直擊真疑問，力求真理解

莊迎春

【摘要】教學(xué)一些數(shù)學(xué)規(guī)定性知識(shí)時(shí)，教師應(yīng)該讓學(xué)生“知其然且知其所以然”。在《乘加（乘減）混合運(yùn)算》的教學(xué)中，可先設(shè)法使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，暴露學(xué)生的真實(shí)疑問，再組織開展深入的探究活動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)的層面去感受規(guī)定背后的道理，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)規(guī)定性知識(shí)的真正理解。

【關(guān)鍵詞】混合運(yùn)算 數(shù)學(xué)規(guī)定 數(shù)學(xué)本質(zhì)

人教版二年級(jí)下冊(cè)第五單元“混合運(yùn)算”例2，是教學(xué)類似“7+4×3”的含有兩級(jí)運(yùn)算的計(jì)算課。學(xué)生在學(xué)習(xí)本課前，有過較長時(shí)間的兩步計(jì)算式題（同級(jí)運(yùn)算）的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，即按從左往右的順序進(jìn)行計(jì)算，對(duì)此留下了深刻的印象。強(qiáng)烈的思維定式，導(dǎo)致學(xué)生在本課學(xué)習(xí)中得知這類式題竟然要先算右邊的乘法時(shí)，心里就涌出了一個(gè)巨大的問號(hào)：這是為什么呢？

教學(xué)中，很多教師這樣告訴學(xué)生：“這是數(shù)學(xué)家規(guī)定的，先乘除，后加減?！比缓蠼M織學(xué)生根據(jù)規(guī)則進(jìn)行強(qiáng)化鞏固。這樣的教學(xué)，當(dāng)場(chǎng)看似效果也挺好，但是隨著時(shí)間的推移，學(xué)生根深蒂固的習(xí)慣就會(huì)消磨教師的“告訴”，到了三年級(jí)甚至到高段，學(xué)生還會(huì)出現(xiàn)運(yùn)算順序出錯(cuò)的現(xiàn)象。筆者對(duì)轄區(qū)內(nèi)一所城鎮(zhèn)小學(xué)和一所農(nóng)村小學(xué)的491名三年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了專項(xiàng)測(cè)試，結(jié)果如下表：

由測(cè)試數(shù)據(jù)可見，②④⑤題的運(yùn)算順序錯(cuò)誤率是0，而①③⑥題的運(yùn)算順序錯(cuò)誤率都在20%左右，且學(xué)生的錯(cuò)誤都是按從左往右進(jìn)行計(jì)算。這樣高的錯(cuò)誤比例，不禁讓我們思考：先乘除后加減，學(xué)生為什么“記不牢”呢？

我們進(jìn)行了分析，覺得以下兩個(gè)原因也許是主要的。

原因一：按教材編排順序開展教學(xué)，使得學(xué)生對(duì)新知的形成感知不夠。

教材（圖1）的編排是從情境引入，學(xué)生讀圖后，看懂了每塊蹺蹺板上有4人，有這樣的3組，另外還有7人在觀看。此時(shí)，若要學(xué)生計(jì)算總?cè)藬?shù)，他們根據(jù)對(duì)情境的理解，就已經(jīng)想到了4和3是要相乘的，然后再和7相加。因此，無論學(xué)生是列成4×3+7，還是在教師引導(dǎo)下列出7+4×3，他們都已經(jīng)默認(rèn)了算式中需要先算乘法再算加法的。如此一來，學(xué)生沒有很好地感知到新知與舊知的差別，更沒有深刻地經(jīng)歷新知形成的過程，知識(shí)的建構(gòu)自然不到位。

原因二：告訴式的教學(xué)方法，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)定印象不深。

也許是教師們認(rèn)為“先乘除后加減”的數(shù)學(xué)原理不適合小學(xué)生探究，或者認(rèn)為理解其原理并不是本課的教學(xué)重難點(diǎn)，因此很多教師采用最簡單的方式，直接告訴學(xué)生：“這是數(shù)學(xué)家規(guī)定的?！边@樣的做法，忽視了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使得學(xué)生對(duì)這個(gè)規(guī)定產(chǎn)生的強(qiáng)烈疑問，缺乏一個(gè)釋放、釋疑的該有過程及深刻經(jīng)歷，以至于對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)定印象不深，時(shí)間一長，難免就會(huì)遺忘。簡而言之，學(xué)生缺少了一段難忘的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。

基于以上思考，筆者認(rèn)為，本課的教學(xué)，教師應(yīng)在學(xué)習(xí)過程的設(shè)計(jì)和教學(xué)方式的運(yùn)用上動(dòng)更多的腦筋，要使學(xué)生對(duì)新舊知識(shí)產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，暴露并聚焦對(duì)新知的真實(shí)疑問，開展積極主動(dòng)的思考和探究，最終實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)定的真正理解。為此，筆者設(shè)計(jì)了如下教學(xué)環(huán)節(jié)：

課始，出示兩級(jí)混合的計(jì)算式題4×3+2和2+4×3，讓學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，組織反饋。第一小題學(xué)生都是先算4×3=12，再算12+2=14;第二小題2+4×3則出現(xiàn)兩個(gè)不同的答案18和14。

師：一個(gè)算式怎么會(huì)有兩個(gè)不同的結(jié)果？你們是怎么算的呢？

生1：2+4等于6，6×3等于18。

生2：我是先算4×3，再算2+12，所以結(jié)果是14。

師：兩位同學(xué)的算法不一樣，誰的對(duì)呢？

生3：計(jì)算題都是從左往右算的，所以先算加法的對(duì)。

生4：我爸爸說要先乘除后加減的，所以等于14的對(duì)。

生5：我媽媽也說過要先算乘法。

……

師：同學(xué)們說的好像都很有道理，到底誰的對(duì)呢？（學(xué)生都急切地看著教師）

師：老師告訴你，先算右邊的乘法才是對(duì)的，從左往右算是錯(cuò)的。（學(xué)生嘩然）

師：同學(xué)們有什么想問的嗎？

生（齊）：為什么要先算乘法？

師：你們是不是都有這樣一個(gè)大大的疑問?。浚▽W(xué)生頻頻點(diǎn)頭）

設(shè)計(jì)意圖：由兩道兩級(jí)運(yùn)算式題的計(jì)算引入，直接把學(xué)生對(duì)“2+4×3”的不同算法暴露出來。然后放手讓學(xué)生闡述各自的觀點(diǎn)，引發(fā)雙方的激烈辯論，學(xué)生在爭議中達(dá)到矛盾的聚焦：到底先算什么？接著，教師“鄭重”地告知正確的方法，引發(fā)學(xué)生迸出真問題——為什么要先算乘法？整個(gè)環(huán)節(jié)，不斷造勢(shì)，步步緊逼，促使學(xué)生產(chǎn)生想探索原理的強(qiáng)烈愿望。

出示情境圖（圖2），按（1）→（2）→（3）→（4）的順序，分四步呈現(xiàn)完整的圖，領(lǐng)著學(xué)生口頭列式，逐步得出算式2+4+4+4。（師板書）

師：答案等于多少啊？

生：等于14。

師：完全正確。同學(xué)們能把這個(gè)算式再列得簡單些嗎？

學(xué)生獨(dú)立列式，反饋。絕大部分學(xué)生都列成4×3+2，學(xué)生說理。

生1：3個(gè)4相加可以列成4×3，再加2，就是4×3+2。

師：原來的加法算式中，2在最前面，你的算式中2到后面去了，看起來有點(diǎn)不一樣。有沒有不同的列法？

生2：2+4×3。（有少數(shù)學(xué)生這樣列）

師：這樣對(duì)不對(duì)呢？

生：其實(shí)就是3個(gè)4和2換了一下位置，道理是一樣的。（師根據(jù)學(xué)生的解釋適時(shí)板書，如圖3，學(xué)生都認(rèn)可這個(gè)算式）

師：這兩個(gè)算式應(yīng)該怎么進(jìn)行計(jì)算呢？

隨著學(xué)生回答，教師在黑板上形成板書如下：

4×3+2? ?2+4×3

=12+2? ?=2+12

師：咦，乘法在前的先算，乘法在后的為什么也要先算呢？

生1：因?yàn)檫@兩個(gè)算式的意思，都是2和3個(gè)4相加，所以都要先算3個(gè)4。

生2：其實(shí)2放在前和放在后是一樣的，只是交換了位置，所以都先算4×3。

師：是的，有加有乘的混合運(yùn)算中，乘法表示的是幾個(gè)相同加數(shù)的和，它是一個(gè)整體，當(dāng)然要先算。（板書：先乘再加）2+4×3的正確答案就是14。

設(shè)計(jì)意圖：主題圖上的信息依次呈現(xiàn)，引著學(xué)生口頭列式，可以讓學(xué)生感受此類式題的原始狀態(tài)，理解它的意義。學(xué)生在計(jì)算中，自然會(huì)根據(jù)之前對(duì)乘法的掌握，主動(dòng)選擇用乘法進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)一步增強(qiáng)“乘法比加法高級(jí)”的認(rèn)識(shí)。讓學(xué)生列出與原來加法式子更“匹配”的乘法算式，目的是強(qiáng)化學(xué)生對(duì)2+4×3本質(zhì)含義的理解。通過計(jì)算以及之后的說理、溝通，學(xué)生真正地理解了不管乘法在前還是在后都應(yīng)該先算的道理。

出示：1+5×3，3+2×4，2+3×3

請(qǐng)學(xué)生用遞等式進(jìn)行計(jì)算，反饋校對(duì)。再選擇1+5×3進(jìn)行深入探究。

師：你能自己舉個(gè)例子，用畫圖的方法表示出1+5×3的意思嗎？

學(xué)生獨(dú)立嘗試，小組交流，展臺(tái)展示作品（圖略），交流。

生1：有3張5元的紙幣，還有一個(gè)1元的硬幣，一共有多少元？

生2：教室里有3排桌子，每排有5張，前面還有一個(gè)講臺(tái)。教室里一共有多少桌子？

生3：老師分給3位同學(xué)每人5粒糖，手里還剩1粒，一共有多少粒糖？

……

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生用畫圖表征乘加混合算式的意義，這是一個(gè)變式的練習(xí)——逆向思考，目的是讓學(xué)生調(diào)用已有能力，結(jié)合新課所學(xué)，更理性更深刻地建構(gòu)“先乘后加”。學(xué)生舉出了豐富多彩的例子，通過展示與交流，更加直觀、更加多元地支撐了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)定的理解。由此，數(shù)學(xué)知識(shí)得以真正掌握，學(xué)習(xí)難點(diǎn)得以有效突破。

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們知道了乘法和加法混合，要先算乘法，那么乘法和減法混合，應(yīng)該先算什么呢？

生1：我覺得還是先算乘法。

生2：我也認(rèn)為先算乘法，再算減法，因?yàn)槌朔ū燃臃ǜ呒?jí)，肯定也比減法高級(jí)。

師分步出示（如圖4，棒棒糖是一根一根出現(xiàn)的），同步引領(lǐng)學(xué)生列出連減算式20-6-6-6。

……（教學(xué)展開略）

設(shè)計(jì)意圖：由乘加兩級(jí)混合向乘減兩級(jí)混合順向遷移，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理。教師設(shè)疑，學(xué)生猜測(cè)，在主題圖的推進(jìn)下，學(xué)生再次強(qiáng)烈地感受到乘法與減法在一起也要先算乘法的道理。如此的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用（遷移），不是簡單的機(jī)械模仿，而是更加深刻的理解和內(nèi)化。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，類似于本課的規(guī)定性知識(shí)的教學(xué)內(nèi)容還有很多。作為教師，要站在學(xué)生的角度來看待學(xué)生心中的真問題，盡量避免簡單化的說教或灌輸。教師要設(shè)法讓學(xué)生提出自己的真問題，然后直擊真問題，以合適的材料和形式，引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)的層面去理解這些規(guī)定背后的道理，使得規(guī)定性的知識(shí)成為學(xué)生水到渠成的認(rèn)同。我們相信，這樣的教學(xué)，不僅能讓學(xué)生更好地掌握知識(shí)，還會(huì)有效促進(jìn)學(xué)生能力的提升。