一類非緊集的拓撲壓的變分原理

王 威

（南京審計大學(xué) 金審學(xué)院基礎(chǔ)部，南京 210023）

0 引 言

設(shè)M（X）是X上所有的Borel概率測度集。M（X，T）?M（T）是所有T-不變的概率測度集。設(shè)Z?X為T-不變集。E（X，T）? M（X，T）為遍歷測度集，且滿足 μ（Z）＝1，?μ∈ E（X，T），對于 x∈ X，定義概率測度

εn（x）的極限點集用 V（x）表示，則 V（x）? M（X，T）。

非緊集合的拓撲壓的變分原理：若V（x）∩E（Z，T）≠?，?x∈Z，則對任意實值連續(xù)函數(shù)φ：X→R，有

若φ＝0，即為非緊集的拓撲熵的變分原理。若Z為緊致集合，則與經(jīng)典變分原理一致。對于非可加的情況Falconer［1］在混合排斥子上建立了次可加的變分原理，Barreira［2］介紹了緊致度量空間的任意非可加的變分原理，這個變分原理推廣了Pesin和Pitskel［3］在可加條件下關(guān)于非緊集合的變分原理。Murmmert［4］給出了幾乎可加的變分原理，曹永羅等人［5］定義了次可加序列拓撲壓，并建立了不在任何假定可加條件下的變分原理。2009年和2012年豐德軍和黃文［6-7］定義了極限次可加函數(shù)并且給出了極限次可加函數(shù)序列下熵的變分原理，2013年曹永羅［8］等給出不可加性質(zhì)下壓的應(yīng)用。豐德軍和黃文此后討論了加權(quán)壓的遍分原理［9］，近年amenable群上的通游點的拓撲壓的遍分原理也得到了證明［10］。由此想到是不是在這種特殊的非緊集合上它的壓的變分原理也成立，本文就在此基礎(chǔ)上進行了研究。

1 預(yù)備知識

定義1設(shè) （X，T）是 TDS，F(xiàn)＝｛fn｝∞n＝1是定義在X上一列連續(xù)實函數(shù)。設(shè)U是X的有限開覆蓋定義

給定A∈Wn( T，U)且A≠ ?，集合mT(A)＝n，F(xiàn)T(A)＝(x)。若 A＝?，則 mT(A) ＝0，F(xiàn)T(A) ＝-∞對每個集合Z∈X和每個實數(shù)s，定義

其中 PZ（T，U，n）是所有有限或可數(shù)的覆蓋 Z的 Γ的集合，且 Γ?∪k≥nWk（T，U），很顯然 MZ（T，s，F(xiàn)，U，n）是關(guān)于n的單調(diào)遞增函數(shù)，設(shè)

更進一步，定義：

若 X的開覆蓋 U，V，且 U≥ V，則 PZ（T，F(xiàn)，U）≥ PZ（T，F(xiàn)，V）。

記

稱PZ（T，F(xiàn)）為F在集合Z上的關(guān)于T的拓撲壓，其中定義中的Z不必是緊的或是不變的。

定義2設(shè) （X，T）是 TDS，F(xiàn)＝｛fn∈C（X，R）∞。稱 F是次可加的，如果對任意 n，m∈N和 x∈X，有 fn+m（x）≤ fn（x）+fm（Tnx）。

定義3 設(shè) （X，T）是 TDS，F(xiàn)∈ C（X，R）∞。我們稱 F是極限次可加的，如果 ［F］∈ Ψs（X，R，T）。

注1由定義3容易驗證，F(xiàn)相對于T是極限次可加的，當且僅當存在 ｛Fi｝? C（X，R，T）∞s，使得

定義4設(shè) （X，T）是 TDS，F(xiàn)＝｛fn｝∈ C（X，R）∞，則 F上的上 Lyapunov指數(shù) λF（x）定義為：

函數(shù)列 F誘導(dǎo)出映射F*：M（X，T）→R∪｛±∞｝定義為：

定義

更進一步，對任意的α∈R，定義：

本文主要研究集合 EF（α）上拓撲壓 PEF（α）（T，α）。

2 主要定理及證明

定理1 （非緊壓的變分原理）設(shè) （X，T）是TDS，F(xiàn)＝｛fn｝∞n＝1是 （X，T）上的極限次可加連續(xù)函數(shù)列，φ∈ C（X，R），則

（1）若 μ∈Me（X，T）且F*(μ)＝α，則

要證明定理1需要以下幾個引理和命題。

對h≥0，考慮集合

引理 1［9］對于 h≥ 0，有

設(shè) （X，T）是 TDS，u＝｛u1，u2，…，ur｝∈，ε＞0，m∈ N，記

引理2［9］設(shè)x∈X，μ∈V（x），u是X的有限開覆蓋，對于ε＞0，存在實數(shù)m＞0和充分大的數(shù)n，使得 L＞n，t∈ ｛1，2，…，r｝L，滿足：

(2) SLφ（u）≤ L(∫φd u+r(u)+ε)；

(3) t包含一個長度為—t ＝Km＞L-m的子鏈—a，即a＝(a0，a1，…，aK-1) ∈（u），滿足：

引理 3［6］若定義，則

（1）（F）∈ R∪ ｛-∞｝；

（3）下列條件等價

（b）λF()x ＝-∞對 ?x∈ X，

（c）F*（μ）＝-∞對?μ∈M X，()T，

（d）PXT，()F＝-∞；

引理 4［6］設(shè) （X，T）是 TDS，F(xiàn)＝｛fn｝是定義在 （X，T）上的極限次可加函數(shù)列。假設(shè) ｛νn｝∈M()X 。令構(gòu)造一個新列 ｛μn｝∞n＝1。假設(shè)在 M()X 中，當 ni→+∞時，μni→ μ，則 μ∈M X，()T，而且

引理 5［6］設(shè) （X，T）是 TDS，F(xiàn)＝｛fn｝是定義在（X，T）上的極限次可加連續(xù)函數(shù)列，則

（1）對于μ∈M X，()T；

（2）F*：M X，()T→R∪｛-∞｝是上半連續(xù)的，并且存在C∈R，對所有的μ∈M X，()T，使得F*()μ≤C；

（3）設(shè) μ＝∫Ωθd m（θ）是μ∈M X，()T的遍歷分解，則

（4）對μ∈M X，()T，μ-a．e x∈X，λF()x存在，并且存在C＞0，使得λF()x≤C和F*()μ＝。特別地，當μ∈MeX，()T時，對，μ-a．e x∈X，有λF()x＝F*()μ。

命題 1［3］設(shè) （X，T）是 TDS，Z∈ X是 T-不變集，對任意的 x∈ Z，V（x）∩ M（Z）≠ φ，且 μ（Z）＝1，φ∈C X，()R有

命題2 設(shè) （X，T）是 TDS，F(xiàn)＝｛fn｝∞n＝1是定義在（X，T）上的極限次可加連續(xù)函數(shù)列，φ∈C X，()R，若＝α，則

證明首先證明

只須證明

設(shè)μ∈M（X，T），且F*()μ＝α，μ＝F*()θd m()θ為μ的遍歷分解。由引理5（3）知α＝F*()μ＝＝1其中 Ω ＝｛θ∈Me( X，T)：F*(θ)＝α｝。所以

所以

相反的不等式顯然成立。所以命題中等式成立。

所以有

所以結(jié)論顯然成立。

假設(shè)C＜+∞，否則，若C＝+∞，則命題顯然成立。

設(shè)u＝｛u1，u2，…，ur｝∈，ε＞0，對于x∈EF()α，μ∈V（x），存在ni→+∞，使得

又由引理3（2）知α＝F*()μ，所以

由引理 2知，存在一個數(shù) m ＞0和 n＞0，滿足：（1），（2），（3）。

用Km表示集合｛x：x∈EF()α｝，使得對任意的n＞0，有L＞n，t∈｛1，2，…，r｝L，滿足：

(1)mx∈T-iut(i) ；

(2)mSLφ（—u）≤L(∫φd u+r(u)+ε)；

(3)mt包含一個長度為—t＝Km＞L-m的子鏈—a，即a＝(a0，a1，…，aK-1) ∈（u），滿足：

顯然可知 Km＝EF(α)。

用Km，l表示集合x∈Km，使得對某一 μ∈M( X，T)，滿足：(1)m，(2)m，(3)m且φdμ∈ ［l-ε，l+ε］，對于 x∈ Km，l，則

選取 λ＞C+4ε+r()u ，固定 m，l，對 L≥1，設(shè) Sm，l，L表示所有 t∈ ｛1，2，…，r｝L的集合，使得存在 x∈Km，l，滿足：（1）m，（2）m，（3）m。對t∈Sm，l，L，相應(yīng)的子鏈a—包含在R（K，m（C-l+2ε），Em（u）中。其中L≥mK≥L-m，所以

由引理1，可得：

設(shè)L0≥N，因為∈ ΓK，l（T，U，L0）（其中 ΓK，l（T，U，L0）為 Km，l的覆蓋）。

所以有

其中 β＝eC-λ+4ε+r（u）＜1。

當 L0充分大時，MKm，l( T，λ，φ，U)＝0。所以對 ?m，lλ≥PKm，l( T，φ，U)都成立。所以

進而有 C+4ε+r（u）≥ PEF（α）（T，φ，U）。

令 r(u)→ 0，ε→ 0，l→ 0，則有 C≥ PEF（α）（T，φ，U）。即

定理1的證明

證明

（1）設(shè) μ∈Me（X，T），且F*(μ)＝α，由引理5的（4）知，對 μ-a．e，x∈X有F*(μ)＝λF(x)，所以μ( EF(α) ) ＝1。又

由命題1知PEF()α（T，φ）≥hμ（T）+∫EF()αφdμ。

3 定理的推論及應(yīng)用

則

應(yīng)用前面的結(jié)論，我們可以推得以下結(jié)論：

推論1 若 （X，T）是TDS，F(xiàn)＝是 （X，T）上的極限次可加連續(xù)函數(shù)列，φ∈C（X，R），α＝β_（F）

由BS-維數(shù)的定義可以推得以下的結(jié)論。

推論2 若 （X，d，T）滿足 g-幾乎乘積性質(zhì)，則

推論3 設(shè)Cr黎曼流形X是一個擴張的且拓撲混合的C1+δ共形映射T的排斥子， 則

Barreira和 Saussol在文獻［11］中證明了，若測度熵滿足上半連續(xù)條件，?，ψ有唯一的平衡態(tài)，則BS-維數(shù)也滿足推論1中的結(jié)論。