不同橢球與投影參數(shù)的兩套高斯平面坐標(biāo)的變換方法

歐海平,呂長廣,喻永平,劉顯濤

(1.廣州市城市規(guī)劃勘測設(shè)計研究院，廣東 廣州 510060;2.山東正元建設(shè)工程有限責(zé)任公司，山東 濟(jì)南 250100；3.黑龍江第二測繪工程院，黑龍江 哈爾濱 150025)

2018-07-01起，我國開始啟用CGCS2000坐標(biāo)系，根據(jù)廣州市的具體情況，考慮原有廣州坐標(biāo)海量數(shù)據(jù)資料有效利用原則，廣州市建立了以CGCS2000橢球為支撐的廣州2000坐標(biāo)系。廣州2000坐標(biāo)系建立過程中，需要考慮不同坐標(biāo)系的橢球參數(shù)和投影參數(shù)，需要分析這些因素對坐標(biāo)變換關(guān)系的影響，建立基于不同參考橢球參數(shù)的坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換方法，指導(dǎo)各種坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換及廣州2000坐標(biāo)系的建立。

1 不同橢球和投影參數(shù)對高斯投影坐標(biāo)的影響分析

參考橢球形狀和大小的差異體現(xiàn)在長半徑a和扁率f的不同，高斯投影參數(shù)主要是中央子午線L0、投影面高程和投影坐標(biāo)偏差常數(shù)(X0，Y0)。若采用北方向夾角α、尺度比m和平移常數(shù)(x0，y0)4個參數(shù)進(jìn)行兩個不同參考橢球的高斯投影坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，其轉(zhuǎn)換模型比較簡單，但要求兩種坐標(biāo)是線性關(guān)系。如果兩高斯平面坐標(biāo)之間的關(guān)系是非線性的，直接采用四參數(shù)模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度很差，而精準(zhǔn)轉(zhuǎn)換則其轉(zhuǎn)換模型比較復(fù)雜。因此，在分析不同橢球和幾何參數(shù)對高斯投影坐標(biāo)的影響基礎(chǔ)上，提出削弱非線性影響因素，建立精準(zhǔn)且簡單的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型和流程。

高斯投影坐標(biāo)的正算公式為:

(1)

(2)

(3)

投影的長度比：

(4)

根據(jù)式(1)～式(3)，不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)橢球半徑為a，增大δa時，投影坐標(biāo)變?yōu)椋?/p>

(5)

這說明橢球長半徑變化對高斯投影坐標(biāo)的影響是線性的。盡管橢球扁率對投影坐標(biāo)的影響是非線性的，但不同橢球的扁率相差甚小，其非線性部分的影響可忽略不計。順便指出，兩個坐標(biāo)系定向參數(shù)的影響也相差甚小，可以忽略不計。其定位參數(shù)不同或投影面高程不同時，其影響特性也是線性的，因為可以通過膨脹橢球長半徑a，使兩個橢球面在區(qū)域范圍內(nèi)一致，因此其影響與式(5)相同，只要將式中的δa改為兩者的投影面高程之差。

在式(3)中投影點的子午線收斂角是非線性變化的，如果兩個點的經(jīng)線分別為L和L+ ΔL(ΔL為經(jīng)差)，則略去最后一項后由式(3)可得兩者的收斂角之差為

ΔL(3l2+3l·ΔL+ΔL2)(1+3η2+2η4)+….

(6)

顯然，兩者的子午線收斂角差值隨ΔL增大而變大，只有當(dāng)ΔL很小時，才能忽略其影響，采用一個旋轉(zhuǎn)參數(shù)α來實現(xiàn)兩個高斯投影坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

同樣將式(1)第二式的首項y=NcosBl代入式(4)，當(dāng)兩個點的經(jīng)線相差ΔL時，由式(4)得兩者的尺度比之差為

(7)

顯然，尺度比之差也隨ΔL增大而變大，當(dāng)ΔL很小時，才能忽略其影響，才能用一個尺度比參數(shù)來進(jìn)行兩個高斯投影坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。

上述討論的結(jié)果，對于同一點，在兩個中央子午線(L0及L0+ΔL)的高斯投影情況同樣成立。

2 不同橢球和投影參數(shù)的高斯投影坐標(biāo)的變換方法

在兩平面坐標(biāo)系的四參數(shù)模型中，其參數(shù)為北方向夾角α、長度尺度比m和平移常數(shù)(x0，y0)，通過兩個坐標(biāo)系的公共點坐標(biāo)成果計算轉(zhuǎn)換參數(shù)，按式(8)進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

(8)

式中：x0，y0為平移參數(shù)；α為旋轉(zhuǎn)參數(shù)；m為長度尺度比參數(shù)。

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的真諦在于使α=0、m=1時，通過加適當(dāng)?shù)钠揭瞥?shù)使兩坐標(biāo)值達(dá)到一致。

高斯投影坐標(biāo)系參數(shù)除投影的參考橢球體外，還有投影的中央子午線、投影面高度和加常數(shù)，中央子午線與投影后的坐標(biāo)系的北方向密切相關(guān)，投影的高程面高低則與坐標(biāo)系的尺度比密切相關(guān)。

對于經(jīng)差ΔL較大的不同中央子午線的高斯投影坐標(biāo)系，直接采用四參數(shù)模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，由于子午線收斂角及高斯投影長度投影變形的特性，很難得出較為滿意的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。

根據(jù)對不同橢球和投影參數(shù)對高斯投影坐標(biāo)的影響分析結(jié)論，對于不同參考橢球體(如克拉索夫斯基橢球體、CGCS2000橢球)的高斯投影坐標(biāo)，當(dāng)投影的中央子午線經(jīng)差ΔL較小時，子午線收斂角差值和尺度比差值較小，可以忽略其影響，能用一個尺度比參數(shù)和一個旋轉(zhuǎn)參數(shù)來表示兩個高斯投影坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，此時采用四參數(shù)模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可得出較為滿意的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度，這在廣州坐標(biāo)與廣州2000坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換及廣州2000坐標(biāo)系建立中得到較好的應(yīng)用。

3 應(yīng)用實踐

3.1 廣州坐標(biāo)與2000國家大地坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換實踐

在廣州市城市規(guī)劃和建設(shè)中一直使用廣州坐標(biāo)系， 60多年來，積累了海量的廣州坐標(biāo)系數(shù)據(jù)資料，廣州坐標(biāo)系是基于北京54參考橢球的高斯正形投影的獨立坐標(biāo)系，投影中央子午線為廣州白云山摩星嶺所在經(jīng)線(E113°17′)，投影面為廣州平均高程。

廣州坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到2000國家大地坐標(biāo)系的投影坐標(biāo)(CGCS2000橢球、38°帶(E114°))，直接采用四參數(shù)模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，其轉(zhuǎn)換精度很差(1 m左右)。若先將廣州坐標(biāo)進(jìn)行換帶計算處理，轉(zhuǎn)換到中央子午線(E114°)的投影坐標(biāo)，由于兩坐標(biāo)系投影的中央子午線經(jīng)差ΔL=0，此時再采用四參數(shù)模型對換帶投影后的坐標(biāo)和2000國家大地坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可得出較為滿意的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度。

流程：廣州坐標(biāo)(X1，Y1，E113°17′、克拉索夫斯基橢球體)→高斯坐標(biāo)反算(B，L)→高斯坐標(biāo)正算(X2，Y2，E114°、克拉索夫斯基橢球體)→四參數(shù)模型轉(zhuǎn)換→2000國家大地投影坐標(biāo)(X3，Y3，E114°、CGCS2000橢球)。

按上述流程方法，以156個高等級控制點坐標(biāo)求出四參數(shù)模型參數(shù)編制轉(zhuǎn)換程序，對另外的98個高等級控制點進(jìn)行轉(zhuǎn)換檢核，轉(zhuǎn)換精度較好，見表1。

表1 轉(zhuǎn)換精度統(tǒng)計表 m

3.2 廣州2000坐標(biāo)系建立應(yīng)用

不同橢球和投影參數(shù)的高斯投影坐標(biāo)的變換方法及原理，在廣州2000坐標(biāo)系建立中得到較好應(yīng)用。廣州市區(qū)域的經(jīng)度范圍是E112°57′～ 114°03′，使用2000國家大地坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)投影帶高斯坐標(biāo)(3°帶投影第38°帶投影坐標(biāo))，有超過1/2的廣州市區(qū)域處于長度投影變形超過1/40 000范圍，為此，需要建立2000國家大地坐標(biāo)系的城市獨立坐標(biāo)系，即廣州2000坐標(biāo)系。

綜上分析，對于不同參考橢球體的高斯投影坐標(biāo)，當(dāng)投影的中央子午線經(jīng)差ΔL較小時，采用四參數(shù)模型進(jìn)行兩個坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度較好。根據(jù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的逆過程，在廣州2000坐標(biāo)與廣州坐標(biāo)一致的前提下確定廣州2000坐標(biāo)系參數(shù)(中央經(jīng)線L0、投影面高程H和坐標(biāo)加常數(shù)(X0，Y0))，此時兩坐標(biāo)系北方向夾角α=0、長度尺度比m=1，建立流程如圖1所示。

圖1 廣州2000坐標(biāo)系建立流程

在廣州市坐標(biāo)系整合統(tǒng)一中，已確定了廣州市似大地水準(zhǔn)面精化高精度控制網(wǎng)(156點)和廣州市GPS首級(二等)平面測量控制網(wǎng)(98點)的CGCS2000大地坐標(biāo)以及廣州坐標(biāo)。按照廣州2000坐標(biāo)系的建立原則，在廣州坐標(biāo)值和廣州2000坐標(biāo)值相等的條件下(旋轉(zhuǎn)角α=0、尺度比m=1、+X0、+Y0)，通過156個控制點坐標(biāo)值反演求出廣州2000坐標(biāo)系參數(shù)：投影中央子午線L=113°17′**″(與廣州坐標(biāo)系中央子午線的經(jīng)差約數(shù)s)、投影面大地高H=-10.** m、平移參數(shù)為X0=-252 9615.*** m,Y0=41 123. **** m。

根據(jù)此參數(shù)，對控制點的CGCS2000大地坐標(biāo)在2000橢球體上進(jìn)行高斯投影計算，得到廣州2000坐標(biāo)。

156個格網(wǎng)點廣州2000坐標(biāo)與廣州坐標(biāo)差異比較(內(nèi)符合精度)如表2所示。

表2 內(nèi)符合精度統(tǒng)計表 m

98個格網(wǎng)點廣州2000坐標(biāo)與廣州坐標(biāo)差異比較(內(nèi)符合精度)如表3所示。

表3 內(nèi)符合精度統(tǒng)計表 m

根據(jù)上述方法確定的廣州2000坐標(biāo)系，其坐標(biāo)值在廣州行政區(qū)域范圍內(nèi)與廣州坐標(biāo)較差均在0.05 m以內(nèi)，在±0.05 m精度下，廣州2000坐標(biāo)與廣州坐標(biāo)可等同使用。

4 結(jié)束語

本文分析了不同橢球和投影參數(shù)對高斯投影坐標(biāo)的影響，對不同參考橢球的高斯投影坐標(biāo)精準(zhǔn)銜接技術(shù)進(jìn)行探討，提出了不同橢球和投影參數(shù)的高斯投影坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換方法，并運用于多個歷史時期空間數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換和廣州2000坐標(biāo)系的建立實踐中，具有極高使用價值。本文成果應(yīng)用過程中，得到了以下結(jié)論：

1)對于基于不同參考橢球體(如克拉索夫斯基橢球體、2000國家參數(shù)橢球體)的高斯投影平面坐標(biāo)，在投影的中央子午線偏差不大的前提下，通過四參數(shù)模型進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可得到較好的轉(zhuǎn)換精度。

2)通過適當(dāng)?shù)耐队懊嫱队罢{(diào)整可使尺度因子m=1、通過適當(dāng)微調(diào)投影子午線可以旋轉(zhuǎn)角α=0，再通過加適當(dāng)?shù)钠揭茀?shù)可使在不同參考橢球體高斯投影的兩套坐標(biāo)值達(dá)到一致。就廣州2000坐標(biāo)系建立的實踐情況來看，建立的廣州2000坐標(biāo)系與廣州坐標(biāo)系符合性較好，這對新建坐標(biāo)系統(tǒng)坐標(biāo)與舊有坐標(biāo)系坐標(biāo)精準(zhǔn)銜接，促進(jìn)CGCS2000大地坐標(biāo)系在大城市中應(yīng)用有較好的示范作用。