旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸系裝配體位置公差預(yù)測(cè)方法與優(yōu)化研究

閆清東， 陳修齊， 魏巍， 黃靜秋， 楊啟福

(1.北京理工大學(xué) 車輛傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100081；2.北京電動(dòng)車輛協(xié)同創(chuàng)新中心， 北京 100081；3.江麓機(jī)電集團(tuán)有限公司， 湖南 湘潭 411100)

0 引言

作為一種典型的旋轉(zhuǎn)機(jī)械，液力變矩器裝配體從定位基準(zhǔn)導(dǎo)輪軸端面到裝配體末端供油套之間，供油套的徑向圓跳動(dòng)作為液力變矩器末環(huán)裝配誤差，是檢驗(yàn)液力變矩器各零件綜合公差水平和整體加工水平的重要檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)。

一旦徑向圓跳動(dòng)出現(xiàn)不滿足設(shè)計(jì)要求的超差現(xiàn)象，會(huì)導(dǎo)致對(duì)供油套起密封作用的密封環(huán)發(fā)生磨損，嚴(yán)重時(shí)會(huì)導(dǎo)致供油套功能失效，從而造成液力變矩器閉鎖油泄漏，進(jìn)而影響液力元件性能，使得整車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)失效。而對(duì)某液力變矩器而言，盡管組成環(huán)各零件均滿足設(shè)計(jì)公差要求，但其裝配體累積到末端的徑向圓跳動(dòng)卻時(shí)有超差現(xiàn)象發(fā)生，其原因在于位置公差傳遞缺乏準(zhǔn)確的理論分析指導(dǎo)，對(duì)應(yīng)軸系各零件公差耦合傳遞機(jī)制不清晰。

為對(duì)裝配體公差帶進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)和描述，研究人員構(gòu)建了一系列理論模型：Requicha[1]提出以變動(dòng)簇為基礎(chǔ)的實(shí)體漂移法，通過以保持實(shí)體外形不變的拓?fù)渥儞Q，經(jīng)漂移形成的漂移帶即為公差帶。在此基礎(chǔ)上，張文祖等[2]完善了實(shí)體漂移理論，提出了漂移模型。Hillyard等[3]提出參數(shù)矢量化方法：將幾何實(shí)體視作參數(shù)化幾何框架，利用矢量位移表征公差大小；將尺寸信息作為固件框架，將尺寸公差視作在固件框架基礎(chǔ)上允許的微小變動(dòng)。Hoffmann[4]從三維歐式空間角度對(duì)公差帶進(jìn)行定義，將以點(diǎn)矢量為參數(shù)的公差函數(shù)施加上下界條件約束，表達(dá)為公差函數(shù)的形式。劉玉生[5]提出了基于自由度變動(dòng)的公差平面數(shù)學(xué)表示方法，研究不同類平面的尺寸公差約束形式，廣義地推導(dǎo)了尺寸公差數(shù)學(xué)模型。蔡敏[6]建立了圓柱要素形位公差的數(shù)學(xué)模型，將圖形與文字定義的公差嚴(yán)格表征為矢量方程的形式。黃德智[7]借助計(jì)算機(jī)輔助工具，在虛擬環(huán)境下實(shí)現(xiàn)裝配體公差的三維標(biāo)注，并采用了基于Halton序列的擬蒙特卡洛公差分析法，引入裝配成功率等概念對(duì)公差設(shè)計(jì)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。孟祥海等[8]運(yùn)用二維裝配偏差建模和三維尺寸鏈建模相結(jié)合的方法，分析了裝配體支點(diǎn)同心度的影響因素。

以上模型多數(shù)討論和分析了單個(gè)零件的公差綜合，在面對(duì)有多個(gè)配合面、多個(gè)約束條件的旋轉(zhuǎn)機(jī)械時(shí)，其公差理論模型的建立較為復(fù)雜，對(duì)應(yīng)其公差的傳遞機(jī)制不清晰，難以對(duì)其形位公差累積進(jìn)行有效的理論預(yù)測(cè)。

為此，本文提出一種預(yù)測(cè)累計(jì)到裝配鏈末端徑向圓跳動(dòng)值的變動(dòng)邊界圓法，預(yù)測(cè)徑向圓跳動(dòng)公差范圍，并通過蒙特卡洛公差分析全局優(yōu)化方法，根據(jù)所提出的公差傳遞模型對(duì)公差設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化。

1 基本假設(shè)與問題描述

1.1 基本假設(shè)

在描述旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸系裝配體徑向圓跳動(dòng)位置公差傳遞機(jī)制之前，先提出下列假設(shè)：

1)本模型分析裝配體徑向圓跳動(dòng)位置公差傳遞機(jī)制，將各環(huán)零件視為剛體。不考慮零件在力、熱或環(huán)境影響下的變形。

2)本文對(duì)誤差的計(jì)算處理基于蒙特卡洛公差分析法,認(rèn)為各零件(組成環(huán))的實(shí)際尺寸均符合正態(tài)分布規(guī)律。

1.2 問題描述

某型液力變矩器的供油套徑向圓跳動(dòng)值[9]定義為：裝配體末端供油套繞導(dǎo)輪軸端面軸線(見圖1)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),徑向測(cè)得的最大讀數(shù)與最小讀數(shù)之差。

但實(shí)測(cè)中大量樣本出現(xiàn)難以滿足設(shè)計(jì)值Δ=0.25 mm的現(xiàn)象(Δ>0.3 mm)，為能滿足設(shè)計(jì)要求，本文擬從累積精度角度解釋優(yōu)化的原理，并分析徑向圓跳動(dòng)形位公差裝配體傳遞機(jī)制。分析對(duì)象為某液力變矩器供油套的徑向圓跳動(dòng)，其徑向圓跳動(dòng)主要受其零件加工精度和裝配累積精度兩方面的影響。其裝配累積精度影響因素為： 1)軸線對(duì)基準(zhǔn)軸線的同軸度誤差；2)圓柱面的圓柱度誤差；3)各零件軸線相對(duì)于基準(zhǔn)軸線的偏角累積公差。

2 模型建立

2.1 整體模型

變動(dòng)邊界圓定義如下：在求徑向圓跳動(dòng)值過程中，若只考慮回轉(zhuǎn)體零件旋轉(zhuǎn)時(shí)與基準(zhǔn)軸線的最大距離與最小距離，可將其視為半徑為ρ的圓繞某點(diǎn)(偏心距為e)回轉(zhuǎn)。其最遠(yuǎn)距離用ρ+e表示，最近距離用ρ-e表示。

將徑向圓跳動(dòng)公差簡化為只與距回轉(zhuǎn)中心最大距離和最小距離有關(guān)，因此旋轉(zhuǎn)面的模型可以視為圓柱體模型。以基準(zhǔn)軸線為z軸，建立如圖2所示的柱體模型。

如圖2所示的實(shí)際軸線無傾角模型所示，供油套零件繞基準(zhǔn)軸線旋轉(zhuǎn)，如果其端面與基準(zhǔn)軸線的最遠(yuǎn)端距離為ρ1max、最近端距離為ρ1min，則其徑向圓跳動(dòng)公差可表示為

d1=ρ1max-ρ1min=2e.

(1)

但在工程實(shí)際中，還要考慮零件實(shí)際軸線相對(duì)于基準(zhǔn)軸線的傾角θ(見圖3)，此時(shí)端面與基準(zhǔn)軸線的最遠(yuǎn)端距離為ρ2max，最近端距離為ρ2min.

徑向圓跳動(dòng)公差可通過圓柱模型上的幾何關(guān)系(2)式、(3)式進(jìn)行計(jì)算：

(2)

(3)

故

(4)

(2)式～(4)式中，α與θ互余，在ρ確定的情況下，可由零件高度確定。ρ與e為水平面參數(shù)，可通過2.2節(jié)中的模型計(jì)算求出。

2.2 水平面參數(shù)傳遞模型

利用水平面參數(shù)ρ和e可以表征裝配環(huán)末端在其余i個(gè)裝配環(huán)約束下的最大邊界及其軸線相對(duì)于基準(zhǔn)軸線的同心度。根據(jù)參數(shù)ρ和e表示出的零件繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)極限距離ρmax與ρmin，可以得到徑向圓跳動(dòng)值。

裝配環(huán)的累積精度受各個(gè)裝配環(huán)平面參數(shù)的影響，可以用函數(shù)形式表示出第i個(gè)裝配環(huán)水平參數(shù)對(duì)裝配環(huán)末端的作用：

F(ρ,e)=f1(ρ1,e1,…,ρi,ei)+
f2(ρ2,e2,…,ρi-1,ei-1)，

(5)

式中：f1與f2分別為兩種作用類型不同的組成環(huán)與裝配環(huán)末端的函數(shù)關(guān)系。

2.2.1 第1類組成環(huán)作用機(jī)理

在同軸度作用下，位置誤差的傳遞過程可用一端的水平參數(shù)(ρA，eA)與另一端水平參數(shù)(ρB，eB)的關(guān)系來表示。

以A面、B面表示在同一個(gè)回轉(zhuǎn)體零件的上下端面(見圖4)，B端面相對(duì)于A端面同軸度公差值[9]為T，可以轉(zhuǎn)化為名義尺寸為0，公差為0.5T的線性尺寸0±0.5T的偏心距e′.

設(shè)A面水平參數(shù)ρA=ρ，eA=e，若不存在同軸度誤差，則B面水平參數(shù)應(yīng)與A面相同，即ρB=ρ，eB=e，徑向圓跳動(dòng)d=2e.

2.2.2 第2類組成環(huán)作用機(jī)理

在軸孔配合作用下，位置誤差的傳遞過程可用軸截面水平參數(shù)(ρB，eB)與孔截面水平參數(shù)(ρA，eA)的關(guān)系來表征。

設(shè)孔截面水平參數(shù)ρA=ρ，eA=e，若軸孔配合絕對(duì)平滑，不存在誤差，則軸截面的水平參數(shù)應(yīng)與孔截面相同，即ρB=ρ，eB=e，徑向圓跳動(dòng)d=2e.

由此，可將所有裝配環(huán)的約束按影響類型歸為第1類裝配環(huán)或第2類裝配環(huán)，復(fù)雜裝配體的累積精度可以簡化為以上兩種基本函數(shù)各自的累加和。

2.3 傾角參數(shù)傳遞模型

回轉(zhuǎn)體零件裝配方式為定心安裝，但由于加工表面存在著一定的端面圓跳動(dòng)，在裝配過程中會(huì)產(chǎn)生傾角的累加。其傳遞機(jī)制與水平參數(shù)基本相同，受單參數(shù)θ影響。類似地，其裝配環(huán)末端在其余i個(gè)裝配環(huán)Ai約束下的傾角累積程度可用函數(shù)形式表征。其傳遞模型示意圖如圖5所示。

F(θ)=f(θ1,θ2，…，θi).

(6)

3 模型計(jì)算

以某型液力變矩器為計(jì)算實(shí)例，建立傳遞函數(shù)模型，計(jì)算其平面參數(shù)，按照在傳遞過程中對(duì)裝配環(huán)末端的作用結(jié)果將裝配環(huán)分為第1類裝配環(huán)和第2類裝配環(huán)兩類，其極限狀態(tài)表達(dá)式以及對(duì)誤差傳遞的作用形式見第2節(jié)。

根據(jù)液力變矩器裝配關(guān)系和各零件間的軸孔配合形式，建立液力變矩器的嵌套模型，某型液力變矩器配合面如圖6所示。根據(jù)此模型可以表征出同一零件的上下兩個(gè)端面特征和各零件配合面之間存在的軸孔間隙。

3.1 模型分析

從圖6的模型可以直觀看出，在同軸度作用下，同一零件前后端面變動(dòng)邊界圓的偏心距e改變，而變動(dòng)邊界圓的半徑ρ不變。而在軸孔配合中，分屬相鄰兩個(gè)零件上同一端面的前后側(cè)變動(dòng)邊界線圓的半徑ρ改變，而變動(dòng)邊界圓的偏心距e不變。

在第1類組成環(huán)(相關(guān)參數(shù)見表1)作用下，變動(dòng)邊界圓偏心距e發(fā)生改變，而變動(dòng)邊界圓半徑ρ保持不變。下面列出模型中第1類裝配環(huán)相關(guān)參數(shù)。這里引入尺寸鏈傳遞系數(shù)Ci[9]，Ci表征各組組成環(huán)對(duì)封閉環(huán)的影響。當(dāng)Ci>0時(shí)該環(huán)為增環(huán)，當(dāng)Ci<0時(shí)該環(huán)為減環(huán)。

表1 第1類裝配環(huán)相關(guān)參數(shù)

(7)

式中：k0為封閉環(huán)相對(duì)分布系數(shù)；n為裝配環(huán)個(gè)數(shù)。

封閉環(huán)公差帶中心μ0為

(8)

式中：μi為各環(huán)組成環(huán)公差帶中心。

依據(jù)本文模型，第1類裝配環(huán)個(gè)數(shù)n=6，則第1類環(huán)累計(jì)公差帶寬Te為

(9)

下面列出第2類裝配環(huán)參數(shù)(見表2)。第2類裝配環(huán)影響變動(dòng)邊界圓的半徑，而變動(dòng)邊界圓偏心距保持不變。

表2 第2類裝配環(huán)相關(guān)參數(shù)

第2類環(huán)累計(jì)公差帶寬為

(10)

利用此模型和第2節(jié)中建立在此模型基礎(chǔ)上的計(jì)算方法，對(duì)液力變矩器末端的徑向圓跳動(dòng)變動(dòng)邊界線圓的參數(shù)(ρ，e)進(jìn)行計(jì)算，得到其水平變動(dòng)邊界圓參數(shù)為

ρ1max=μρ+μe.

(11)

下面考慮次要影響因素，工程中傾斜誤差較小，傾斜角可用其正切值表示。令回轉(zhuǎn)體零件第i環(huán)的端面圓跳動(dòng)為hi，第i環(huán)的直徑為Di，則該零件端面的正切值分別為

(12)

令各裝配環(huán)傾角值tanθi變化范圍為Tθi，則裝配環(huán)末端傾角值tanθ0變化范圍Tθ0可表示為

(13)

根據(jù)(4)式即可求出裝配末環(huán)累積公差變動(dòng)范圍。

3.2 蒙特卡洛法模擬計(jì)算

機(jī)械產(chǎn)品在大批量加工時(shí)，在加工過程穩(wěn)定、影響因素眾多且相互獨(dú)立的情況下，零件尺寸變動(dòng)將符合正態(tài)分布。基于這種裝配特性，可以采用蒙特卡洛法[10]模擬組成環(huán)實(shí)測(cè)尺寸值，對(duì)裝配環(huán)的累積精度進(jìn)行計(jì)算。

依據(jù)蒙特卡洛法，抽取符合各裝配環(huán)參數(shù)的各環(huán)誤差樣本2 000組，分別為{εj1，εj2，εj3，…，εj9}(其中j為樣本容量，εj1到εj9對(duì)應(yīng)第j組子樣本的裝配環(huán)誤差)，計(jì)算流程如圖7所示。

依據(jù)蒙特卡洛法模擬計(jì)算流程，得到2 000次蒙特卡洛抽樣下的樣本邊界圓范圍擬合曲線(見圖8)。

由高斯曲線擬合結(jié)果可知，水平邊界圓參數(shù)e=0.032 5,ρ=0.124.

將水平邊界圓范圍代入第2節(jié)模型中，得到徑向圓跳動(dòng)均值為0.328 mm，分布范圍在0.299～0.355 mm之間。與實(shí)測(cè)產(chǎn)品精度范圍(見圖9)相符合，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出設(shè)計(jì)要求0.25 mm.

4 優(yōu)化設(shè)計(jì)

當(dāng)前方案下，徑向圓跳動(dòng)值無法達(dá)到產(chǎn)品目標(biāo)精度要求，現(xiàn)以平均裝配精度和加工成本為目標(biāo)進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)。借助遺傳算法[11]，優(yōu)化變量為各裝配環(huán)尺寸公差的精度等級(jí)。

4.1 優(yōu)化目標(biāo)參數(shù)及適應(yīng)度表達(dá)

首先定義優(yōu)化模型中的平均裝配精度和加工成本，并建立精度優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)關(guān)系。其中：

零件加工成本可視為設(shè)計(jì)公差值T的函數(shù)，本裝配體加工成本的計(jì)算依據(jù)我國中型機(jī)械類企業(yè)在中等批量加工時(shí)，各種特征尺寸加工成本的先驗(yàn)公式[12]，代入裝配環(huán)各零部件的外圓及內(nèi)孔特征、平面尺寸、形狀特征及裝配可靠度。結(jié)合各裝配環(huán)具體公差等級(jí)，得到加工成本。

在這兩項(xiàng)目標(biāo)優(yōu)化中，每組方案的裝配累積精度的平均裝配精度可以通過蒙特卡洛法進(jìn)行模擬計(jì)算，加工成本C(T)可以通過每個(gè)裝配環(huán)公差T求得。

灰色關(guān)聯(lián)度[13]常用于分析系統(tǒng)動(dòng)態(tài)發(fā)展趨勢(shì)，根據(jù)灰色關(guān)聯(lián)法建立適應(yīng)度函數(shù),用灰色關(guān)聯(lián)度系數(shù)表征當(dāng)前方案與最優(yōu)方案的關(guān)聯(lián)程度，作為遺傳算法的適應(yīng)度。灰色關(guān)聯(lián)度的歸一變換及關(guān)聯(lián)度向量表達(dá)方式見文獻(xiàn)[13]。

式中：ωε、ωc為設(shè)計(jì)人員依據(jù)當(dāng)前產(chǎn)品的生產(chǎn)和使用指標(biāo)所得到的權(quán)重系數(shù)；Ti為各個(gè)裝配環(huán)的公差等級(jí)；Tc為裝配體累積精度，需滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)0.25 mm要求。

4.2 遺傳算法公差優(yōu)化

遺傳算法公差優(yōu)化流程如圖10所示。

根據(jù)上述模型，選取不同公差等級(jí)組合方案，對(duì)該型液力變矩器各零件裝配環(huán)進(jìn)行優(yōu)化。遺傳算法參數(shù)如下：初始種群規(guī)模100，交叉概率0.8，變異概率0.05.

4.3 裝配驗(yàn)證

研究清楚徑向圓跳動(dòng)值超差的作用機(jī)理后，基于徑向圓跳動(dòng)形位公差傳遞模型，采用遺傳算法優(yōu)化得到的最優(yōu)方案，對(duì)變矩器零件的公差等級(jí)進(jìn)行改進(jìn)。

完成各零件公差等級(jí)調(diào)整優(yōu)化后，對(duì)一批變矩器進(jìn)行重新整裝，并對(duì)這一批次(共29臺(tái))樣機(jī)的徑向圓跳動(dòng)值進(jìn)行測(cè)量。測(cè)量結(jié)果表明：優(yōu)化改進(jìn)后的樣件末端徑向圓跳動(dòng)值分布于(0.20 mm,0.27 mm)之間(見圖11)，實(shí)測(cè)數(shù)值滿足了設(shè)計(jì)要求。

用高斯擬合曲線對(duì)比優(yōu)化前后實(shí)測(cè)值的分布范圍，如圖12所示。

由圖12可知，優(yōu)化前徑向圓跳動(dòng)平均值較大，分布范圍較寬，基于徑向圓跳動(dòng)形位公差傳遞模型優(yōu)化后的徑向圓跳動(dòng)平均值更小，分布范圍更小，且能符合實(shí)際工程要求。

表3 最優(yōu)方案的具體參數(shù)

5 結(jié)論

在旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸系裝配體當(dāng)中，配合面是多種誤差傳遞的媒介。多種類型誤差通過配合面耦合之后，傳遞的機(jī)制較為復(fù)雜。本文結(jié)合旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸系裝配體幾何特征，以液力變矩器為實(shí)例，提出了徑向圓跳動(dòng)位置公差的分析模型?？紤]不同類型誤差對(duì)累積精度的作用不同，拓展蒙特卡洛模擬法，建立了徑向圓跳動(dòng)位置公差累積精度計(jì)算模型。通過多組試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析，得出以下主要結(jié)論：

1) 多零件裝配的旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸系裝配體徑向圓跳動(dòng)位置誤差是可預(yù)測(cè)的，且符合一定的分布規(guī)律；本文所提變動(dòng)邊界圓方法和徑向圓跳動(dòng)形位公差裝配體傳遞模型為誤差分析奠定了基礎(chǔ)。結(jié)合蒙特卡洛法擬合出徑向圓跳動(dòng)公差均值及其分布規(guī)律，與產(chǎn)品實(shí)際測(cè)量值相符合。

2) 采用遺傳算法對(duì)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸系裝配體位置公差優(yōu)化問題具有較高的適用性和計(jì)算精度。

3) 工程實(shí)例結(jié)果表明，本文所提的多目標(biāo)優(yōu)化模型用于指導(dǎo)圓跳動(dòng)公差設(shè)計(jì)具有可行性和實(shí)用性。依據(jù)本文提出的徑向圓跳動(dòng)形位公差裝配體傳遞模型，可對(duì)旋轉(zhuǎn)機(jī)械軸系裝配體設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化。