對高職數(shù)學(xué)函數(shù)極值和最值的教學(xué)過程研究

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?函數(shù)極值是高等數(shù)學(xué)中一個重要的基本概念，是學(xué)習(xí)最值的重要基礎(chǔ).通過直觀教學(xué)法、問題驅(qū)動法、案例教學(xué)法等設(shè)計教學(xué)過程，改進(jìn)高職數(shù)學(xué)函數(shù)極值和最值的傳統(tǒng)教學(xué)過程，將函數(shù)的極值和最值統(tǒng)一進(jìn)行教學(xué)。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?函數(shù)極值;駐點;極值點;最值

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2019）30-0062-02

一、前言

函數(shù)的極值是高等數(shù)學(xué)中一個重要的基本定義，作為初等函數(shù)的重要內(nèi)容之一，它既是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的進(jìn)一步應(yīng)用，又是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)最值的基礎(chǔ).高職院校學(xué)生由于數(shù)學(xué)功底薄弱，深刻理解函數(shù)極值和應(yīng)用往往存在一定的困難，尤其是函數(shù)極值點與駐點關(guān)系和實際問題中的最值問題.本文是在傳統(tǒng)教學(xué)基礎(chǔ)上采用直觀教學(xué)法、問題驅(qū)動法、類比法等多種教學(xué)方法設(shè)計教學(xué)過程.學(xué)生學(xué)習(xí)時采用探究式、自主式和合作式的學(xué)習(xí)方式，這樣的設(shè)計既有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，分析問題、解決問題的能力及探索合作精神，又能使學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)中局部與整體的辯證關(guān)系，從而使學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)更有成就感.

二、教學(xué)過程研究

首先，教師借助多媒體展示山勢連綿起伏的圖片并提示學(xué)生觀察山峰和山谷的地勢特點.接下來展示以下圖形，并告知學(xué)生函數(shù)的極值研究的就是函數(shù)圖像的“山峰”和“山谷”問題，使學(xué)生對函數(shù)的極值形成直觀認(rèn)識.

學(xué)生觀察圖1的函數(shù)圖像并思考：函數(shù)圖像在點x1，x2，x3，x4，x5處的函數(shù)值與其近旁的點的函數(shù)值對比有怎樣的大小關(guān)系.學(xué)生仔細(xì)比較觀察不難發(fā)現(xiàn)，f（x2）、f（x4）對應(yīng)的函數(shù)值都比其近旁的函數(shù)值大，f（x3）、f（x5）對應(yīng)的函數(shù)值都比其附近的函數(shù)值小.此時，教師引入函數(shù)極值的概念，即：

定義1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有定義，x0∈（a，b），如果對x0兩側(cè)近旁的任意點x（x≠x0），均有f（x）f（x0）成立，則稱f（x0）是函數(shù)f（x）的一個極小值，x0點稱為f（x）的極小值點.

分析理解極值定義，學(xué)生很容易判斷出f（x2）、f（x4）為極大值，f（x3）、f（x5）為極小值.接著教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)得到：只要函數(shù)圖像出現(xiàn)“山峰”的形狀就可以出現(xiàn)極大值，出現(xiàn)“山谷”的形狀就可以出現(xiàn)極小值，并且得出函數(shù)的極值一定出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，在區(qū)間端點處不能取到極值.隨即教師繼續(xù)提出問題：極大值是不是一定比極小值大？在一個區(qū)間上極值是否是唯一的？學(xué)生通過對比討論圖1中的點x2和x5的函數(shù)值便可得到答案是否定的，并且能體會到函數(shù)在一個區(qū)間上的極值可以有多個.接著教師引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)曲線在某點的切線知識，提出問題：函數(shù)在以上極值點處的切線斜率有什么特點？學(xué)生通過分組討論探究不難發(fā)現(xiàn)：函數(shù)在取得極值處的切線往往是水平的，即切線斜率為零.從而，教師引入駐點的定義.

定義2：使f'（x）=0的點稱為函數(shù)的駐點.

如圖1中的點x1、x3、x4和x5處均是駐點，但是并非所有的駐點均取到極值，如點x1.同時，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察點x2可以發(fā)現(xiàn)：在有垂直切線的點處也可以取到極值.進(jìn)一步，教師引入的圖像y=x（圖2），顯然，x=0是此函數(shù)的極小值點，但是在x=0處不可導(dǎo).最后，學(xué)生可以總結(jié)出：對一個連續(xù)函數(shù)f（x），在極值點處切線是水平的、垂直的或者切線不存在的，即極值點必是駐點或不可導(dǎo)點，但是駐點和不可導(dǎo)點不一定是極值點.教師提問：函數(shù)的駐點和極值點到底有怎樣的必然關(guān)系呢？學(xué)生經(jīng)過思考后便可以得到極值的必要條件：

定理1：設(shè)函數(shù)f（x）在點x0處可導(dǎo)且取得極值，則必有f'（x）=0.

以上定理可以簡述為：可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是駐點，但是駐點不一定是極值點，學(xué)生通過觀察函數(shù)y=x3的圖像可知：駐點并不是其極值點.那么，教師繼續(xù)發(fā)問：在沒有函數(shù)圖像的情況下，如何確定一個可能極值點是否為極值點呢？學(xué)生根據(jù)圖1，聯(lián)系函數(shù)的單調(diào)性便很容易理解極值的第一充分條件.

定理2：設(shè)函數(shù)f（x）在點x0的某個空心鄰域內(nèi)可導(dǎo).

（1）如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰域的值時，恒有f'（x）>0;當(dāng)x取x0右側(cè)鄰域的值時，恒有f'（x）<0，那么函數(shù)f（x）在點x0處取得極大值f（x0）.

（2）如果當(dāng)x取x0左側(cè)鄰域的值時，恒有f'（x）<0;當(dāng)x取x0右側(cè)鄰域的值時，恒有f'（x）>0，那么函數(shù)f（x）在點x0處取得極大值f（x0）.

（3）如果在x的兩側(cè)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號相同，那么函數(shù)f（x）在點x0處不取得極值.

接下來，教師采用下列例題與學(xué)生一起熟悉極值的判定過程.

教師引導(dǎo)學(xué)生書寫求解的過程，不僅復(fù)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，而且將極值的第一充分條件理論轉(zhuǎn)化為實踐，加深對定理的理解運(yùn)用.此外，采用列表法求解清晰簡練，能使學(xué)生深刻體會數(shù)學(xué)的簡潔美.緊接著，教師指出函數(shù)極值的判斷除了可以用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f'（x）判斷外，還可以用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f''（x）來判斷.如果f（x）在駐點x0處的二階導(dǎo)數(shù)f''（x0）存在且不為零，則可用極值的第二充分條件判斷x0是極大值點還是極小值點.教師提示學(xué)生可根據(jù)圖1中極小值點x3和極大值點x4附近函數(shù)圖像切線的斜率變化即一階導(dǎo)數(shù)f'（x）的單調(diào)性來理解極值的第二充分條件.

定理3：設(shè)x0為f（x0）的駐點，即f'（x0）=0，但f''（x0）≠0，則

（1）當(dāng)f''（x0）>0時，x0為極小值點;

（2）當(dāng)f''（x0）<0時，x0為f（x）的極大值點.

值得注意的是，如果f'（x0）=0且f''（x0）=0，則x0點可能是也可能不是極值點，這時仍需用定理2來判定，所以定理3雖然判斷的過程比較簡單，但是相對于定理2而言應(yīng)用有一定的局限性.對定理2的理解，教師可指導(dǎo)學(xué)生通過以下例題分組自行討論解決.

例2：求函數(shù)f（x）=2x3-6x2-18x-10的極值.

解：f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)均可導(dǎo)，且

f（x）=6x2-12x-18=6（x2-2x-3）=6（x-3）（x+1）

令f'（x）=0得駐點為：x1=1，x2=3

且f''（x）=12x-12，

由于f''（-1）=-24<0，故x=-1是函數(shù)的極大值點，極大值為f（-1）=0，

由于f''（3）=24>0，故x=3是函數(shù)的極小值點，極小值為f（3）=-64.

函數(shù)極值在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用.利用函數(shù)極值可以解決在一定條件下成本最少、利潤最大、原材料最省等問題，這些問題反映在數(shù)學(xué)上就是求函數(shù)的最值問題.函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值.教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察圖1并提問函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值出現(xiàn)在哪里？學(xué)生通過觀察很容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值分別在點x4和a處取到，其中，x=a是區(qū)間的左端點，x=x4是極大值點.接著教師指出最值和極值最明顯的區(qū)別：最值是整個區(qū)間上的所有函數(shù)值中最大和最小者，它是一個全面、整體性概念.再根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)最大值和最小值可以在閉區(qū)間的內(nèi)部取到也可以在區(qū)間的兩個端點處取到，教師引導(dǎo)學(xué)生一起總結(jié)歸納出函數(shù)在區(qū)間[a，b]上求最值的步驟：（1）求出f（x）在區(qū)間[a，b]上的所有駐點和不可導(dǎo)點;（2）求出駐點、不可導(dǎo)點及區(qū)間端點所對應(yīng)的函數(shù)值;（3）對以上函數(shù)值比較大小，其中最大的即為最大值，最小的即為最小值.此時教師可安排學(xué)生自己求解函數(shù)f（x）=x3-x2-2x+3在[2，6]上的最大值和最小值作為課堂練習(xí).

最后，教師需要特別指出的是：函數(shù)f（x）在一個區(qū)間（有限或無限，開或閉）內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點x0，并且此駐點是f（x）的極值點，那么，當(dāng)f（x0）是極大（?。┲禃r，f（x0）就是f（x）在該區(qū)間上的最大（?。┲?往往在實際問題中，由實際經(jīng)驗可知，函數(shù)f（x）在定義的區(qū)間內(nèi)部的確有最大值或者最小值，而此時只有唯一的一個駐點，就可以判斷f（x）在唯一駐點處取得相應(yīng)的最大值或者最小值.但是，對此理論，有一部分高職學(xué)生理解不夠深入，教師可以跟學(xué)生一起探討如下例題.

例3：用鐵皮做成一個容積一定的圓柱形無蓋容器，忽略材料厚度的情況下，問應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計，才能使得用料最?。?/p>

以上教學(xué)過程設(shè)計充分地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，通過簡單的圖形將眾多抽象的數(shù)學(xué)知識形象表現(xiàn)出來，使學(xué)生親身感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，從心靈上感知數(shù)學(xué)來源于生活，又回歸到生活，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)同感.

參考文獻(xiàn)：

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[5]侯風(fēng)波.高等數(shù)學(xué)[M].上海：上海大學(xué)出版社，2009.

◎編輯 陳鮮艷