對《選修4-4》里面一個例題的修改建議*

廣東省肇慶市高要區(qū)第一中學(xué)(526100) 程華生

高二年級下學(xué)期要學(xué)完《選修4-4》,在學(xué)到《橢圓的參數(shù)方程》時,這節(jié)的一個例題引起了我的注意,該例題在課本第28頁的下面:

例1在橢圓上求一點M,使點M到直線x+2y-10=0的距離最小,并求出最小距離.

解因為橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),所以可設(shè)點M的坐標(biāo)為(3cosφ,2sinφ),由點到直線的距離公式,得到點M到直線的距離為其中,φ0滿足,cosφ0=由三角函數(shù)性質(zhì)知,當(dāng)φ-φ0=0時,d取最小值此時3cosφ=3cosφ0因此,當(dāng)點M位于時,點M與直線x+2y-10=0的距離取最小值

在學(xué)習(xí)《橢圓的參數(shù)方程》之前,我提前要求學(xué)生預(yù)習(xí),預(yù)習(xí)范圍是第27頁至第29頁,其中重點預(yù)習(xí)這一節(jié)的“例1”.

在正式學(xué)習(xí)《橢圓的參數(shù)方程》時,我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的預(yù)習(xí)效果不理想,對“例1”的解答過程完全看不懂,不知所云,一頭霧水.

當(dāng)每個學(xué)生都看不懂的時候,我想課本上的解答過程就有待修改完善了.

在此,我提出我的修改建議,我給出如下解答過程:

解因為橢圓的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),所以可設(shè)點M的坐標(biāo)為 (3cosφ,2sinφ),點M(3cosφ,2sinφ) 到直線x+ 2y-10 =0 的距離為d=設(shè)A= 4sinφ+3cosφ,則5(sinφcosφ0+cosφsinφ0)=5sin(φ+φ0),明顯可見,這里的cos因為-1≤ sin(φ+φ0)≤ 1,所以-5≤A≤5.當(dāng)A=5時,d有最小值,dmin=此時,sin(φ+φ0)=1,φ+φ0=2kπ(k∈?),φ=-φ0(k∈?),d有最小值時,點M的橫坐標(biāo)3cosφ=3cos3cos=3sinφ0=點M的縱坐標(biāo)2sinφ=2sin=2sin

當(dāng)我這樣講解“例1”,學(xué)生都說容易懂,都說比課本上的解答好很多,我也很有成就感.

為了學(xué)生掌握我介紹的方法,我特意命制了一道練習(xí)題,讓學(xué)生動筆練一練.

練習(xí)題

參考答案:

解因為橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)),所以可設(shè)點M的坐標(biāo)為 (3cosφ,2sinφ),點M(3cosφ,2sinφ) 到直線x+2y-10 =0 的 距 離 為設(shè)A= 4sinφ+3cosφ,則A=4sinφ+5(sinφcosφ0+cosφsinφ0)=5sin(φ+φ0),明顯可見,這里的cos因為-1≤ sin(φ+φ0)≤ 1,所以-5≤A≤ 5.當(dāng)A=-5時,d有最大值,此時,sin(φ+φ0)=-1,φ+φ0=2kπ(k∈?),φ=-φ0(k∈?),d有最大值時,點M的橫坐標(biāo)3cosφ=3cos-3×sinφ0=點M的縱坐標(biāo)