談?wù)劵貧w概念的推理與證明

江蘇省蘇州中學(xué) 劉 煒

《論語·為政》有句名言：“知之為知之，不知為不知，是知也．”借鑒到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中，就是理解概念和定理，從而在其框架和規(guī)則之下研究問題，這才是真正的智慧．事實上，在數(shù)學(xué)中，作為一般的思維形式的判斷與推理，以定理、法則、公式的方式表現(xiàn)出來，而數(shù)學(xué)概念則是構(gòu)成它們的基礎(chǔ)．正確理解并靈活運用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和運算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提，以下我們從課本的例題出發(fā)談?wù)勅绾位貧w概念進(jìn)行推理與證明．

例1證明不是有理數(shù)．

分析 命題中需要證明的對象不是有理數(shù)，而我們只有關(guān)于“有理數(shù)”的概念，因此只能從有理數(shù)的概念出發(fā)，即否定命題，使用“反證法”，即有如下證明：

將①式的兩邊平方，變形后得2p2=q2②．

②式表明，q2是2的倍數(shù)，從而q也必是2的倍數(shù)，于是又可設(shè)q=2l（l是正整數(shù)），代入②式，整理后得p2=2l2③．

③式表明，p2是2的倍數(shù)，所以p也是2的倍數(shù)．

這樣，p與q都是2的倍數(shù)，它們有公約數(shù)2，這與p，q為互質(zhì)的假定相矛盾，因此，不是有理數(shù)．

回顧 該證明方法稱為反證法，是間接證明的一種．反證法的證明過程可以概括為“否定—推理—否定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的否定（即肯定原命題）的過程．

分析 我們無法刻畫一個不是等差數(shù)列的連續(xù)三項，因而可以轉(zhuǎn)化等差數(shù)列中的三項．于是采用反證法，尋找矛盾點，最終肯定原來的命題．

反思 從證明的角度來說，我們所做的一切均是順理成章的；從形式的角度來說，這個等式是顯然不成立的，因為一個無理數(shù)不能等于一個有理數(shù)．帶著這樣的思考，我們考查2008年江蘇省高考的數(shù)列問題．

鏈接（2008江蘇卷節(jié)選）（2）求證：對于一個給定的正整數(shù)n（n≥4），存在一個各項及公差都不為零的等差數(shù)列b1，b2，…，bn，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列．

分析 類似于變式，我們無法直接說明任意三項都不能組成等比數(shù)列；但是其對立面的概念倒是十分清楚，即存在三項組成等比數(shù)列，因此便得到合理的等價轉(zhuǎn)化．

證明 假設(shè)對于某個正整數(shù)n，存在一個公差為d的n項等差數(shù)列b1，b2，…，bn，其中bx+1，by+1，bz+1（0≤x＜y＜z≤n-1）為任意三項成等比數(shù)列，

由b1d≠0知，y2-x z與x+z-2y同時為0或同時不為0．

當(dāng)y2-x z與x+z-2y同時為0時，有x=y=z，與題設(shè)矛盾；

故y2-x z與x+z-2y同時不為0，所以由（*）得．

因為0≤x＜y＜z≤n-1，且x，y，z為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)．

提升 容易發(fā)現(xiàn)，高考題源自課本，高于課本，要求我們要對問題的本質(zhì)與形式進(jìn)行合適的選擇和處理，從而才能得到真正有效的解決，因此需要對題干中的概念和表述進(jìn)行分析，從而合理轉(zhuǎn)化．

誠然，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)需要靠“解題”來鞏固和訓(xùn)練，但是不是靠“刷題”來強(qiáng)化和提升．其實更需要的是，對一個問題的思考以及解題后的反思，這樣才能對數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)理解有提升的效果．單墫先生對“解題過程”通常有兩種理解，一種是狹義的，一種是廣義的．狹義的理解是指：“求得所遇到的或所給的數(shù)學(xué)問題的結(jié)果”，即“嘗試→求解→得結(jié)果”的過程；廣義的理解是不僅包括“嘗試→求解→得結(jié)果”的過程，還要包括總結(jié)，也就是“嘗試→求解→得結(jié)果→總結(jié)”的過程．其中“總結(jié)”是解決數(shù)學(xué)問題中最重要的一環(huán)，把握這一環(huán)的優(yōu)與劣，從根本上決定了一個人解題能力的強(qiáng)弱．

根據(jù)例1系列問題的解決，我們可以總結(jié)發(fā)現(xiàn)：從技術(shù)層面來說，用反證法證明命題“若p則q”的過程可以概括如下：肯定條件p否定結(jié)論q→導(dǎo)致邏輯矛盾→“p且q”為假→“若p則q”為真；從思維層面來說，用反證法可以反客為主，將結(jié)論變成條件，從而可能更有利于從概念出發(fā)，研究和分析問題，取得更好的進(jìn)展．

例2設(shè)函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，F(xiàn)（x）=f（x）-f（2-x）．若F（x1）+F（x2）＞0，求證：x1+x2＞2．

分析 本題中，條件是因變量的大小關(guān)系，而結(jié)論是自變量的大小關(guān)系，意圖是用因變量的大小去控制自變量的大小，這樣的技術(shù)難度就在于“逆用單調(diào)性”，那么我們可以試著“正用單調(diào)性”，從而選擇反證法．

證明 假設(shè)x1+x2≤2，則x1≤2-x2，x2≤2-x1．

根據(jù)函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，可知：f（x1）≤f（2-x2），f（x2）≤f（2-x1），

因此f（x1）+f（x2）≤f（2-x2）+f（2-x1），

從而，f（x1）-f（2-x1）+f（x2）-f（2-x2）≤0，即F（x1）+F（x2）≤0．

這與已知條件相矛盾，因此x1+x2＞2．

回顧 函數(shù)單調(diào)性的定義就是用自變量的大小去判斷因變量的大小，因此使用反證法之后就可以將結(jié)論作為條件，從而契合單調(diào)性的定義，開辟了一條順向的思維通道．

變式 設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=x3-ax在［1，+∞）上單調(diào)．

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）設(shè)x0≥1，f（x）≥1且f（f（x0））=x0，求證：f（x0）=x0．

分析 從形式看，這是不動點的形態(tài)；從函數(shù)看，這是用因變量的值去判斷自變量的值，因此考慮選擇反證法．

解析（1）由于函數(shù)f（x）=x3-ax在［1，+∞）上單調(diào)，從而f′（x）=3x2-a≥0在［1，+∞）上恒成立，或者f′（x）=3x2-a≤0在［1，+∞）上恒成立（舍），因此a≤3．又因為a＞0，所以實數(shù)a的取值范圍為（0，3］．

（2）證明：假設(shè)f（x0）≠x0，不妨設(shè)f（x0）＞x0，即有f（x0）＞x0≥1．

由于函數(shù)f（x）在［1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則f（f（x0））＞f（x0），于是f（f（x0））＞f（x0）＞x0，這與f（f（x0））=x0相矛盾．

因此f（x0）=x0．

反思 雖然與例2中證明不等關(guān)系不完全一致，但是依舊是從因變量的相等去判斷自變量的相等，因此可以選擇將“自變量的大小”作為條件，從而選用“反證法”．在這樣的思想指導(dǎo)下，可以比較順利轉(zhuǎn)化、解決下面這道函數(shù)問題．

鏈接（2010年天津卷）已知函數(shù)f（x）=x e-x（x∈R）．

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（2）已知函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，證明當(dāng)x＞1時，f（x）＞g（x）；

（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1+x2＞2．

分析 前面兩小問都是常規(guī)問題，關(guān)鍵在于（3）的認(rèn)識．如果我們從例2分析的角度出發(fā)，我們不難發(fā)現(xiàn)，這是一個由因變量的值來控制自變量的值的問題，于是想從“單調(diào)性”的順向思維出發(fā)，選擇“反證法”．

解 （1）解題過程略，結(jié)果如下：

f（x）在（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，在（1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)；

（2）證明過程略．

（3）根據(jù)（1）及f（x1）=f（x2）可知，x1，x2分別在1的左右，不妨設(shè)x1＜1＜x2．

假設(shè)x1+x2≤2，則x2≤2-x1，即2-x1≥x2＞1．

從而由f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)可知，f（2-x1）≤f（x2）．

由（2）可知，f（2-x1）＞g（2-x1），即有f（x2）＞g（2-x1）．

又因為y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，即g（2-x1）=f（x1），

因此f（x2）＞f（x1），這與f（x1）=f（x2）矛盾，所以x1+x2＞2．

提升 數(shù)學(xué)是一種游戲規(guī)則，需要運行方向和操作流程，一旦不按照這樣的規(guī)程來處理，就有可能出現(xiàn)問題．作為“單調(diào)性”這樣的規(guī)則而言，就是指用自變量的大小去確定因變量的大小，如果順向處理則十分順利，如果逆向處理則十分困難．由此來說，如果結(jié)論出現(xiàn)自變量的大小，那么就需要反客為主，變被動為主動，最終成就問題的解決．

反證法，是我們常用的間接證明方法，往往講到的是“正難則反”，那么何為“正難”？從概念的理解來說，命題中出現(xiàn)了非概念從屬關(guān)系，或者逆概念定義規(guī)則的狀況，我們?yōu)榱饲‘?dāng)使用概念，從而將目標(biāo)結(jié)論加以否定，變成我們所理解的概念，也變成我們推理的條件，因此能很好地解決問題．

數(shù)學(xué)概念的理解也是對“數(shù)學(xué)游戲規(guī)則”的理解與認(rèn)識，其實不是一種外在的強(qiáng)制，而是一種內(nèi)在的自由，即“知道就是按知道的做”且“不知道就不能隨便做”，因此才能做到“從心所欲不逾矩”，實現(xiàn)解題中的自由自在．