線段上連續(xù)非混沌自映射某類點的性質

趙 勇

（西華師范大學 數(shù)學與信息學院，四川 南充 637009）

0 引 言

一維動力系統(tǒng)，特別是對線段I上的連續(xù)自映射的研究，幾十年來，吸引了無數(shù)數(shù)學工作者和數(shù)學愛好者的興趣并投身于研究當中。尤其是Li-Yorke混沌定義的提出，更是引起了人們進一步研究的狂熱，在此研究過程中，人們得到眾多重要的研究方法和結論，逐步形成了較為完整的理論體系，使得線段上自映射迭代研究成為了動力系統(tǒng)特別是一維動力系統(tǒng)領域中一個重要的分支。但就目前為止，線段上自映射迭代的研究中還有很多亟待進一步發(fā)展和突破的問題。其中最重要的，最有挑戰(zhàn)性，最具有吸引力的就是“混沌的本質是什么［1］？”混沌的本質是什么，人們雖然從混沌定義的簡化等多個角度得到了若干充分條件或必要條件［1-11］，但均未能有效解決問題。本文將繼續(xù)在前人及作者前文［4-8］研究結果和思路的基礎上，去探索線段上連續(xù)非混沌自映射周期點集的重要性質。文中出現(xiàn)的符號參見文獻［4］。

1 預備知識

引理 1［4］設 f為線段 I上的連續(xù)自映射，X∈? （f）-P（f），若存在 k1，k2，k3∈ N，使得：fk3（X）＜T2＜fk2（X）＜T1＜fk1（X），T1，T2∈ I且為 f的不動點，則 f在 I上必有非2的方冪的周期點。

引理2［6］設f為線段I上的連續(xù)自映射，f在I上滿足Li-Yorke混沌定義，則P（f）不是閉集。

引理3［8］設f為線段I上的連續(xù)自映射，周期點集不閉且f在I上只有2的方冪的周期點，則對任意X∈ω（f）-P（f），orbf（X）具有統(tǒng)一的規(guī)律。即存在自然數(shù) nX，使得｛fn（X）｝n＝1，2，…，從第 nX項開始 orbf（X）以：1（1）→ 4（2）→2（2）→3（2）→1（1）→ … 或1（2）→3（1）→2（1）→4（1）→1（2）→ … 為周期節(jié)如此一直鏈接下去。其中 1（1），1（2），2（1），2（2），3（1），3（2），4（1），4（2）具體表示如下：

1（1）fm（X）＜fm+2（X）＜fm+3（X）＜fm+1（X）；

1（2）fm（X）＜fm+2（X）＜fm+1（X）＜fm+3（X）；

2（1）fm+2（X）＜fm（X）＜fm+3（X）＜fm+1（X）；

2（2）fm+2（X）＜fm（X）＜fm+1（X）＜fm+3（X）；

3（1）fm+3（X）＜fm+1（X）＜fm（X）＜fm+2（X）；

3（2）fm+1（X）＜fm+3（X）＜fm（X）＜fm+2（X）；

4（1）fm+1（X）＜fm+3（X）＜fm+2（X）＜fm（X）；

4（2）fm+3（X）＜fm+1（X）＜fm+2（X）＜fm（X）。

定義1［7］（Li-Yorke）混沌定義設f為線段I上的連續(xù)自映射，若滿足下列條件，則稱f在I中是Li-Yorke混沌的：

（A）：PP（f）無上界：

（B）：存在I中的不可數(shù)子集S，使得：

其中 x≠ y，f1（x）＝f（x），…，fn+1（x）＝f（fn（x）），n∈ N，不可數(shù)集 S稱為 f的混沌集，（B3）不滿足的點x稱為f的漸近周期點。（包括周期點）。

定義2［7］設f為線段I上的連續(xù)自映射，若滿足下列條件，則稱f在I中是Li-Yorke混沌的：

（B）：存在I中的不可數(shù)子集S，使得：

其中 x≠ y，f1（x）＝f（x），…，fn+1（x）＝f（fn（x）），n∈ N，不可數(shù)集 S稱為 f的混沌集，（B3）不滿足的點 x稱為f的漸近周期點（包括周期點）。

2 主要結論

定理1 設f為線段I上的連續(xù)自映射，f的周期點 P（f）不是閉集，則f的周期數(shù)之集PP（f）無上界。

證明：

1.若f在I上有非2方冪的周期點。則根據(jù)沙可夫斯基定理，有PP（f）無上界。

2.若f在I上只有2的方冪的周期點。我們用反證法證明PP（f）無上界。

假設 PP（f）有上界，則存在自然數(shù)n0，使得對任意的n∈PP（f），都有n≤2n0，根據(jù)引理3，對任意的X∈ω（f）-P（f）及正整數(shù)2n0，存在自然數(shù) nX，2n0，使得 orbf2n0（fnX，2n0（X））以 1（1）→ 4（2）→ 2（2）→ 3（2）→1（1）→ … 或1（2）→3（1）→2（1）→4（1）→1（2）→ … 為周期節(jié)無限鏈接下去。其中1（1），1（2），2（1），2（2），3（1），3（2），4（1），4（2）具體表示如下：

1（1）fm（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）；

1（2）fm（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）；

2（1）fm+2·2n0（X）＜fm（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）；

2（2）fm+2·2n0（X）＜fm（X）＜fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）；

3（1）fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）＜fm（X）＜fm+2·2n0（X）；

3（2）fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm（X）＜fm+2·2n0（X）；

4（1）fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm（X）；

4（2）fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm（X）。

我們不妨假設 orbf2n0（fnX，2n0（X））以1（1）→4（2）→2（2）→3（2）→ 1（1）→ … 為周期節(jié)無限地鏈接下去。則從 fnX，2n0（X）項開始（令 m ＝nX，2n0）有：

1（1）fm（X）＜fm+2·2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）；

4（2）fm+4·2n0（X）＜fm+2n0（X）＜fm+3·2n0（X）＜fm+2n0（X）。

故存在 y1∈ （fm+2·2n0（X），fm+2n0（X）），使得：f2n0（y1）＝y(tǒng)1，又由于

故存在 y2∈ （fm（X），fm+2·2n0（X）），使得：f2·2n0（y2）＝y(tǒng)2，又 PP（f）以2n0為上界，故有：f2n0（y2）＝y(tǒng)2，從而 y1，y2為 f2n0的不動點?？紤]：fm（X）＜y2＜fm+2·2n0（X）＜y1＜fm+2n0（X），根據(jù)引理 1，f2n0在 I上具有非2方冪的周期點，故f在I上也有非2方冪的周期點，從而PP（f）無上界。這與假設矛盾。故假設不成立，即在定理1的條件下，PP（f）無上界。證畢。

根據(jù)定理1，結合引理2，我們可以從另一個角度簡化Li-Yorke混沌定義：

推論1 定義1與定義2等價。

證明：由引理2，我們知線段I上的混沌映射f的周期點集PP（f）不是閉的，再由定理1，我們知PP（f）無上界，所以，定義1的條件（A）：PP（f）無上界可以略去，即定義1與定義2等價。證畢。