基于Heston模型的期權(quán)定價與波動率建模

摘要：本文首先回顧期權(quán)定價方法的經(jīng)典模型及發(fā)展過程。隨后介紹了Heston模型的歐式期權(quán)半顯式解的形式。實證部分對象為上證50ETF期權(quán)，使用了LM算法對Heston模型進行參數(shù)估計，并評估了該模型的隱含波動率擬合情況。文章最后，對Heston模型研究的進一步發(fā)展進行了展望。

關(guān)鍵詞：期權(quán)定價;Heston模型;隨機波動率模型;上證50ETF期權(quán);隱含波動率

研究背景

隨著我國金融市場愈發(fā)成熟，包括期權(quán)在內(nèi)的金融衍生品交易也愈發(fā)活躍。上證50ETF期權(quán)，作為我國金融市場上唯一一支交易量大，流動性好的期權(quán)品種，對滿足我國投資者風(fēng)險對沖的需求有著重大的意義。

1973年， Black和Scholes提出了著名的BS期權(quán)定價模型，直至今仍有非常重大的意義。但是，BS模型存在著一個重大缺陷，即它無法解釋現(xiàn)實中廣泛存在的“波動率微笑”現(xiàn)象，為解決這一缺陷，學(xué)者們在BS模型基礎(chǔ)上，相繼提出了CEV模型（Cox & Ross， 1975），跳躍——擴散模型（Merton， 1976），CIR模型（Cox， Ingersoll & Ross， 1985）以及本文介紹的Heston模型（Heston， 1993）等。

Heston模型對歐式看漲期權(quán)價格有：

其中，

另外，歐式看跌期權(quán)價格可由漲跌平公式得到，為簡化討論，在實證研究部分，本文也只研究歐式看漲期權(quán)。

實證研究

參數(shù)估計

我們以2019年4月1日上證50ETF期權(quán)的44種看漲期權(quán)合約，進行研究。當(dāng)日50ETF（$510050$）凈值為2.877。由Heston模型看漲期權(quán)的解析解，得到Heston模型期權(quán)價格，另有觀測到的期權(quán)市場價格。到此，只需解決如下的優(yōu)化問題：

綜合考慮，選擇了LM算法進行模型校正工作。并由此得出參數(shù)估計結(jié)果：，，， ，

隱含波動率曲面擬合優(yōu)度檢驗

檢驗Heston模型對距到期日23天，51天，86天，177天的四類期權(quán)隱含波動率擬合情況可以發(fā)現(xiàn)，擬合優(yōu)度明顯隨著到期日距離變長而上升，對23天到期的期權(quán)擬合情況不佳，而對177天到期的期權(quán)卻擬合的非常好。事實上，這是Heston模型的一個固有缺陷。對此，一種解釋是：當(dāng)離行權(quán)日越來越近，交易也變得越來越頻繁，這使得期權(quán)的波動率更加無法預(yù)測。下文會提到對Heston模型的各種改進。

結(jié)論

總的來說，Heston模型的確能較好的刻畫出上證50ETF期權(quán)的“波動率微笑”現(xiàn)象，唯一不足在于對短剩余期限的期權(quán)隱含波動率擬合欠佳。

為解決這一問題，有人試圖發(fā)展出時變的Heston模型，也有人曾提出“雙Heston模型”， 但任何對模型的擴展又會造成一些新的問題，如：加大了參數(shù)估計量， 新模型不存在顯示解或是模型的泛化性能差等。

Heston模型雖然于90年代就已經(jīng)被提出，但近年來的許多文章不斷地發(fā)掘出以前未知的關(guān)于Heston模型的性質(zhì)，為模型定價和參數(shù)估計提供了新的理論指導(dǎo)。也許對性質(zhì)進一步的探討，才是Heston模型未來發(fā)展的方向。

參考文獻：

[1]FABRICE D ROUAH. The heston model and its extensions in matlab and C#，+ Website[M]. Wiley， 2013.

[2]RPLLIN et al.A new look at the Heston characteristic function[Z]. 2009.

[3]李星. Heston模型下的歐式期權(quán)定價及隱含波動率研究[D].成都：西南財經(jīng)大學(xué)， 2016

[4]RICARDO CRISOSTOMO. An analysis of the heston stochastic volatility model： implementation and calibration using matlab[EB/OL]. https：//papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm？abstract_id=2527818

[作者簡介] 吳致中（1998—），男，漢，江蘇蘇州人，四川大學(xué)商學(xué)院。