線性參照系與大地坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換

鄧興升， 黃小鵬

(長沙理工大學(xué) 交通學(xué)院, 長沙 410114)

在道路交通領(lǐng)域，位置信息不是由單一的坐標(biāo)確定，而是根據(jù)實(shí)際需求配合線性參照系統(tǒng)(Linear Referencing System, LRS)共同確定[1]。由于道路的線性特征，采用線性參照系統(tǒng)更有優(yōu)勢，符合人們對(duì)道路要素描述的習(xí)慣和理解能力。用大地坐標(biāo)來描述道路特征點(diǎn)的位置，往往沒有用里程數(shù)更直接、更易理解；線性參照系統(tǒng)也是為了解決交通網(wǎng)絡(luò)中事件定位和表達(dá)而設(shè)計(jì)的。目前高速公路普遍采用里程樁進(jìn)行線性定位[2]，以距離替代坐標(biāo)來定位空間事物或事件。交通運(yùn)輸?shù)乩硇畔⑾到y(tǒng)GIS-T(Geographic Information System for Transportation)的定位采用線性參照系統(tǒng)[3]，是與常規(guī)GIS的區(qū)別之一；面向?qū)ο蟮墓肪W(wǎng)絡(luò)及立交模型均是基于線性參照系統(tǒng)[4]。單純二維坐標(biāo)參考系統(tǒng)并不適合大型公路地理信息系統(tǒng)建設(shè)[5]，現(xiàn)有GIS-T模型一般同時(shí)采用兩種空間位置參照系，即一維線性參照系和二維空間參照系[6]。線性參照系的顯著特點(diǎn)是可以采用線性分段技術(shù)在GIS中完成空間相對(duì)位移定位[7]。

衛(wèi)星定位技術(shù)常用于獲取道路特征點(diǎn)的三維大地坐標(biāo)，但表達(dá)交通信息時(shí)常用線性參照方法LRM(Linear Reference Method)和線性參照系，而不采用空間參照方法。線性參照方法是在一個(gè)定義好的交通網(wǎng)絡(luò)中由已知位置和路徑，在LRS空間通過與已知參照點(diǎn)間的偏移距離，來確定未知位置的度量方法?；谝痪S線性系建立空間數(shù)據(jù)模型，能夠?qū)⒁痪S線性坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為實(shí)際地理空間坐標(biāo)[8]。根據(jù)需要可將路段進(jìn)行動(dòng)態(tài)分段，并將屬性沿程變化存儲(chǔ)為獨(dú)立事件屬性表，使一維線性參照系為基礎(chǔ)建立的各類屬性集能與二維參照系為基礎(chǔ)建立的空間位置相關(guān)聯(lián)[9]。實(shí)現(xiàn)線性參照系與大地坐標(biāo)系之間的融合和高效轉(zhuǎn)換是一項(xiàng)重要的基礎(chǔ)工作，本文采用模型直接計(jì)算兩坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換參數(shù)，給出道路彎曲度近似度量的兩個(gè)指標(biāo)，及兩坐標(biāo)系之間相互轉(zhuǎn)換的方法，其中大地坐標(biāo)對(duì)球面經(jīng)緯度和空間直角坐標(biāo)兩種形式均適用，并列舉實(shí)例進(jìn)行分析驗(yàn)證。

1 線性參照系與大地坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換

1.1 線性參照系統(tǒng)的建立

線性參照系統(tǒng)最早由Baker和Blessing在1974年提出，通常由交通網(wǎng)絡(luò)、線性參照方法和參照基準(zhǔn)控制3部分組成。實(shí)際道路網(wǎng)形狀復(fù)雜，基線網(wǎng)僅是一個(gè)抽象的近似映射，提供不同線性參照方法間的定位參照及相互轉(zhuǎn)換基準(zhǔn)[10]?；€網(wǎng)中特征點(diǎn)線集合，由錨固點(diǎn)(Anchor Points)及錨固段(Anchor Sections)組成。錨固點(diǎn)即道路特征點(diǎn)，具有明顯地物特征、且位置不易改變，如道路起終點(diǎn)、主要道路交叉口、大中型橋梁中點(diǎn)、特征里程樁點(diǎn)等。錨固段即路段，由兩個(gè)有序的錨固點(diǎn)組成。錨固點(diǎn)的定位包括平面坐標(biāo)及線性參照距離，參照點(diǎn)即某錨固段的里程零點(diǎn)，是線性參照系的原點(diǎn)。參照點(diǎn)可采用具有重要地理位置的錨固點(diǎn)，由于線性參照系統(tǒng)采用動(dòng)態(tài)分段機(jī)制，在一個(gè)基線網(wǎng)中，任何一個(gè)錨固點(diǎn)根據(jù)需要都可能作為參照點(diǎn)。

1.2 道路彎曲度計(jì)算與線性插值

由于線性插值是將錨固段近似視為直線處理的，因此需對(duì)道路彎曲度進(jìn)行度量。道路彎曲度評(píng)價(jià)可以采用兩個(gè)指標(biāo)：最大彎曲度和曲直比。最大彎曲度是指一條路線內(nèi)各跡點(diǎn)至錨固段的最大偏離度，由最大彎曲矢量與路線長度之比的百分比來度量。曲直比是指錨固段的曲線里程數(shù)與首尾兩點(diǎn)直線距離的比值。這兩個(gè)指標(biāo)越大，道路彎曲度越大，對(duì)線性插值計(jì)算越不利。曲直比為1時(shí)，表示道路線形為直線，這時(shí)采用線性插值轉(zhuǎn)換計(jì)算可視為無誤差。

線性插值法原理簡單但精度較低，只可滿足基本交通應(yīng)用需求[11]。兩點(diǎn)在參考橢球面的近似直線距離為:

(1)

其中d為兩點(diǎn)間近似距離(單位為m)；c為1秒地心角對(duì)應(yīng)的橢球面弧長，其近似值為30 m；(b1,l1)、(b2,l2)分別為點(diǎn)1和點(diǎn)2的緯度與經(jīng)度，坐標(biāo)單位需由(° ′ ″)轉(zhuǎn)換為(″)。插值點(diǎn)i到錨固段起始點(diǎn)的里程Ki為:

(2)

(3)

其中(b1,l1)為錨固段起始點(diǎn)坐標(biāo)；(b2,l2)錨固段終點(diǎn)坐標(biāo)，K為錨固段的里程數(shù)。式(1)—式(3)是基于錨固段近似為直線推導(dǎo)的，僅適用于直線路段。

1.3 空間曲線擬合

實(shí)際上，大部分路段是遠(yuǎn)距離大半徑的曲線路段，線性近似會(huì)帶來很大的轉(zhuǎn)換誤差?；诘缆非€要素的動(dòng)態(tài)分段模型算法[12]計(jì)算精度較高，但道路線型參數(shù)缺失時(shí)，在實(shí)現(xiàn)過程中會(huì)面臨很多困難[13]，且計(jì)算復(fù)雜不利于高效快速轉(zhuǎn)換。采用道路設(shè)計(jì)的曲線元素如緩和曲線、圓曲線來表示曲線路段較合理，但在現(xiàn)實(shí)中特別是舊路改造時(shí)，通常會(huì)面臨曲線元素與方位參數(shù)缺失等問題。因此需采用其它參數(shù)方程對(duì)曲線路段進(jìn)行擬合，建立線性參照系統(tǒng)里程數(shù)與大地坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，空間曲線用以下參數(shù)方程來描述：

(4)

其中(b,l,h)分別為空間點(diǎn)的緯度、經(jīng)度、大地高；(x,y,h)分別為空間點(diǎn)的高斯平面坐標(biāo)與正常高，t為里程數(shù)變量。分段3次樣條函數(shù)可用來擬合道路平面線形[14-16]，(b,l,h)或(x,y,h)可采用分段3次樣條函數(shù)來擬合：

f(t)=c3(t-t1)3+c2(t-t1)2+c1(t-t1)+c0.

(5)

其中c0,c1,c2,c3為待求的模型系數(shù)；t1為區(qū)間[t1,t2]的起始點(diǎn)。

根據(jù)實(shí)測點(diǎn)進(jìn)行分段，每段都有各自的模型系數(shù)。3次樣條函數(shù)在每個(gè)子區(qū)間上建立一個(gè)3次多項(xiàng)式，在分隔點(diǎn)處的插值等于觀測值，在分隔點(diǎn)處具有連續(xù)的一、二階導(dǎo)數(shù)，且滿足自然邊界條件；在節(jié)點(diǎn)處具有連續(xù)性，插值曲線為光滑分段多項(xiàng)式[17]。

由于里程數(shù)是單調(diào)遞增的，不會(huì)多值重復(fù)，因此區(qū)間分段是可行的，由里程數(shù)轉(zhuǎn)換到大地坐標(biāo)不存在多值性。反之，由大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到線性參照系時(shí)，由于道路線形可能出現(xiàn)回旋，如立交橋在立體交叉時(shí)具有相同平面坐標(biāo)的點(diǎn)，是空間上不同的點(diǎn)[4]。路面中心線軌跡的大地坐標(biāo)不滿足單調(diào)性條件時(shí)，需要根據(jù)具有單調(diào)性的另一維坐標(biāo)，例如高程h，建立與里程數(shù)t的函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)逆向轉(zhuǎn)換，或進(jìn)行必要的分段處理。

t=f(j)|j∈ b, l, x, y, h, r.

(6)

其中f(j)與式(5)形式上相同，j是b,l,x,y,h,r(r為坐標(biāo)點(diǎn)到區(qū)段起始點(diǎn)的向徑)中的任何一個(gè)具有單調(diào)性的坐標(biāo)或向徑，要求該數(shù)值在整個(gè)區(qū)段單調(diào)增或單調(diào)減，不得有重復(fù)值，從而建立與里程數(shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

1.4 計(jì)算流程

1.4.1 大地坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到線性參照系

1)建模數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)與里程實(shí)測，大地經(jīng)緯度坐標(biāo)由(°)(′)(″)轉(zhuǎn)換為以(″)為單位；

2)取大地坐標(biāo)中具有單調(diào)增或單調(diào)減特性的某一維坐標(biāo)或向徑，由分段3次樣條函數(shù)式(5)～式(6)建立與里程數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求得模型系數(shù)；

3)根據(jù)待轉(zhuǎn)換點(diǎn)的大地坐標(biāo)和轉(zhuǎn)換模型系數(shù)，將其轉(zhuǎn)換到線性參照系里程數(shù)。

1.4.2 線性參照系轉(zhuǎn)換到大地坐標(biāo)系

1)建模數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)與里程實(shí)測，大地經(jīng)緯度坐標(biāo)由(°)(′)(″)轉(zhuǎn)換為以(″)為單位；

2)里程數(shù)是單調(diào)增的，采用式(4)—式(5)分別建立里程數(shù)與3維大地坐標(biāo)的分段3次樣條函數(shù)模型，每一維坐標(biāo)建立一個(gè)模型，計(jì)算模型系數(shù)；

3)根據(jù)轉(zhuǎn)換·模型系數(shù)將里程數(shù)轉(zhuǎn)換為大地坐標(biāo)。

2 算例分析

2.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本實(shí)例選擇某一實(shí)際曲線路段作為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，其曲直比為1.145，最大彎曲矢量為72.3 m，最大彎曲度為21%。建立轉(zhuǎn)換模型時(shí)根據(jù)道路等級(jí)和轉(zhuǎn)換精度要求，曲線路段數(shù)據(jù)點(diǎn)間隔應(yīng)盡量小，通常以20 m為宜[15]。從實(shí)測數(shù)字地形圖中解析得到大地坐標(biāo)及里程數(shù)據(jù)如表1所示，其中x,y坐標(biāo)采用地方獨(dú)立坐標(biāo)系，解析坐標(biāo)精度為±10 cm，里程數(shù)精度為±30 cm。

表1 大地坐標(biāo)及里程表 m

2.2 大地坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到線性參照系

將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)A,B,C的大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為以里程樁為0的線性參照系里程數(shù)，由于在該區(qū)間中x坐標(biāo)不單調(diào)而y坐標(biāo)單調(diào)增加，因此采用空間曲線擬合法由y坐標(biāo)建立與里程數(shù)的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)計(jì)算流程1.4.1由坐標(biāo)y轉(zhuǎn)換到里程t的模型系數(shù)如表2所示。

表2 分段3次樣條函數(shù)t=f(y)模型系數(shù)

根據(jù)模型系數(shù)得到轉(zhuǎn)換計(jì)算結(jié)果如表3所示，其中轉(zhuǎn)換里程與實(shí)測里程差值最大為0.543 m。

表3 大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到線性參照系計(jì)算結(jié)果 m

2.3 線性參照系轉(zhuǎn)換到大地坐標(biāo)系

將實(shí)驗(yàn)點(diǎn)A,B,C的線性參照系實(shí)測里程數(shù)轉(zhuǎn)換為大地坐標(biāo)，根據(jù)計(jì)算流程1.4.2，由里程t轉(zhuǎn)換x坐標(biāo)的模型系數(shù)如表4所示。

表4 分段3次樣條函數(shù)x=x(t)模型系數(shù)

由里程t轉(zhuǎn)換y坐標(biāo)的模型系數(shù)如表5所示。

表5 分段3次樣條函數(shù)y=y(t)模型系數(shù)

由表4、表5可知，3次項(xiàng)系數(shù)c3接近為0，表明該曲線段采用二次樣條曲線擬合即可。由模型系數(shù)計(jì)算得到大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換結(jié)果如表6所示，其中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換誤差最大為0.402 m。

表6 線性參照系轉(zhuǎn)換到大地坐標(biāo)系計(jì)算結(jié)果 m

直線路段轉(zhuǎn)換試驗(yàn)分析結(jié)果表明，在直線路段3次樣條函數(shù)c3,c2的值近似為0，與直線方程等價(jià)，因此分段3次樣條函數(shù)同樣適用于直線路段的轉(zhuǎn)換。采用分段3次樣條函數(shù)，針對(duì)復(fù)雜道路線形不要求函數(shù)有較強(qiáng)的擬合能力，擬合曲線也不會(huì)在數(shù)據(jù)點(diǎn)間產(chǎn)生多余的擺動(dòng)，轉(zhuǎn)換結(jié)果滿足交通應(yīng)用需求。

3 結(jié) 論

線性參照系與大地坐標(biāo)系的相互融合與高效轉(zhuǎn)換，是智能交通信息系統(tǒng)的一項(xiàng)基礎(chǔ)工作，適用于解決道路特征點(diǎn)的空間定位問題。本文在兩坐標(biāo)系之間建立函數(shù)關(guān)系進(jìn)行直接相互轉(zhuǎn)換，給出度量道路彎曲度的兩個(gè)指標(biāo)，及兩坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換的兩類方法，即線性插值法和分段3次樣條曲線函數(shù)模型法。分段3次樣條函數(shù)法對(duì)直線和曲線路段都適用，要求建模數(shù)據(jù)點(diǎn)具有一定的密度且能反映道路線形特征，數(shù)據(jù)點(diǎn)密度較高且實(shí)測精度高時(shí)模型誤差可忽略。本文實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，線性參照系統(tǒng)與大地坐標(biāo)系的相互轉(zhuǎn)換誤差可達(dá)±0.5 m，主要誤差來源于坐標(biāo)和里程數(shù)據(jù)的測量誤差。