HPM視角下“對數(shù)概念”的教學(xué)案例

詹云蕾

[摘? ? ? ? ? ?要]? 對數(shù)是中職數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)內(nèi)容之一，對天文、航海及軍事等方面的發(fā)展起著非常重要的作用，曾與解析幾何、微積分被恩格斯稱為17世紀數(shù)學(xué)的三大成就。對數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了形成簡化運算想法、發(fā)明對數(shù)表、發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系三個階段，但是人教版必修一省略了前兩個階段，僅從簡單的指數(shù)函數(shù)引出對數(shù)的概念，這樣會導(dǎo)致學(xué)生缺乏對對數(shù)發(fā)展史的了解，在理解對數(shù)概念上存在一定困難。近年來，部分教師從HPM視角下設(shè)計對數(shù)概念的教學(xué)，將數(shù)學(xué)史融入實踐教學(xué)，不僅增強了課堂的趣味性，更加有利于學(xué)生理解重難點知識。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? HPM;對數(shù)概念;教學(xué)設(shè)計;教學(xué)反饋

[中圖分類號]? G712? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號]? 2096-0603（2019）30-0012-02

在人教版數(shù)學(xué)教材中的對數(shù)與對數(shù)運算這節(jié)中，對數(shù)概念是通過人口增長模型，即指數(shù)模型引入的。這種導(dǎo)入方法揭示了對數(shù)與指數(shù)之間的密切聯(lián)系。但對學(xué)生而言，對數(shù)畢竟是一個新的概念，因此，在這節(jié)學(xué)習(xí)中存在兩種現(xiàn)象：一是學(xué)生對對數(shù)概念理解得不透徹，不知道對數(shù)的作用;二是學(xué)生對運算法則死記硬背、盲目套用，容易出錯。導(dǎo)致上述現(xiàn)象的原因是學(xué)生缺乏對對數(shù)概念發(fā)展史的了解，因此學(xué)生接受起來較困難。教材編寫者為彌補這一缺失，在課后“閱讀與思考”中介紹了“對數(shù)的發(fā)明”，讓學(xué)生了解對數(shù)產(chǎn)生的過程。但在教學(xué)實踐中，很多教師未能將其納入課堂中，也未能引起學(xué)生的足夠重視，甚至有些學(xué)生根本不知道有這部分內(nèi)容。為了讓學(xué)生對對數(shù)理解得更加透徹，設(shè)計一堂既不擠占教學(xué)時間又能更好地將對數(shù)發(fā)展史融入教學(xué)中，既不能讓本節(jié)課理解為“數(shù)學(xué)史課”，又能讓學(xué)生上一節(jié)充實的課是非常必要的。因此，進行了如下的教學(xué)設(shè)計與實施。

一、問題導(dǎo)入

1.不用計算器，請同學(xué)們計算299792458×31536000×100000，顯然如果不運用計算工具，需要花費很長時間，這也是17世紀天文學(xué)家?guī)缀趺刻烀媾R的問題，因此簡化計算方法成了17世紀天文學(xué)家急需解決的難題。

2.接著介紹對數(shù)的發(fā)展背景。

16、17世紀之交，隨著天文學(xué)、航海貿(mào)易及軍事等的發(fā)展，科學(xué)家們幾乎每天面臨著大量復(fù)雜的計算，有時僅僅一個計算就要花去幾個月甚至幾年的時間，因此簡化計算就成了當時迫切需要解決的問題。蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾經(jīng)過多年研究，在1614年出版了《奇妙的對數(shù)定律說明書》，發(fā)明了對數(shù)，并將花費了20年的研究結(jié)果公布于眾，具有劃時代的意義。之后，布里格斯對納皮爾的對數(shù)進行了改造，發(fā)明了常用對數(shù)。

由于對數(shù)比指數(shù)發(fā)明得早，納皮爾在研究對數(shù)時并沒有使用指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系，直到18世紀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系。對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，成為數(shù)學(xué)史上的珍聞。對數(shù)的發(fā)展經(jīng)歷了簡化運算想法的形成、對數(shù)表的發(fā)明、指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系三個階段，隨著社會發(fā)展以及計算工具的不斷革新，教材省略了對數(shù)發(fā)展的前兩個階段。為順應(yīng)對數(shù)的發(fā)展歷程，我們將前兩個階段融入教學(xué)中，進行歷史重構(gòu)，讓學(xué)生更好地理解對數(shù)。

二、新課講授

（一）第一階段：形成簡化運算思想

師：今天考查下大家的計算水平，請大家計算下（299792458×31536000×100000=？），有些學(xué)生抱怨數(shù)據(jù)太大，太難算。這個數(shù)據(jù)確實很大，但是來自天文學(xué)中的實際問題——銀河系直徑的大小，銀河系直徑約為十萬光年，光速為每秒299792458米，一年為31536000秒。

生：直接計算太復(fù)雜、太繁瑣。

師：16、17世紀之交，天文學(xué)迅速發(fā)展，天文學(xué)家有時為了一個復(fù)雜的運算要耗費幾個月的時間，因此簡化運算是當時急需解決的問題。

（二）第二階段：對數(shù)表的探索

師：請大家計算下指數(shù)為9時，對應(yīng)的結(jié)果。

生：19683。

師：那么指數(shù)為13呢？

生：1594323。

師：算得很快啊，請同學(xué)們再來計算下81×2187=？

生：177147，不用計算，查表就知道了。

師：居然不用計算就得出來了，很聰明啊。那么大家再來挑戰(zhàn)下0.126473×356218=？。

生：0.126473是3的幾次冪呢？356218又是3的幾次冪呢？老師，表格中沒有，我們不會計算。

師：看來表格還是存在問題的，在表格中只能查到3的整數(shù)指數(shù)冪。那么對于其他實數(shù)，比如2×7，就不適用了。

生：那能不能把表做得更精細一些呢？可以查到2是3的幾次冪，7是3的幾次冪。

師：可以，但是制作表的難度很大。17世紀，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾用了20年的時間制作了可查的對數(shù)表，為當時的天文、航海、軍事等作出了巨大貢獻。但是利用Excel模擬查表得到的值只能是近似值，那有沒有精確的表示方法呢？

（三）第三階段：引入對數(shù)符號（指數(shù)與對數(shù)的關(guān)系）

我們把符號一般化，就給出了對數(shù)的概念：一般地，如果ax=N（a>0，且a≠1），那么數(shù)x叫作以a為底N的對數(shù)（logarithm），記作x=logaN，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)。

三、課堂小結(jié)

本節(jié)課，我們體驗了對數(shù)概念發(fā)明的歷史過程，重現(xiàn)了納皮爾與布里格斯發(fā)明對數(shù)的過程，屬于重構(gòu)式的HPM教學(xué)案例。對數(shù)的發(fā)明是數(shù)學(xué)史上的重大事件，曾被恩格斯稱為17世紀數(shù)學(xué)的三大成就之一。伽利略也說過：“給我空間、時間及對數(shù)，我就可以創(chuàng)造一個宇宙”，可見對數(shù)的發(fā)明有多么重要。

四、教學(xué)反饋

本節(jié)課的授課對象是我校17級小學(xué)教育系的四個班級，課后通過調(diào)查問卷與作業(yè)測試來檢測學(xué)生對對數(shù)概念的理解程度。

在概念的理解上，80.6%的學(xué)生表示能夠理解對數(shù)的概念，情況較理想。79.2%的學(xué)生能夠判斷想出“l(fā)og”與“a”“N”之間的關(guān)系，記住了指數(shù)與對數(shù)的互化形式及符號表示，比如，計算“l(fā)og2■=？”“l(fā)og381=？”時，正確率到達了86%，由于學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，對本節(jié)課的掌握情況能夠達到上述情況是比較理想的。

在教學(xué)形式上，90%的學(xué)生對數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)方式比較感興趣，持支持態(tài)度。大部分學(xué)生認為教師將豐富的數(shù)學(xué)背景知識融入課堂，能夠增強學(xué)習(xí)興趣，拓寬知識面，更容易掌握知識，同時也被數(shù)學(xué)家艱苦奮斗、敢于突破的創(chuàng)新精神所敬佩。

五、結(jié)語

HPM視角下“對數(shù)概念”的教學(xué)優(yōu)勢是比較明顯的。教師根據(jù)學(xué)生在理解對數(shù)概念時可能遇到的問題，設(shè)計出具有針對性的教學(xué)案例，在課堂上重現(xiàn)了對數(shù)概念發(fā)明的過程，以史為鑒，效果頗好。同時，通過給學(xué)生講述對數(shù)概念的演變過程，能夠讓學(xué)生追尋大師的足跡、領(lǐng)略大師的風(fēng)采，體會大師堅持不懈、勇于創(chuàng)新的精神。

參考文獻：

[1]吳晨昊.HPM視角下的“對數(shù)概念及其運算”的教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2016（12）：37-41.

[2]金惠萍，王芳.HPM視角下的對數(shù)概念教學(xué)[J].教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2014（9）：28-34.

◎編輯 武生智