老師，我怎么學(xué)會(huì)思考
——直線與圓篇

江蘇省蘇州中學(xué) 王思儉

下課鈴聲響起，幾位學(xué)生奔到講臺(tái)，學(xué)生七嘴八舌議論：

老師，填空題最后一題應(yīng)該怎么想？我暑假做的時(shí)候就沒(méi)有做出來(lái)，現(xiàn)在依然如此；

我記住答案了，但不知道怎么做；

學(xué)數(shù)學(xué)只靠背答案肯定不行的，老師不是反復(fù)強(qiáng)調(diào)要理解嗎；

我用了兩種思路都沒(méi)有走下去；

我也是有思路的，但一遇到障礙就不知道該怎樣再思考，不知道該怎樣變更問(wèn)題的思路；

老師，您能否組織我們討論一下這道題該如何思考；能否給我們一點(diǎn)時(shí)間交流各自的想法，找出沒(méi)有求解到底的癥結(jié)在哪里；

……

為此筆者邀請(qǐng)他們就“上海一道高考填空題怎樣思考”進(jìn)行深入交流，旨在引導(dǎo)學(xué)生樂(lè)于交流、敢于質(zhì)疑、勤于探究、樂(lè)于思考、善于動(dòng)手，提升他們的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．

眾生：（上海卷）已知實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2滿足：則的最大值為________．

拿到這道題，我們足足看了5分鐘，不知道怎樣思考，不知道從哪里下手．

教師：你們讀題了嗎？讀了幾遍題？

生甲：讀了2遍題，還是沒(méi)有理清楚題目條件之間的內(nèi)在聯(lián)系，也沒(méi)有找到已知與要求的結(jié)論之間的關(guān)系，所以無(wú)法求解．

教師：讀題的時(shí)候，有沒(méi)有聯(lián)想這些條件之間的內(nèi)在聯(lián)系、要求的代數(shù)式與已知條件的關(guān)系，這些代數(shù)式之間又如何轉(zhuǎn)換呢？

生乙：一是整天刷題，沒(méi)有時(shí)間想；二是不知道想什么．我就是想這道題與以前做過(guò)的哪道題目相同，它的方法是什么，主要是回憶當(dāng)時(shí)老師是怎么求解的．

教師：整天刷題、直接套題型能提高你們思考問(wèn)題的能力嗎？現(xiàn)在來(lái)詳細(xì)分析這道高考題．根據(jù)題目已知條件平方和為1，你們能聯(lián)想到什么？

生乙：我一開始想用三角代換法求解，但運(yùn)算幾步，感覺(jué)運(yùn)算太繁，就放棄了．

教師：你是怎么想到用三角法求解的呢？運(yùn)算到哪一步?jīng)]有進(jìn)行下去？遇到什么麻煩？

生乙：由于兩個(gè)數(shù)的平方和為1，于是就聯(lián)想到同角正弦余弦的平方和為1，這樣就設(shè)x1=cosα，x2=cosβ，則y1=sinα，y2=sinβ，其中α，β∈［0，2π）．因?yàn)閤1x2+y1y2=于是因此即這樣所要求的式子可以化簡(jiǎn)為

生丙：其實(shí)只要取式子可以化簡(jiǎn)為

由此可以看出，當(dāng)兩個(gè)絕對(duì)值都取最大值時(shí)，原式有最大值，即哎，怎么不一樣呢？問(wèn)題又出在哪里？

教師：想法很好，但兩個(gè)絕對(duì)值都是關(guān)于α的函數(shù)，是否同時(shí)取最大值？

生?。喝绻瑫r(shí)取最大值時(shí)，應(yīng)該有且n2∈Z，這樣的α不存在，因此不能同時(shí)達(dá)到最大值．

教師：正確！研究最值時(shí)一定要注意等號(hào)成立的條件，否則很容易出錯(cuò)．哪位同學(xué)繼續(xù)？

生戊：對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行分類討論，需要分四種情況，分別求出最大值，最后再綜合考慮．

教師：很好！生戊很有毅力，具有堅(jiān)忍不拔、鍥而不舍的精神，值得大家學(xué)習(xí)！你們還有其他想法嗎？

生甲：我一開始的想法就是對(duì)要求的式子平方，展開化簡(jiǎn)后得W2=2-（x1+x2+y1+不知道該怎樣思考了．

教師：你的方法很普通，但太復(fù)雜了！你們想一想：能否繼續(xù)下去？

生戊：要使得W取得最大值，這里的xi，yi均為負(fù)數(shù)時(shí)，這樣絕對(duì)值就可以拿掉了，于是有再結(jié)合三角代換，進(jìn)一步化簡(jiǎn)得又因?yàn)椴环寥∮谑瞧渲幸虼水?dāng)且即時(shí)，故所求最大值為

教師：生戊補(bǔ)充得很好！他強(qiáng)調(diào)了只有當(dāng)xi，yi均為負(fù)數(shù)時(shí)，W2才有可能取到最大值，再結(jié)合他的三角方法求解，他的三角公式運(yùn)用得得心應(yīng)手，非常嫻熟，你們平時(shí)對(duì)各種公式的使用都應(yīng)該這樣熟練，只有這樣才能提高你們思考問(wèn)題的能力及運(yùn)算速度．你們還有什么“念頭”可供大家進(jìn)一步交流．

生丙：我是想利用基本不等式變形為求解，變換兩步后，也沒(méi)有進(jìn)行下去．因?yàn)橐呀?jīng)無(wú)能為力．但通過(guò)剛才的交流，現(xiàn)在想到再利用三角代換求解，也只有在xi，yi都為負(fù)數(shù)時(shí)，取得最大值，利用生戊的結(jié)論W≤所以當(dāng)時(shí)，取得最大值

教師：很好！在生戊的啟發(fā)下，生甲和生丙的思路都得到圓滿解決了，你們還有什么新的想法？

生丁：我對(duì)待求的式子仔細(xì)分析了一下，發(fā)現(xiàn)要求W的最大值，必須讓兩個(gè)絕對(duì)值都最大，于是必有xi，yi都為負(fù)數(shù)時(shí)，才有最大值，因此再利用三角代換即三角恒等變換可以得到所以當(dāng)α+即時(shí)，

教師：很好！生丁先分析性質(zhì)，再設(shè)法求解，也就是先定性再定量，上述四種思路最終還是回到三角代換上去了．

生戊：根據(jù)生丁的分析，還可以進(jìn)一步優(yōu)化解法，設(shè)x1+x2=x0，y1+y2=y0，于是根據(jù)已知的三個(gè)等式得，由基本不等式得即所以即Wmax=

生乙：其實(shí)點(diǎn)（x0，y0）在圓x2+y2=3落在第三象限的一部分，要求W的最大值，只要求x0+y0的最小值，設(shè)動(dòng)直線x+y=t，直線與圓在第三象限有公共點(diǎn)，由直線與圓的位置關(guān)系知d≤r，即即所以

生甲：從方程角度出發(fā)，消去y0，化成關(guān)于x0的一元二次方程（含有待求參數(shù)W），再利用判別式求解，也可以求出

生丙：直接消元將W表示為關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法，很快求出當(dāng)時(shí)，

教師：在生戊的一步變換之下，大家提供了很多的方法，其實(shí)他是構(gòu)造一個(gè)定圓，很好！動(dòng)筆解題之前一定要先觀察思考，然后確定解題方向．根據(jù)題目已知條件平方和為1，你們還能聯(lián)想到什么？

生甲：?jiǎn)挝粓Ax2+y2=1，聯(lián)想到兩個(gè)點(diǎn)都在單位圓上．

教師：很好！那么x1x2+y1y2你們又能聯(lián)想到什么？

生乙：兩個(gè)平面向量數(shù)量積，即a=（x1，y1），b=（x2，y2），a·b=x1x2+y1y2，結(jié)合單位圓，這兩個(gè)向量都是單位向量，其模長(zhǎng)為1．

教師：很好！你們能否再進(jìn)一步往下思考，還能得到什么結(jié)論？

生丙：根據(jù)定義和數(shù)量積為可得，兩個(gè)向量的夾角為60°．

教師：由這個(gè)代數(shù)式你們又想到了什么？

生?。核褪屈c(diǎn)M（xi，yi）到直線x+y-1=0的距離公式．

教師：很好！通過(guò)上述逐個(gè)條件和結(jié)論進(jìn)行分析，你們能否把條件和結(jié)論再思考、再重新組合呢？使得問(wèn)題更加清晰．

生戊：已知單位圓x2+y2=1上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M，N，且求點(diǎn)M，N到直線l：x+y-1=0的距離之和的最大值．

教師：?jiǎn)栴}表述非常清楚，很好！你們其實(shí)就對(duì)原題進(jìn)行再一次復(fù)盤，在復(fù)盤過(guò)程中，你們對(duì)問(wèn)題又有了新的思考、新的理解、新的發(fā)現(xiàn)．你們現(xiàn)在能否想到解題思路了？

生乙：構(gòu)造有序數(shù)對(duì)P1（x1，y1），P2（x2，y2），由題意知，點(diǎn)P1，P2在單位圓x2+y2=1．而已知條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為利用平面向量數(shù)量積可以求得∠P1OP2=60°，從而推出△P1OP2為等邊三角形．結(jié)論中要求的代數(shù)式可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)Pi到直線l：x+y-1=0的距離di，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求d1+d2的最大值．接下來(lái)該怎么做了？

生?。嚎梢园l(fā)現(xiàn)直線l與此單位圓相交于點(diǎn)A（1，0）和B（0，1），而線段P1P2在單位圓上移動(dòng)，由幾何直觀得，當(dāng)P1P2與線段AB平行時(shí)，d1+d2有最大值，此時(shí)所以最大值為

圖1

教師：很好！生丁抓住圓的幾何特征，利用數(shù)形結(jié)合思想很快得出答案．

教師：本題給出八種思路，思路一至思路三主要是三角代換，利用三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求解，這對(duì)三角恒等變換要求較高，生戊的分析問(wèn)題和變通能力較強(qiáng)；思路四主要是構(gòu)造一個(gè)輔圓（隱圓），于是就產(chǎn)生了基本不等式法、解析法、判別式法、導(dǎo)數(shù)法；思路八主要是利用數(shù)形結(jié)合思想求解，利用圓的幾何性質(zhì)求解，其實(shí)就是正三角形△P1OP2繞頂點(diǎn)（原點(diǎn)O）旋轉(zhuǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)到定直線的距離之和的最大值．你們充分利用數(shù)形結(jié)合思想和幾何直觀想象力求解．

生戊：此題可以改編為：

已知實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2滿足：其中-1＜λ＜1且為常數(shù)，則|x1+y1-1|+|x2+y2-1|的最大值為______．

教師：正確！值得注意的是，所求的式子不是距離之和！

生?。哼€可以推廣為：

已知實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2滿足：常數(shù)r＞0，x1x2+y1y2=λ，其中-r2＜λ＜r2且為常數(shù)，則|Ax1+By1+C|+|Ax2+By2+C|（其中A，B，C均為常數(shù)）的最大值為______．

利用思路八設(shè)∠P1OP2=θ，先求出再求出那么很容易得出所求最大值為

教師：很好！生丁將問(wèn)題進(jìn)一步推廣了，你們應(yīng)該有這種探究的精神！

生甲：本題可以改編為求線段長(zhǎng)度，

已知實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2滿足：常數(shù)r＞0，x1x2+y1y2=λ，其中-r2＜λ＜r2且入為常數(shù)，求點(diǎn)P1（x1，y1）與點(diǎn)P2（x2，y2）之間的距離．

教師：你們?cè)诮涣饔懻撨^(guò)程中發(fā)現(xiàn)了新的問(wèn)題，就需要這種探究精神！你們還能發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題嗎？

生乙：在上述求解過(guò)程中，原點(diǎn)O到動(dòng)弦P1P2的距離始終為于是問(wèn)題改為求線段P1P2中點(diǎn)的軌跡方程．

一般地，已知實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2滿足：常數(shù)r＞0，x1x2+y1y2=λ，其中-r2＜λ＜r2且為常數(shù)，求線段P1P2中點(diǎn)的軌跡方程．

生丙：如果改為三個(gè)有序數(shù)對(duì)（也就是三個(gè)點(diǎn)），當(dāng)滿足一定條件時(shí)，可以探究三個(gè)點(diǎn)組成三角形的形狀，如

已知實(shí)數(shù)x1，x2，x3，y1，y2，y3滿足：x2x3+y2y3=x3x1+y3y1，判斷點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）組成三角形的形狀．

分別求出線段P1P2，P2P3，P3P1的長(zhǎng)度，△P1P2P3為正三角形．也可以改成四個(gè)有序數(shù)對(duì)，滿足同樣的條件，可以推出四個(gè)點(diǎn)組成正方形．以此類推n個(gè)點(diǎn)的問(wèn)題．

教師：很好！你們看一道變題：

已知實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2滿足：求|3x1+3x2-2y1-2y2-7|的最小值與最大值．

生丙：根據(jù)生戊的求解過(guò)程，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在約束條件x2+y2=3下，求|3x-2y-7|的最小值，數(shù)形結(jié)合法、三角換元法、幾何直觀法都可以求出最大值為最小值為7-

教師：正確！本題的約束條件與線段P1P2中點(diǎn)軌跡有關(guān)，所求的結(jié)論就是圓上一點(diǎn)到直線的距離的最值問(wèn)題．你們還能提出新問(wèn)題嗎？或者給出新的改編題嗎？

生?。阂阎獙?shí)數(shù)x1，x2，y1，y2滿足：求的最小值與最大值．

因?yàn)辄c(diǎn)（x1+x2，y1+y2）的軌跡方程為x2+y2=3，因此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)P到點(diǎn)的距離平方的取值范圍，由圓的幾何性質(zhì)得OQ-R≤PQ≤OQ+R，即故最大值為27，最小值為3．

一般地，已知實(shí)數(shù)x1，x2，y1，y2滿足：常數(shù)r＞0，x1x2+y1y2=λ，其中-r2＜λ＜r2且為常數(shù)，求（x1+x2-a）2+（y1+y2-b）2（a，b為常數(shù)）的最小值與最大值．

同樣可以求出點(diǎn)（x1+x2，y1+y2）的軌跡方程為x2+y2=2（r2+λ），所以最大值為最小值為

教師：很好！不僅解決了特殊情況的問(wèn)題，而且將問(wèn)題推廣到一般情況．你為什么湊一個(gè)點(diǎn)呢？

生?。喊l(fā)現(xiàn)點(diǎn)（x1+x2，y1+y2）的軌跡方程為x2+y2=3，半徑是便于運(yùn)算，于是找一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離與有關(guān)．

生戊：我改變Q點(diǎn)的位置，讓Q點(diǎn)在另外一個(gè)圓、橢圓、雙曲線、拋物線等已知曲線上變動(dòng)，如改編為：

原題條件不變，求（x1+x2-4cosθ）2+（y1+y2-2sinθ）2的取值范圍．

一般地，當(dāng)圓x2+y2=R2在橢圓內(nèi)部時(shí)，求（x1+x2-a cosθ）2+（y1+y2-b sinθ）2（a，b為常數(shù)）的取值范圍．

答案為［（b-R）2，（a+R）2］．

生?。阂部梢愿木帪椋?/p>

在原題條件下，求（x1+x2-t2+2）2+（y1+y2-2t）2（其中t為參數(shù)）的取值范圍．

點(diǎn)Q（t2-2，2t）是拋物線y2=4（x+2），構(gòu)造動(dòng)圓x2+y2=r2，利用方程觀點(diǎn)，使動(dòng)圓與拋物線相切，從而得關(guān)于x的一元二次方程判別式為零，求出r=2．所以最小值為（2-取值范圍為

教師：很好！你們改編的問(wèn)題都是有一定深度的，你們應(yīng)該繼續(xù)保持這種探究問(wèn)題的熱情，更要有鍥而不舍的頑強(qiáng)毅力！

同學(xué)們，學(xué)數(shù)學(xué)不做題肯定不行，但只做題不思考、不總結(jié)萬(wàn)萬(wàn)不行，因此你們平時(shí)一要養(yǎng)成解題回顧的好習(xí)慣；要保持一題多解、一題多變、一題多用、一題多思的研究問(wèn)題的熱情；要有對(duì)問(wèn)題推廣的探究欲望；要培養(yǎng)自己的研究能力．只有這樣才能提升自己的數(shù)學(xué)思考力．

實(shí)戰(zhàn)演練

1．已知AB是圓O：x2+y2=1的任意一條直徑，點(diǎn)P是直線x+my-2-3m=0上的點(diǎn)，直線AP交圓O于Q，OQ∥PB，求m的取值范圍．

2．已知點(diǎn)A（2，2），B，C是圓O：x2+y2=12上的動(dòng)點(diǎn)，且∠BAC=90°，圓C：（xa）2+（y-2a）2=1上存在點(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn)，求a的取值范圍．

3．在平面直角坐標(biāo)系x Oy 中，A（-12，0），B（0，6），點(diǎn)P在圓O：x2+y2=50上．若則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是______．

參考答案：

解析：1．由平面幾何知，OQ為△PAB的中位線，因此PB=2．再由△POB知，OP＜OB+PB=3，因此原點(diǎn)O到直線距離即

2．利用圓與直角三角形的幾何性質(zhì)先求線段BC中點(diǎn)的軌跡，圓C與所求軌跡有公共點(diǎn)，且OP⊥BC．因?yàn)橛谑怯蠵A2+OP2=12，設(shè)P（x，y），代入化簡(jiǎn)得（x-1）2+（y-1）2=4表示圓D．再利用兩圓位置關(guān)系可得1≤CD≤3，即解之得或

則點(diǎn)P的集合為圓O：x2+y2=50在圓（x+6）2+（y-3）2=65內(nèi)的部分．

可求得兩圓交點(diǎn)為（1，7），（-5，-5）．結(jié)合圖形可得

又x2+y2=50，所以50+12x-6y-20≤0，即2x-y+5≤0．

則點(diǎn)P的集合為圓O：x2+y2=50在直線2x-y+5=0上方的部分．

可求得直線與圓的交點(diǎn)為（1，7），（-5，-5）．結(jié)合圖形可得