三大數(shù)學(xué)思想妙解三角題

福建省莆田第二中學(xué) (351131)

蔡海濤

我們知道，三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要模塊，也是每年高考必考的問(wèn)題.教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生解決不了一些并不復(fù)雜甚至是簡(jiǎn)單的三角問(wèn)題，認(rèn)真分析其原因，基本上是因?yàn)檫@些學(xué)生無(wú)法在思想的高度上來(lái)引領(lǐng)方法，或是因?yàn)樗枷敕椒ú幻鞔_而導(dǎo)致不懂得如何來(lái)解題.所以，筆者從思想方法的角度來(lái)談?wù)勅墙忸}的些許感悟，與各位同仁分享，不當(dāng)之處請(qǐng)多指正.

一、函數(shù)與方程思想

ωx+φ0π2π3π22πxπ35π6Asin(ωx+φ)05-50

(Ⅰ)請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫(xiě)在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫(xiě)出函數(shù)f(x)的解析式；

分析：第(Ⅰ)步中補(bǔ)充數(shù)據(jù)的難點(diǎn)在第一行數(shù)據(jù)的填寫(xiě)，很多學(xué)生的思路是從用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)圖像這個(gè)角度來(lái)考慮，先利用周期性求ω的值，再確定φ的值.其實(shí)本題也可以利用函數(shù)與方程的思想，利用已知條件求解含ω和φ的方程組來(lái)處理.

評(píng)析：方程思想是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為方程，然后通過(guò)研究方程使問(wèn)題獲解，第(Ⅰ)步的關(guān)鍵是確定ω和φ的值，可以利用方程的思想來(lái)處理.

例2 已知函數(shù)y=sinx+2cosx在x=θ取得最大值，則tanθ=.

評(píng)析：三角函數(shù)是初等函數(shù)的一種，因此它具有函數(shù)的一般性質(zhì)和解題規(guī)律，對(duì)于函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的處理，導(dǎo)數(shù)是個(gè)有力的工具.

二、整體思想

在講解例3后，教師提出如下問(wèn)題：

評(píng)析：為了更好地運(yùn)用整體思想，換元是條不錯(cuò)的途徑，可以把已知角“強(qiáng)行”化為單角，更清楚地發(fā)現(xiàn)待求角與已知角的關(guān)系.在給值求值,通過(guò)尋找待求角與已知角關(guān)系的問(wèn)題均可用這種方法進(jìn)行求解.整體思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用是十分廣泛的，研究形如函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像與性質(zhì)時(shí)，亦可用整體思想，把ωx+φ看做一個(gè)整體來(lái)進(jìn)行處理.

三、化歸與轉(zhuǎn)化思想

評(píng)析：方法1轉(zhuǎn)化的思路是從“角”入手，把復(fù)角2α、2β轉(zhuǎn)化為單角α、β，然后再進(jìn)行化簡(jiǎn)；方法2轉(zhuǎn)化的思路是從“名”入手，第一步把cosα化為sinα，從而使得前兩項(xiàng)含角α的三角函數(shù)同名，達(dá)到化簡(jiǎn)的目的；方法3轉(zhuǎn)化的思路是從“冪”入手，化二次為一次，從而得到化簡(jiǎn)；方法4轉(zhuǎn)化的思路是從“形”入手，先對(duì)二次項(xiàng)進(jìn)行配方，使得結(jié)構(gòu)形式比較簡(jiǎn)潔，得到化簡(jiǎn)的入手途徑.

由于三角公式多，方法靈活多變，很多學(xué)生對(duì)一些三角恒等變換問(wèn)題往往不知從何入手.化歸與轉(zhuǎn)化的思想是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)借助數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，未知問(wèn)題已知化，進(jìn)而達(dá)到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的目的.所以，讓學(xué)生掌握化歸與轉(zhuǎn)化思想，遵循一些規(guī)則，就不難解決問(wèn)題了.事實(shí)上，從“角”、“名”、“冪”、“形”四種方向入手就是對(duì)三角恒等變換，化簡(jiǎn)求值常用的轉(zhuǎn)化手段.