎng)為8,則它的周長(zhǎng)是( ).

A.12 B.16 C.20 D.16 或20

解析已知條件中未指明4,8 是腰長(zhǎng)還是底邊長(zhǎng),因此需要通過(guò)分類討論來(lái)解答.①當(dāng)4 為腰時(shí),三角形三邊分別為4,4,8; ②當(dāng)8 為腰時(shí),三角形三邊分別為4,8,8;由于三角形三邊關(guān)系必須符合“三角形的兩邊之和大于第三邊”所以排除 ①,三角形的周長(zhǎng)為4+8+8=20.答案選擇C.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于底和腰不等的等腰三角形,若條件中沒(méi)有明確哪是底哪是腰時(shí),應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.

三、等腰三角形的分類討論思想在高中的應(yīng)用

3、若等腰三角形腰上的高與另一腰的夾角為50°,則這個(gè)等腰三角形的底角為____.

解析要注意分高在三角形的內(nèi)部與高在三角形的外部?jī)煞N情況討論,再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°,等腰三角形的兩個(gè)底角相等,即可求得結(jié)果.

如圖1:因?yàn)锳B=AC,∠ABD=50°,BD⊥AC,所以∠A=40°,所以∠ABC=∠C=(180°-40°)÷2=70°;

如圖2:因?yàn)锳B=AC,∠ABD= 50°,BD⊥AC,所以∠BAC= 50°+ 90°= 140°,所以∠ABC= ∠C=(180°-140°)÷2=20°.

故答案為:70°或20°.

圖1

圖2

點(diǎn)評(píng)三角形的高是由三角形的形狀決定的,對(duì)于等腰三角形,當(dāng)頂角是銳角時(shí),腰上的高在三角形內(nèi);當(dāng)頂角是鈍角時(shí),腰上的高在三角形外.

四、等腰三角形的分類討論思想在垂直平分線中應(yīng)用

4、已知等腰△ABC中,AB=AC,若AB的垂直平分線與邊AC所在直線相交所得銳角為40°,則等腰△ABC的底角∠B的大小為多少?

多位熟悉林雪川情況的知情人向上游新聞?dòng)浾呓榻B，林雪川初中畢業(yè)后在觀閣鎮(zhèn)當(dāng)?shù)氐泥]電部門送報(bào)紙，開始時(shí)工作較為認(rèn)真。但不久之后，林雪川利用送報(bào)紙的機(jī)會(huì)，以幫村民取郵政匯款為由，多次偷竊村民從省外匯回家鄉(xiāng)的款項(xiàng)。被村民發(fā)現(xiàn)之后，林雪川前往廣東打工，因數(shù)額不大，警方也未予追究。

解析由條件“AB的垂直平分線與邊AC所在直線相交”可知,其交點(diǎn)可能在腰AC上,也可能在AC的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上,因此,應(yīng)當(dāng)分兩種情況討論.

①DE與線段AC相交時(shí),如圖3,因?yàn)镈E是AB的垂直平分線,∠AED= 40°,所以∠A= 90° -∠AED=90°-40°=50°,因?yàn)锳B=AC,所以∠ABC=0.5(180°-∠A)=0.5(180°-50°)=65°;

圖3

圖4

②DE與CA的延長(zhǎng)線相交時(shí),如圖4,因?yàn)镈E是AB的垂直平分線,∠AED= 40°,所以∠EAD=90°-∠AED=90°-40°= 50°,所以∠BAC= 180° -∠EAD= 180° -50°=130°,因?yàn)锳B=AC,所以∠ABC=0.5(180°-∠BAC)=0.5(180°-130°)=25°.

點(diǎn)評(píng)由于受定式思維的影響,學(xué)生大部分遺漏第二種情況.建議解題時(shí)按照三角形的分類(按角),畫出所以情況在進(jìn)行討論,可以做到不缺不漏.

五、等腰三角形的分類討論思想在中線中應(yīng)用

5、已知一個(gè)等腰三角形底邊的長(zhǎng)為5cm,一腰上的中線把其周長(zhǎng)分成的兩部分的差為3cm,則腰長(zhǎng)為____.

解析中線把等腰三角形分成兩部分,已知條件沒(méi)有指明哪部分長(zhǎng),故有兩種可能.如圖,因?yàn)锽D是△ABC的中線,所以AD=CD,所以兩三角形的周長(zhǎng)的差等于腰長(zhǎng)與底邊的差,因?yàn)锽C=5cm,所以AB-5=3 或5-AB=3,解得AB= 8 或AB= 2,若AB= 8,則三角形的三邊分別為8cm、8cm、5cm,能組成三角形,若AB=2,則三角形的三邊分別為2cm、2cm、5cm,因?yàn)?+2=4＜5,所以不能組成三角形,綜上所述,三角形的腰長(zhǎng)為8cm

點(diǎn)評(píng) 涉及等腰三角形邊的計(jì)算時(shí),要明確它是否能構(gòu)成三角形.

六、等腰三角形的分類討論思想在動(dòng)態(tài)題目中應(yīng)用

解析(1)若AO作為腰時(shí),有兩種情況,OA=OP,AO=AP與x軸的交點(diǎn),有3 個(gè); (2)若OA是底邊時(shí),P是OA的中垂線與x軸的交點(diǎn),有1 個(gè).以上4 個(gè)交點(diǎn)沒(méi)有重合的.故符合條件的點(diǎn)有4 個(gè).

圖5

點(diǎn)評(píng) 在作以某一線段為邊的等腰三角形時(shí),如果沒(méi)有明確這是底還是腰,則需進(jìn)行分類,并確定頂角到底是哪個(gè),做到不缺不漏.

7、在網(wǎng)格中,網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知A、B是兩個(gè)格點(diǎn),如果點(diǎn)C也是圖6中的格點(diǎn),且使得△ABC為等腰三角形,則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是( )

A.6 B.7 C.8 D.9

圖6

圖7

解析在網(wǎng)格背景下建議捉住分類標(biāo)準(zhǔn)利用圓規(guī)數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題.如圖7:分情況討論.①AB為等腰△ABC底邊時(shí),符合條件的C點(diǎn)有4 個(gè); ②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí),符合條件的C點(diǎn)有4 個(gè)故選:C.

點(diǎn)評(píng)最容易漏掉,求解時(shí)一定要認(rèn)真分析題意,畫出所有可能的圖形,這樣才能正確解題.

8、已知△ABC中,AB= 3,AC= 5,BC= 7.在△ABC所在平面內(nèi)一條直線,將△ABC分割成兩個(gè)三角形,使其中有一個(gè)邊長(zhǎng)為3 的等腰三角形,則這樣的直線最多可畫( )

A.2 條 B.3 條 C.4 條 D.5 條

圖8

圖9

解析邊長(zhǎng)為3 的等腰三角形未能明確那條邊為3,故可能是腰長(zhǎng)為3,底邊為3.如圖9,①以AB為腰,有兩種情況(1)以A為圓心,AB為半徑畫弧,交于點(diǎn)D、E,(2)以B為圓心,AB為半徑畫弧,交于點(diǎn)F; ②以AB為底邊,則AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)G.故答案有4 條,選擇C.

點(diǎn)評(píng)在作以某一線段為邊的等腰三角形時(shí),如果沒(méi)有明確這是底還是腰,則需進(jìn)行分類,并確定頂角到底是哪個(gè),借助圓規(guī)作圖,做到不缺不漏.

9、如圖10,在△ABC中,∠B= 60°,AB= 12cm,BC= 4cm,現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以2cm/秒的速度沿射線AB運(yùn)動(dòng),則運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)△PBC為等腰三角形?

圖10

解析點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng),故有兩種可能,P在線段AB上,P在線段AB外.設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)△PBC為等腰三角形,則AP=2t,BP=AB-AP=12-2t.①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí),如圖11,因?yàn)椤螧= 60°,△PBC為等腰三角形,所以△PBC是等邊三角形,PB=BC=4cm,所以12-2t=4,所以t= 4 秒; ②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB外時(shí),如圖12,因?yàn)椤螾′BC= 120°,所以BP= 2t-12,因?yàn)镻B=BC,所以2t-12=4,所以t=8 秒.故運(yùn)動(dòng)4 秒或8 秒時(shí)△PBC為等腰三角形.

圖11

圖12

點(diǎn)評(píng)在等腰三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中,要明確運(yùn)動(dòng)范圍是什么,將所有情況羅列出來(lái)在進(jìn)行討論.

在等腰三角形問(wèn)題中,很多問(wèn)題需要涉及分類思想.學(xué)生要依據(jù)題目給出的關(guān)鍵詞思考為什么要進(jìn)行分類,如何進(jìn)行分類,怎樣確定分類.要做到真正掌握學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)思想,達(dá)到懂一題、曉一類、通一片.愿所有的學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中都能夠像分類討論一樣多方面考慮問(wèn)題、認(rèn)識(shí)問(wèn)題、并解決問(wèn)題!