有偏改正的正則化抗差方法

范 偉，潘國(guó)榮

(同濟(jì)大學(xué) 測(cè)繪與地理信息學(xué)院，上海 200092)

在攝影測(cè)量附加參數(shù)的自檢校平差中，為了補(bǔ)償系統(tǒng)誤差，引入大量的附加參數(shù)地抵償系統(tǒng)誤差的影響。過(guò)度的引入附加參數(shù)，會(huì)導(dǎo)致附加參數(shù)之間或附加參數(shù)與基本參數(shù)之間存在近似的線性相關(guān)性，而導(dǎo)致法方程病態(tài)，嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性。同樣，在GPS載波相位測(cè)量和地球重力場(chǎng)計(jì)算中也會(huì)存在類(lèi)似的現(xiàn)象。針對(duì)法方程病態(tài)問(wèn)題，利用正則化方法，通過(guò)選擇合適的正則化參數(shù)和正則化矩陣，可有效地削弱法方程的病態(tài)性，增強(qiáng)解的穩(wěn)定性。而傳統(tǒng)的正則化方法，沒(méi)有考慮觀測(cè)值含有粗差的情況，當(dāng)觀測(cè)值含有粗差時(shí)，傳統(tǒng)的正則化方法無(wú)法消除或削弱含有粗差的觀測(cè)值對(duì)平差結(jié)果的影響，同樣會(huì)導(dǎo)致平差結(jié)果失真。為此，文獻(xiàn)[5-6]中提出具有抗差性的病態(tài)問(wèn)題平差方法，即通過(guò)方差膨脹模型降低含有粗差的觀測(cè)值的權(quán)，以削弱粗差觀測(cè)值對(duì)平差結(jié)果的影響。

所有的方差膨脹模型都是通過(guò)觀測(cè)值的殘差建立起來(lái)的，即通過(guò)觀測(cè)值的殘差確定觀測(cè)值的權(quán)。但是，已知的病態(tài)問(wèn)題抗差方法中，計(jì)算出的殘差均是有偏的，而使用有偏的殘差建立方差膨脹模型顯然是不合理的。因此，對(duì)殘差進(jìn)行有偏性改正，建立有偏改正的方差膨脹模型，而所有的不適定問(wèn)題解的表達(dá)都可以由Tikonov正則化原理導(dǎo)出，本文結(jié)合有偏改正的方差膨脹模型和正則化原理，提出了一種新的正則化抗差方法，即有偏改正的正則化抗差方法。

1 正則化抗差方法

設(shè)病態(tài)問(wèn)題的觀測(cè)方程為

L=AX+Δ.

(1)

根據(jù)Tihonov正則化原理，得估計(jì)準(zhǔn)則為

(2)

根據(jù)式(2)的估計(jì)準(zhǔn)則，若觀測(cè)值中含有粗差，參數(shù)估值將受到嚴(yán)重影響，即式(2)中的估計(jì)準(zhǔn)則不具備抗差性，文獻(xiàn)[6]提出了一種具有抗差性的估計(jì)準(zhǔn)則：

(3)

式中：n為觀測(cè)值個(gè)數(shù)，Pi為第i個(gè)觀測(cè)值的權(quán)，ρ為任意選取的抗差迭代函數(shù)，Vi為平差后第i個(gè)觀測(cè)值的殘差。

由式(3)中的估計(jì)準(zhǔn)則，可得參數(shù)的估值：

(4)

由式(4)可以發(fā)現(xiàn)，等價(jià)權(quán)矩陣的確定與殘差V緊密相關(guān)，殘差V能否有效的將直接影響平差結(jié)果的質(zhì)量。利用正則化方法估計(jì)的參數(shù)是有偏的，根據(jù)有偏的參數(shù)計(jì)算得到的殘差必然也是有偏的，那么，利用有偏的殘差進(jìn)行等價(jià)權(quán)矩陣的計(jì)算顯然不合理的。

2 有偏改正的正則化抗差方法

2.1 殘差V有偏性分析

根據(jù)式(3)和式(4)得殘差V的計(jì)算式為

(5)

(6)

其中

E(V)不等于0是由兩個(gè)原因造成的，一個(gè)原因是正則化參數(shù)α和正則化矩陣R引起的；另一個(gè)原因是Δ中含有粗差引起的。但此處可不考慮粗差的影響，而只考慮由正則化參數(shù)α和正則化矩陣R對(duì)殘差V的有偏性的影響。粗差對(duì)V的影響，可通過(guò)之后的選權(quán)迭代法來(lái)處理，以降低相應(yīng)觀測(cè)值的權(quán)。

不考慮粗差的影響，對(duì)V求期望得

(7)

(8)

(9)

由式(9)可得殘差V的一次有偏量和二次有偏量為

(10)

對(duì)式(9)繼續(xù)使用上述的推導(dǎo)方法，可得V的更高次的有偏量。需要指出的是，通過(guò)計(jì)算分析，對(duì)V進(jìn)行二次有偏量的改正，明顯改善解的穩(wěn)定性。

殘差V的有偏改正結(jié)果為

(11)

2.2 有偏改正的正則化抗差模型

有偏改正的正則化抗差準(zhǔn)則為

(12)

對(duì)X求導(dǎo)，并令其等于零可得

(13)

式中：Ai為系數(shù)陣A的第i行元素。

成等價(jià)權(quán)的形式：

(14)

其中

矩陣形式可得

(15)

有偏改正的正則化解為

(16)

有偏改正的正則化抗差方法與普通的正則化抗差方法，在解的表達(dá)形式上基本一致，不同的是，將式(4)中的等價(jià)權(quán)陣換成了式(16)中的等價(jià)權(quán)陣。式(16)中等價(jià)權(quán)陣的確定在理論上更加嚴(yán)密，推導(dǎo)過(guò)程更加嚴(yán)謹(jǐn)。

3 算例分析

本文取歷元間隔為2 s，觀測(cè)了5顆衛(wèi)星，用4個(gè)歷元解算整周模糊度，誤差方程系數(shù)陣為

(17)

設(shè)參數(shù)的真值為

(18)

式中：Ni為整周模糊度參數(shù)，δx，δy，δz為坐標(biāo)參數(shù)。

表1 模擬值

本文采用4種估計(jì)方法對(duì)實(shí)例進(jìn)行估計(jì)分析，4種估計(jì)方法分別為最小二乘估計(jì)(LS)，正則化估計(jì)，正則化抗差估計(jì)，有偏改正的正則化抗差估計(jì)。其中，3種正則化方法中正則化參數(shù)α和正則化矩陣R的選取通過(guò)L-curve方法、GCV方法，截?cái)嗥娈愔捣椒ň鶡o(wú)法取得良好的效果。根據(jù)單頻GPS觀測(cè)值的特點(diǎn)，本文3種正則化估計(jì)方法中正則化參數(shù)α和正則化矩陣R的選取使用MINE Ι方案；兩種抗差估計(jì)方法中ρ函數(shù)的選取使用IGG方案。

當(dāng)觀測(cè)值中不含有粗差時(shí)，即直接利用表1中的Li行對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值，使用4種方案進(jìn)行平差，獲得的參數(shù)估值，參數(shù)估值的均方誤差，以及已知的參數(shù)真值分別列于表2中。當(dāng)觀測(cè)值中含有粗差時(shí)(本文在表1中Li行對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值中給第1個(gè)觀測(cè)值增加了-0.15的粗差，給第2個(gè)觀測(cè)值增加了0.25的粗差)，獲得的參數(shù)估值，參數(shù)估值的均方誤差，以及參數(shù)的真值分別列于表3中。

由表3的計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)觀測(cè)值中不存在粗差時(shí)，3種正則化方法的結(jié)果幾乎沒(méi)有任何差異，但在均方誤差意義下遠(yuǎn)遠(yuǎn)好于最小二乘估計(jì)方法(LS)。當(dāng)觀測(cè)值中含有粗差時(shí)，最小二乘估計(jì)方法(LS)的平差結(jié)果是災(zāi)難性的；正則化估計(jì)方法和正則化抗差估計(jì)方法，在均方誤差意義下均受到粗差觀測(cè)值的明顯影響，但是正則化抗差估計(jì)方法相對(duì)于正則化估計(jì)方法受到粗差觀測(cè)值的影響較小。而本文提出的正則化抗差方法，在均方誤差意義下，幾乎不受粗差觀測(cè)值的影響，明顯優(yōu)于另外3種估計(jì)方法。并且，通過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，有偏改正的正則化方法均能保證平差結(jié)果的穩(wěn)定性，可以較好地消除粗差觀測(cè)值的影響。

表2 觀測(cè)值不含粗差的平差結(jié)果

表3 觀測(cè)值含有粗差的平差結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)