探尋含參函數(shù)分類(lèi)討論的思維點(diǎn)

廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)汕尾學(xué)校(516600) 劉光明

含參函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中占據(jù)重要地位，因其蘊(yùn)含著分類(lèi)討論思想，充分展現(xiàn)學(xué)生的良好邏輯推理素養(yǎng)，故而深受各類(lèi)數(shù)學(xué)考試命題者的青睞.分類(lèi)討論作為破解含參函數(shù)綜合問(wèn)題的一種基本思想，學(xué)生能夠自然聯(lián)想得到.而對(duì)于分類(lèi)討論的思維起點(diǎn)在哪里，基本思維流程如何，學(xué)生的思維較為混亂或者根本沒(méi)有意識(shí)，故而對(duì)于含參函數(shù)綜合問(wèn)題望而卻步.本文通過(guò)具體例題的分析，試圖探尋到含參函數(shù)分類(lèi)討論的思維起點(diǎn)，形成一定的討論流程，為分類(lèi)討論提供較為明晰的思維過(guò)程.

思維點(diǎn)1：數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)本身的限制

許多數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)定理本身就有一定的限制條件，如：絕對(duì)值、指數(shù)、對(duì)數(shù)、斜率等，對(duì)于相關(guān)的問(wèn)題，首先就要考慮到其本身的限制條件，并依據(jù)其限制條件進(jìn)行分類(lèi)討論.

例題1(2012年高考新課標(biāo)卷文科第11 題)當(dāng)時(shí)，4x＜loga x，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )

分析 對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga x的底數(shù)a不明確，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，從0＜a＜1 和a＞1 兩方面進(jìn)行討論，顯然a＞1 時(shí)，y=loga x＜0 (0＜x≤)，不符合題意；當(dāng)0＜a＜1 時(shí)，y=loga x遞減，4x＜loga x恒成立，則解得

一般地，利用導(dǎo)數(shù)處理含參函數(shù)的綜合問(wèn)題是較為常見(jiàn)的處理辦法，在處理問(wèn)題中的流程是：(1)確定函數(shù)f(x)定義域并求導(dǎo)f′(x)；(2)考查導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)；(3)解不等式f′(x)＞0 和f′(x)＜0，得到函數(shù)的單調(diào)性；(4)求極值、最值，描繪函數(shù)f(x)的大致圖像.

思維點(diǎn)2：最高次項(xiàng)系數(shù)是否含參

利用導(dǎo)數(shù)處理含參函數(shù)問(wèn)題的所有過(guò)程中，最關(guān)鍵的是判斷導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)，而導(dǎo)函數(shù)的類(lèi)型(一次函數(shù)、二次函數(shù)、超越函數(shù)等)是選擇求解零點(diǎn)的首要任務(wù)，故從最高次項(xiàng)系數(shù)開(kāi)啟討論.若最高次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則從含參系數(shù)的正、負(fù)、零三個(gè)方面進(jìn)行分類(lèi)討論.

例題2已知函數(shù)f(x)=a(x-lnx)+(a ∈R)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解析

①當(dāng)a=0 時(shí)，令f′(x)＞0 解得0＜x＜1，令f′(x)＜0 解得x＞1，此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.

②當(dāng)a＜0 時(shí)，ax2-2＜0，令f′(x)＞0 解得0＜x＜1，令f′(x)＜0 解得x＞1，此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減.

③當(dāng)a＞0 時(shí)，令f′(x)=0，解得又x＞0，故舍去

(i)如果x2=即a=2 時(shí)，又x ∈(0,+∞)，f′(x)≥0，此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增；

(iii)x2＞x3，即0＜a ＜2 時(shí)，令f′(x)＞0 解得0＜x ＜1，或令f′(x)＜0 解得此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)a≤0 時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)0＜a＜2 時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)和上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)a=2 時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞2 時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.

點(diǎn)評(píng)例題2 中，導(dǎo)函數(shù)f′(x)=的最高次項(xiàng)系數(shù)a含參數(shù)，故而從a=0，a＜0 和a＞0 三個(gè)方面進(jìn)行分類(lèi).另外發(fā)現(xiàn)a≤0 其實(shí)可以一起表述，不過(guò)初學(xué)者最好分開(kāi)，會(huì)更有利于學(xué)生分類(lèi)討論思維的嚴(yán)謹(jǐn)性培養(yǎng).a＞0 時(shí)，含參根之間存在相等、大于、小于三種不同的大小關(guān)系，據(jù)此再進(jìn)一步展開(kāi)分類(lèi)討論.

思維點(diǎn)3：導(dǎo)函數(shù)是否有零點(diǎn)

最高次項(xiàng)的系數(shù)考慮完之后，導(dǎo)函數(shù)的類(lèi)型基本上就確定了，接下來(lái)需要考慮的就是導(dǎo)函數(shù)是否有零點(diǎn)的問(wèn)題了.如果存在零點(diǎn)，我們自然會(huì)思考一系列的問(wèn)題：零點(diǎn)是否含參，零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，零點(diǎn)之間的大小關(guān)系……而這些就是分類(lèi)討論的起點(diǎn).

例題3設(shè)函數(shù)f(x)=ex - x -2，且當(dāng)x＞0 時(shí)，(x-k)f′(x)+x+1＞0，求整數(shù)k的最大值.

解析f′(x)=ex-1，設(shè)g(x)=(x-k)(ex-1)+x+1，則g′(x)=(x-k+1)ex,x＞0.

①當(dāng)k≤ 1 時(shí)，則g′(x)＞0，函 數(shù)g(x)在 區(qū) 間(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)＞g(0)=1＞0，即有(x-k)f′(x)+x+1＞0；

②當(dāng)k＞1 時(shí)，則x ∈(0,k-1)時(shí)，g′(x)＜0 函數(shù)g(x)在(0,k-1)上遞減，x ∈(k-1,+∞)時(shí)，g′(x)＞0 函數(shù)g(x)在(k-1,+∞)上遞增，故gmin(x)=g(k-1)=k-ek-1+1，不妨設(shè)h(k)=k - ek-1+1，則h′(k)=1- ek-1＜0(k＞1)，函數(shù)h(k)在(1,+∞)上遞減，又h(2)=3-e＞0，h(3)=4-e2＜0，于是1＜k≤2，因此整數(shù)k的最大值為2.

點(diǎn)評(píng)將不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題是一種常見(jiàn)的處理方法，g′(x)=(x-k+1)ex=0 等價(jià)于x-k+1=0(x＞0)，因此k-1 與0 的大小關(guān)系決定方程是否有解，故而從k≤1(無(wú)解)和k＞1(有解)兩方面進(jìn)行分類(lèi)討論.

例題4已知函數(shù)f(x)=x2-2x+mlnx+1(m ∈R)，若函數(shù)f(x)有唯一的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析f′(x)=令2x2-2x+m=0，則Δ=4-8m，

①當(dāng)Δ ≤ 0，即m≥時(shí)，2x2-2x+m≥ 0，?x ∈(0,+∞)，f′(x)≥0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意；

②當(dāng)Δ＞0，即時(shí)，令f′(x)=0，解得若x1＜0，即m≤0 時(shí)，x2＞1，令f′(x)＞0 解得x＞x2，令f′(x)＜0解得0＜x＜x2，函數(shù)f(x)在區(qū)間(x2,+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,x2)上單調(diào)遞減，此時(shí)函數(shù)f(x)在x=x2處取得極小值，無(wú)極大值，函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，符合題意.若x1＞0，即0＜m＜時(shí)，x2＞x1＞0，令f′(x)＞0 解得x＞x2或者0＜x＜x1，令f′(x)＜0 可得x1＜x＜x2，函數(shù)f(x)在區(qū)間(x1,x2)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x1)和(x2,+∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f(x)在x=x1處取得極大值，在x=x2處取得極大值，有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符合題意.

綜上所述，函數(shù)f(x)有唯一的極值點(diǎn)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,0].

點(diǎn)評(píng)一元二次方程是否有解，根據(jù)判別式Δ 的正負(fù)情況進(jìn)行分析，故從Δ ≤0，Δ＞0 進(jìn)行分類(lèi)討論.方程有含參的根后，需要討論含參根是否在定義域內(nèi)(即x1＜0、x1＞0)，若含參根在定義域內(nèi)，那么根之間的大小又是討論的起點(diǎn).

思維點(diǎn)4：二次導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)

導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)不太明確時(shí)，需要對(duì)其變化趨勢(shì)甚至大致圖像有進(jìn)一步的分析，此時(shí)可以將導(dǎo)函數(shù)f′(x)視為一個(gè)新函數(shù)，然后考慮“再導(dǎo)一次”，依據(jù)二次導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)進(jìn)行討論.

例題5(2010年高考全國(guó)卷理科第21 題節(jié)選(2))設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2(a ∈R)，當(dāng)x＞0 時(shí)，f(x)≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析f′(x)=ex -1-2ax(x＞0)，f′′(x)=ex -2a(x＞0)，

②當(dāng)a＞時(shí)，f′′(x)=ex -2a=0，x=ln 2a＞0，x ∈(0,ln 2a)，f′′(x)＜0，x ∈(ln 2a,+∞)，f′′(x)＞0，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在區(qū)間(0,ln 2a)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln 2a,+∞)上單調(diào)遞增.又f′(0)=0，故存在x0∈(0,ln 2a)，使得f(x0)＜f(0)=0，不符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

點(diǎn)評(píng)f′(x)=ex -1-2ax(x＞0)的正負(fù)情況不是那么容易分析，再導(dǎo)一次f′′(x)=ex -2a(x＞0)，易發(fā)現(xiàn)ex＞1，因此2a與1 的大小關(guān)系就決定f′′(x)的正負(fù)情況.

思維點(diǎn)5：切線探路

特殊值的處理思路雖然在解題中不能令人信服，但能為我們的思考提供一定的方向.在含參函數(shù)的求解中，可以借助曲線的切線這一邊界想法，為討論探尋到思考的起點(diǎn).

例題6(2018年高考全國(guó)卷II 理科第21 題節(jié)選(2))已知函數(shù)f(x)=ex-ax2，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a.

解析f′(x)=ex-2ax，f′′(x)=ex-2a，(x＞0).

①當(dāng)a≤時(shí)，ex＞1，f′′(x)=ex -2a≥ 0，函數(shù)f′(x)=ex -2ax在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，故f′(x)＞f′(0)=1，于是函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，此時(shí)f(x)＞f(0)=1，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；

點(diǎn)評(píng)依據(jù)二次導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到了和兩種分類(lèi)，由于[f′(x)]min=f′(ln 2a)=2a(1-ln 2a)的正負(fù)情況較難判斷，故而借助直線y=2ax與曲線y=ex相切，得到和兩種情況的分類(lèi)討論，巧妙化解計(jì)算尷尬.

通過(guò)上述例題的闡述，含參函數(shù)綜合問(wèn)題的分類(lèi)討論基本思維程序是從導(dǎo)函數(shù)的最高次項(xiàng)系數(shù)是否含參開(kāi)始分析，然后考慮導(dǎo)函數(shù)是否有零點(diǎn)，接著是思考含參零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，最后考查零點(diǎn)之間的大小關(guān)系.如果一次導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不明確時(shí)，還可以采取“再導(dǎo)一次”或者巧借曲線切線探尋參數(shù)邊界值進(jìn)行討論.