欣賞數(shù)學(xué)的真、善、美
——以高考中的數(shù)學(xué)文化為例

華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué) 任念兵

數(shù)學(xué)文化是國家文化素質(zhì)教育的重要組成部分，高考數(shù)學(xué)考綱的一個重大變化就是明確提出要加大數(shù)學(xué)文化的考查力度．有關(guān)高考中的數(shù)學(xué)文化的研究，目前正呈現(xiàn)如火如荼之態(tài)．值得關(guān)注的傾向是，目前的相關(guān)研究常常泛化數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，甚至將所有考查數(shù)學(xué)能力的高考題都納入數(shù)學(xué)文化的范疇，如此就顯得“數(shù)學(xué)文化”早就在高考中占有重要地位了，何來考綱中提出的“變化”？所以，需要正本清源，明確高考中的數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，有針對性地進(jìn)行扎實(shí)穩(wěn)妥的高考復(fù)習(xí)．

教育部考試中心陳昂、任子朝認(rèn)為，數(shù)學(xué)文化的最主要內(nèi)涵是一種理性思維方式在實(shí)踐過程中的不斷探索，形成的數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)精神及其應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)具有真、善、美三個層次的表現(xiàn)力，數(shù)學(xué)文化應(yīng)包含對數(shù)學(xué)的科學(xué)性和理性精神的認(rèn)同，對數(shù)學(xué)的價值和功用的肯定，對數(shù)學(xué)的藝術(shù)性的感悟．高考中的數(shù)學(xué)文化試題，是以數(shù)學(xué)史作為試題背景，主要包括數(shù)學(xué)家生平故事、數(shù)學(xué)史事件、數(shù)學(xué)名著等，通過創(chuàng)設(shè)新的情境、改變設(shè)問方式等多種方法欣賞數(shù)學(xué)的真、善、美．在滲透數(shù)學(xué)文化的同時，高考題特別注重與數(shù)學(xué)知識的有機(jī)結(jié)合，著重體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化素材中理性思維的本質(zhì)內(nèi)涵．

高考中的數(shù)學(xué)文化試題，從試題背景看，其主要類型有涉及數(shù)學(xué)史料中的古算題、數(shù)學(xué)名題、數(shù)學(xué)家人物及優(yōu)秀成果、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的文化聯(lián)系等．從試題的具體內(nèi)容看，可以分為數(shù)學(xué)發(fā)展史（或數(shù)學(xué)名著）上的經(jīng)典問題（如阿波羅尼斯圓、米勒問題等）、重要結(jié)論（如楊輝三角、祖暅原理等）、重要思想方法（如算法思想、極限思想等）三個層次．從問題呈現(xiàn)方式看，可以分為顯性和隱性兩種形式，前者直接給出數(shù)學(xué)文化背景作為試題的情景或者引子，解答與背景基本無關(guān)，后者則不直接給出背景，而是隱含考查與數(shù)學(xué)文化相關(guān)的知識和思想方法．從試題難度看，欣賞數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)之善（應(yīng)用價值）的試題較易，欣賞數(shù)學(xué)之真（理性精神）的試題較難；以顯性背景呈現(xiàn)的試題較易，隱含數(shù)學(xué)文化背景的試題較難．

一、欣賞數(shù)學(xué)之真

圖1

例1（上海卷）在x Oy平面上，將兩個半圓?。▁-1）2+y2=1（x≥1）和（x-3）2+y2=1（x≥3）、兩條直線y=1和y=-1圍成的封閉圖形記為D，如圖1中陰影部分．記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為Ω，過（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面面積為試?yán)米鏁溤?、一個平放的圓柱和一個長方體，得出Ω的體積值為 ．

解 根據(jù)提示，一個半徑為1，高為2π的圓柱平放，一個高為2，底面面積為8π的長方體，這兩個幾何體與Ω放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即Ω的體積值為π·12·2π+2·8π=2π2+16π．

例2（上海閔行區(qū)一模）我國南北朝數(shù)學(xué)家何承天發(fā)明的“調(diào)日法”是程序化尋求精確分?jǐn)?shù)來表示數(shù)值的算法，其理論依據(jù)是：設(shè)實(shí)數(shù)x的不足近似值和過剩近似值分別為和則是x的更為精確的不足近似值或過剩近似值．我們知道π=3．141 59…，若令則第一次用“調(diào)日法”后得是π的更為精確的過剩近似值，即若每次都取最簡分?jǐn)?shù)，那么第四次用“調(diào)日法”后可得π的近似分?jǐn)?shù)為________．

點(diǎn)評 例1考查祖暅原理的靈活運(yùn)用，由于祖暅原理是教材中的內(nèi)容，因此在試題中不再復(fù)述；例2則以閱讀材料的形式介紹“調(diào)日法”，考查即時學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生體會我國古代數(shù)學(xué)的精髓——算法思想．無論是顯性還是隱性呈現(xiàn)數(shù)學(xué)文化背景，在高考題中欣賞數(shù)學(xué)之真，關(guān)鍵是領(lǐng)悟數(shù)學(xué)文化背景下的重要原理（如祖暅原理為求體積的依據(jù)）、重要思想方法（如調(diào)日法所反映的算法思想）中所表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)理性精神．

二、欣賞數(shù)學(xué)之善

例3（湖北卷）一種作圖工具如圖2所示．O是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON可繞O轉(zhuǎn)動，長桿M N通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3．當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動時，帶動N繞O轉(zhuǎn)動一周（D不動時，N也不動），M處的筆尖畫出的曲線記為C．以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系．

圖2

圖3

（1）求曲線C的方程；（2）略．

解 （1）設(shè) 點(diǎn)D（t，0）（|t|≤2），N（x0，y0），M（x，y），依題意，且所以（t-x，-y）=2（x0-t，y0），且即且t（t-2x0）=0．由于當(dāng)點(diǎn)D不動時，點(diǎn)N也不動，所以t不恒等于0，于是t=2x0，故．代入可得即所求的曲線C的方程為

例4（上海黃浦區(qū)二模）如果一條信息有n（n＞1，n∈N）種可能的情形（各種情形之間互不相容），且這些情形發(fā)生的概率分別為p1，p2，…，pn，則稱H=f（p1）+f（p2）+…+f（pn）（其中f（x）=-x logax，x∈（0，1））為該條信息的信息熵．已知．

（1）若某班共有32名學(xué)生，通過隨機(jī)抽簽的方式選一名學(xué)生參加某項(xiàng)活動，試求“誰被選中”的信息熵的大??；

（2）若某次比賽共有n位選手（分別記為A1，A2，…，An）參加，選手Ak（k=1，2，…，n-1）獲得冠軍的概率為2-k，求“誰獲得冠軍”的信息熵H關(guān)于n的表達(dá)式．

即“誰被選中”的信息熵為5．

（2）An獲得冠軍的概率為，

當(dāng)k=1，2，…，n-1時，f（pk）=，

點(diǎn)評 例1是基于荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰設(shè)計(jì)的機(jī)械橢圓規(guī)命制的，這是橢圓方程知識的實(shí)際應(yīng)用的例證，至于圓錐曲線知識在天文、航海等方面的應(yīng)用更是不勝枚舉，而這些實(shí)際問題正是推動解析幾何思想萌芽和發(fā)展的原始動力．例2則是以信息論的基本概念為背景的，1948年克勞德·香農(nóng)創(chuàng)立了數(shù)學(xué)信息論，用對數(shù)來刻畫信息量的概念．在看起來“沒有數(shù)學(xué)問題”的地方發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，并通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解決問題，乃是數(shù)學(xué)之善的深刻表現(xiàn)．

三、欣賞數(shù)學(xué)之美

例5（全國Ⅰ卷）如圖4，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（ ）

圖4

解 設(shè)正方形邊長為a，由圖形的對稱性知，太極圖中黑白部分的面積相等，均為圓面積的一半，故所求概率為選B．

點(diǎn)評 例5考查了圖形的對稱性，而數(shù)學(xué)概念、定理、公式本身的形式之美，正體現(xiàn)在對稱、統(tǒng)一、簡潔、奇異等方面，欣賞數(shù)學(xué)之美、享受數(shù)學(xué)文化的熏陶也是素質(zhì)教育的重要環(huán)節(jié)．

最后，回到日常學(xué)習(xí)和高三復(fù)習(xí)中，我們應(yīng)該重視教材中隱含的數(shù)學(xué)文化素材．許多高考數(shù)學(xué)文化題都來源于教材，比如“阿波羅尼斯圓”“三角形數(shù)”“割圓術(shù)”等均出現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)教材中．保持旺盛的求知欲望，凡事問個“為什么”，鉆研教材、延伸閱讀，是應(yīng)對高考數(shù)學(xué)文化題的基本策略．