利用AM-GM不等式巧解2018課標(biāo)Ⅰ卷理第16及20題

福建省南平市高級(jí)中學(xué) (353000)

江智如 李壽濱

隨著2018年高考的結(jié)束，全國(guó)數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷也掀開了神秘的面紗．縱觀課標(biāo)Ⅰ文理全卷，試卷嚴(yán)格遵循考試大綱的要求，符合新課標(biāo)的課程理念，有效地將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)應(yīng)用高度融合，充分考查考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．試題結(jié)構(gòu)穩(wěn)中有變，難易適度，有較好的區(qū)分度，不僅有利于高校的人才選拔，又有利于高中數(shù)學(xué)教學(xué)與素質(zhì)教育的順利開展，有效促進(jìn)高中數(shù)學(xué)新課程改革的不斷深化和推進(jìn)．其中課標(biāo)Ⅰ卷理科第16與20題是三角與概率背景下的最值問(wèn)題，讓人眼前一亮，切入點(diǎn)多，可利用多種方法進(jìn)行求解，本文探討利用AM-GM不等式進(jìn)行求解．

1.AM-GM不等式

在人教A版的必修五中介紹二元的AM-GM不等式，然后在選修4-5中進(jìn)一步推廣到n元形式的AM-GM不等式，即：

對(duì)于n個(gè)正數(shù)ak,k∈*且k≤n，則有當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)，等號(hào)成立．記憶口訣為：“一正，二定，三等號(hào)”．

2.試題呈現(xiàn)

題1 (2018年課標(biāo)卷Ⅰ理16)已知函數(shù)f(x)=2sinx+sin2x，則f(x)的最小值是．

評(píng)析：試題以考生熟悉的三角函數(shù)入手，呈現(xiàn)方式也是考生所熟悉．考生比較容易考慮利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，但計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜，需要考生具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)與運(yùn)算能力．而根據(jù)AM-GM不等式的特點(diǎn)，把f(x)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，可快速解答，體現(xiàn)區(qū)分度，考查考生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的基本能力，體現(xiàn)中學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的本質(zhì)，促進(jìn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高．

題2 (2018年課標(biāo)卷Ⅰ理20)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件．每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢查．如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0

(Ⅰ)記20件產(chǎn)品恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0；

(Ⅱ)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(Ⅰ)中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格產(chǎn)品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．

(ⅰ)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；

(ⅱ)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？

(ⅱ)若繼續(xù)對(duì)余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，則檢驗(yàn)費(fèi)用為2×200=400

評(píng)析：本試題考查二項(xiàng)分布的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想和方法．第(Ⅰ)問(wèn)根據(jù)二項(xiàng)分布的定義,容易得到f(p)，考生可以利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法進(jìn)行求解，很好地考查考生的數(shù)據(jù)處理與分析、應(yīng)用能力；此時(shí)若考慮從AM-GM不等式入手，可以減輕考生的計(jì)算負(fù)擔(dān)，提高作答的時(shí)效性與準(zhǔn)確性，有助于考生在緊張的考試中正常發(fā)揮，并能提高考生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

3.解題感悟

AM-GM不等式是高中階段重要的不等式之一，在日常的學(xué)習(xí)過(guò)程中，可引導(dǎo)學(xué)生從不等式的“形”方面入手，也就是“一正，二定，三等號(hào)”，然后根據(jù)已知條件進(jìn)行應(yīng)用，解決問(wèn)題．能有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，實(shí)現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)目的，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高．