推進(jìn)“讓學(xué)引思”，構(gòu)建“生長(zhǎng)型”課堂
——“直線與圓的綜合應(yīng)用”教學(xué)實(shí)錄

江蘇省鹽城市龍岡中學(xué) (224011)

張曉芹 陳建權(quán)

目前,新課程背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)改革已進(jìn)入關(guān)鍵時(shí)刻，新一輪教學(xué)改革理念的落實(shí)，最終還要依賴每一位教師的學(xué)科教學(xué).課堂既是學(xué)生的主戰(zhàn)地，亦是教師授課的主戰(zhàn)場(chǎng).課堂教學(xué)中，教師希望學(xué)生能夠全面掌握課堂設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容、方法，并解決相關(guān)的問(wèn)題，提升個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力.然而，目前填鴨式的講解不僅難以達(dá)到預(yù)期效果，且會(huì)打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.在此背景下，我校積極倡導(dǎo)“讓學(xué)引思”理念，并以此構(gòu)建“生長(zhǎng)型”課堂：讓學(xué)生質(zhì)疑解惑，引發(fā)其深度思考；讓學(xué)生合作探究，引領(lǐng)其優(yōu)化學(xué)習(xí)方法；讓學(xué)生展示分享，引領(lǐng)其投入學(xué)習(xí)活動(dòng)；讓學(xué)生科學(xué)訓(xùn)練，引導(dǎo)其自測(cè)學(xué)習(xí)效果；讓學(xué)生歸納整理，引導(dǎo)其完善知識(shí)結(jié)構(gòu)；讓學(xué)生遷移拓展，引導(dǎo)其學(xué)會(huì)解決問(wèn)題；讓學(xué)生主動(dòng)交流，引領(lǐng)其提高思維層次.基于此教學(xué)理念，筆者于2017年12月6日在高三年級(jí)一輪復(fù)習(xí)中開(kāi)設(shè)了一節(jié)“直線與圓的綜合應(yīng)用”的市級(jí)研討課，自覺(jué)將“讓學(xué)引思”的理念與教學(xué)實(shí)踐有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生成為課堂學(xué)習(xí)的主角，培養(yǎng)其思辨能力.本節(jié)課的教學(xué)實(shí)錄如下：

教學(xué)實(shí)錄

一、考綱解讀(幻燈片)

高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)解題方法難度系數(shù)2013:第17題(14分)圓的切線及圓與圓的位置關(guān)系應(yīng)用數(shù)學(xué)運(yùn)算直接計(jì)算0.4952014:第9題(5分)求弦長(zhǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算直接計(jì)算0.822014:第18題(16分)直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)形結(jié)合0.352015:第10題(5分)直線與圓相切問(wèn)題數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)結(jié)合0.802016:第18題(16分)圓的方程,直線與圓相交問(wèn)題數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)結(jié)合0.462017:第13題(5分)圓的方程、圓與圓的位置關(guān)系數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)結(jié)合中等

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)表格展示直線與圓的考試內(nèi)容以及題型、題號(hào)，讓學(xué)生初步感受本節(jié)課的重要性，把握學(xué)習(xí)內(nèi)容重點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.

二、知識(shí)梳理(幻燈片)

設(shè)直線的一般方程：Ax+By+C=0；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.

直線與圓的位置關(guān)系相交相切相離圖形公共點(diǎn)個(gè)數(shù)個(gè)個(gè)個(gè)幾何法:圓心到直線的距離d=|Aa+Bb+C|A2+B2研究d與r的關(guān)系drdrdr代數(shù)法:聯(lián)立方程Ax+By+C=0(x-a)2+(y-b)2=r2 研究方程組解的情況Δ0Δ0Δ0

設(shè)計(jì)意圖：這部分內(nèi)容主要結(jié)合幻燈片，對(duì)照?qǐng)D形，以填空的形式，由同學(xué)們集體回答.喚起學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系知識(shí)的回憶，強(qiáng)調(diào)判定直線與圓位置關(guān)系的兩種方法：幾何法與代數(shù)法，滲透數(shù)形結(jié)合思想.

三、基礎(chǔ)訓(xùn)練

2.已知點(diǎn)M(3,1)及圓(x-1)2+(y-2)2=4，則過(guò)M點(diǎn)的圓的切線方程為.

3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線x+2y-3=0被圓(x-2)2+(y+1)2=4截得的弦長(zhǎng)為.

4.已知直線l:2mx-y-8m-3=0和圓C:x2+y2-6x+12y+20=0相交于A,B兩點(diǎn)，則當(dāng)線段AB最短時(shí)直線l的方程為.

這幾道習(xí)題難度不大，由學(xué)生課前完成.批閱后，發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤率較高的有2、4、5題.筆者讓學(xué)生先互相討論，糾正錯(cuò)誤，再找做錯(cuò)的同學(xué)剖析錯(cuò)誤.

師：對(duì)比1，2題，大家對(duì)求圓的切線方程有怎樣的認(rèn)識(shí)？

生1：在求切線方程時(shí)，要考慮切線的斜率是否存在，再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求斜率.

師：很好.第1題圓的切線方程有一個(gè)，而第2題卻有兩個(gè)，為什么？

生1：第1題點(diǎn)在圓上，而第2題點(diǎn)在圓外.

師(贊許地點(diǎn)了點(diǎn)頭)：對(duì).因此，在求圓的切線方程時(shí)，首先注意什么？

生1：先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

師：如果點(diǎn)在圓上，除了用圓心到直線的距離等于半徑的方法求圓的切線方程，還有其他辦法嗎？(學(xué)生1表現(xiàn)出茫然的神色)

師：請(qǐng)你想想，直線與圓相切有怎樣的幾何性質(zhì)？

生1(思索了片刻)：過(guò)圓心、切點(diǎn)的連線與切線垂直.所以可以先求出圓心與切點(diǎn)連線的斜率，從而得到切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程.

師：非常好.(教者在黑板上板書(shū)求圓的切線方程的步驟，即先判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.若點(diǎn)在圓上，切線只有一條.若點(diǎn)在圓外，切線有兩條.設(shè)點(diǎn)斜式直線方程時(shí)要注意討論斜率是否存在.)

師：第3題，你是如何求弦長(zhǎng)的？

師(環(huán)視了下同學(xué)們)：非常好，一定要求出交點(diǎn)坐標(biāo)嗎？

|x1-x2|.

(教者將三種求圓的弦長(zhǎng)的方法進(jìn)行板書(shū).)

師：在這三種方法中，大家要根據(jù)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)倪x擇.下面我們來(lái)探討一下第4題用哪種方法好呢？

(學(xué)生4的方法是按照求弦長(zhǎng)公式做的，思路清晰，但計(jì)算量較大.有些學(xué)生很佩服學(xué)生4，也有的學(xué)生認(rèn)為這種方法太繁瑣了.)

生5(迫不及待的站起來(lái))：老師，我有簡(jiǎn)單的方法.

師：兩個(gè)學(xué)生的做法都很好，學(xué)生4的基礎(chǔ)知識(shí)掌握的非常扎實(shí)，計(jì)算能力也很強(qiáng).學(xué)生5對(duì)圓的幾何性質(zhì)挖掘的很到位.大家給兩位同學(xué)鼓掌！

師：作業(yè)的第5題錯(cuò)誤率較高，下面我們請(qǐng)學(xué)生6給大家講解一下！(學(xué)生一邊敘述，我在黑板上一邊書(shū)寫(xiě)，將整個(gè)解題過(guò)程清晰地呈現(xiàn)給大家.)

師：很好！這兩位同學(xué)再次從代數(shù)和幾何的角度分析了此題.通過(guò)這幾題的分析，相信大家對(duì)直線與圓的相切、相交問(wèn)題有了更深刻的認(rèn)識(shí).

設(shè)計(jì)意圖：這是高三一輪復(fù)習(xí)課，學(xué)生對(duì)直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)內(nèi)容有一定的認(rèn)識(shí)，能夠解決基礎(chǔ)問(wèn)題.但在解決具體問(wèn)題時(shí)，卻存在不少缺陷.如第2題不考慮斜率不存在的情形，第4、5題運(yùn)用代數(shù)法解題時(shí)計(jì)算出錯(cuò)等.課堂上學(xué)生通過(guò)自查自糾，可提高自己的綜合分析能力.

四、典例研習(xí)

(這兩道題比較簡(jiǎn)單，采用投影的方式進(jìn)行點(diǎn)評(píng).)

設(shè)計(jì)意圖：第(1)題鞏固求弦長(zhǎng)的方法；第(2)題讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線l與OP垂直，為變式做好鋪墊.

師：要想求出直線l的方程，還需要什么條件？

生(齊聲)：斜率或者另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

師：非常好.下面就請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立思考，再和小組成員交流，最好把關(guān)鍵步驟寫(xiě)在紙上方便交流.

(七八分鐘后)師：哪位同學(xué)來(lái)和大家分享一下.

生8：(邊投影邊闡述)設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+1)+2.聯(lián)立圓的方程x2+y2=8，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程(1+k2)x2+(2k2+4k)x+k2+4k-4=0.設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)韋達(dá)定理，得x1+x2=

師：非常棒！這位同學(xué)思維敏捷，計(jì)算能力也很強(qiáng)，能在這么短的時(shí)間得到x1,x2的關(guān)系.有無(wú)漏洞？

生8：(有點(diǎn)羞澀)忘記討論斜率不存在的情況了.

師：下次注意??！還有其它方法嗎？

(同學(xué)們互相看了看，交流了一會(huì)兒)

師：這一思路也很清晰.設(shè)點(diǎn)和設(shè)斜率的方法都是常用的方法，不僅用于直線與圓相交的問(wèn)題，在直線與橢圓等二次曲線相交的問(wèn)題中都經(jīng)常會(huì)用到，希望大家掌握.還有其他方法嗎？

師：太棒了！大家對(duì)比三種做法，覺(jué)得哪種計(jì)算量小些呢？

生：第三種！(學(xué)生們齊呼，表示驚訝.)

師：如果點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)呢？以上三種方法還適用嗎?

生(齊答)：適用.

師：還有沒(méi)有其他方法呢？若點(diǎn)P在圓內(nèi)，線段APB是圓的一條弦.若點(diǎn)P在圓外，線段PAB是圓的一條…(故作停頓，給學(xué)生思考的時(shí)間)

生：割線.

師：對(duì)的.初中我們學(xué)過(guò)關(guān)于割線的什么性質(zhì)？該性質(zhì)能否幫助我們解題呢？大家考慮一下！

(學(xué)生經(jīng)過(guò)提示，開(kāi)始了熱烈的小組討論，四五分鐘后基本上就安靜下來(lái)了)

圖1

師：解釋的太棒了，鼓掌送給他！通過(guò)上述問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn)恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用圓的幾何性質(zhì)可簡(jiǎn)化計(jì)算.在求弦長(zhǎng)問(wèn)題中，我們根據(jù)垂徑定理，構(gòu)建了直角三角形.兩個(gè)變式中，我們?nèi)钥梢詷?gòu)建直角三角形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問(wèn)題.希望大家遇到直線與圓相交的問(wèn)題時(shí)，能多運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)幫助解題.

設(shè)計(jì)意圖：該例題重在研究直線與圓相交問(wèn)題，通過(guò)兩個(gè)變式、三種方法提高學(xué)生的思維水平.三種方法的對(duì)比，讓學(xué)生感受運(yùn)用圓的幾何性質(zhì)的優(yōu)勢(shì)，數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸思想得以滲透.

師：剛才我們研究了直線與圓相交的問(wèn)題,下面我們?cè)賮?lái)看一道直線與圓相切的問(wèn)題.

圖2

例2 已知圓M:(x-1)2+(y-1)2=4，直線l：x+y-6=0,A為直線l上一點(diǎn)．

(1)若AM⊥l，過(guò)A作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為P、Q,求∠PAQ的大??；

(2)若圓M上存在兩點(diǎn)B、C,使得∠BAC=60°，求點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍．

第(1)問(wèn)較簡(jiǎn)單，采用投影的方式進(jìn)行點(diǎn)評(píng).第(2)問(wèn)由于A、B、C三點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)，難度較大，只有個(gè)別學(xué)生能夠做對(duì).因此，筆者借助幾何畫(huà)板進(jìn)行說(shuō)明.

當(dāng)點(diǎn)A固定,B、C在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)直線AB、AC與圓相切時(shí)，∠BAC最大，見(jiàn)(圖2).若圓上存在B、C點(diǎn)使∠BAC=60°，則需兩切線的夾角大于等于60°.此時(shí)，問(wèn)題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為直線與圓相切問(wèn)題.

師：直線與圓相切，同學(xué)們有怎樣的思考？

生(齊答)：連結(jié)AM、MC、MB構(gòu)建直角三角形.

師：很好，大家試著寫(xiě)一寫(xiě).(教者巡查，并投影點(diǎn)評(píng)了一位學(xué)生的解答過(guò)程).

師：非常好.同學(xué)們不僅要理解題意，還要規(guī)范答題.此外，大家再回頭看一下我們的解題思路.同時(shí)考慮A、B、C三個(gè)動(dòng)點(diǎn)難度較大，我們將問(wèn)題進(jìn)行了分解.先把A點(diǎn)固定，只考慮B、C兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).此外，大家必須理解“存在”的意思，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線AB、AC與圓相切.因此，大家今后遇到較難的題目時(shí)，一定要學(xué)會(huì)將問(wèn)題分解轉(zhuǎn)化.下面再來(lái)看個(gè)變式.

圖3

變式在圖3中，過(guò)點(diǎn)A作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為N、T．

①求四邊形ATMN的面積的最小值；

②求四邊形ATMN的周長(zhǎng)的最小值．

師：大家和我一起來(lái)書(shū)寫(xiě)，好嗎？

師：在第(2)題直線與圓相切問(wèn)題中，我們?cè)俅螛?gòu)建了直角三角形.可見(jiàn)直角三角形在解決直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題中很重要，希望大家引起重視.

設(shè)計(jì)意圖：該例題重在研究直線與圓相切問(wèn)題.“三個(gè)動(dòng)點(diǎn)”、“存在”把學(xué)生帶入了困境.但是通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分解、轉(zhuǎn)化逐步使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明朗.讓學(xué)生再次感受數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸思想的重要性.

五、隨堂鞏固

2.已知圓O:x2+y2=1,圓M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圓M上存在點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,使得∠APB=60°,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

(隨堂鞏固的兩道題，請(qǐng)兩位同學(xué)板演，并進(jìn)行了點(diǎn)評(píng).)

設(shè)計(jì)意圖：兩道題目與本節(jié)的兩道例題相似.第1題側(cè)重直線與圓相交、相切時(shí)求弦長(zhǎng)、切線長(zhǎng)的計(jì)算問(wèn)題.第2題同例2，出現(xiàn)了“存在”二字，如何有效地將問(wèn)題轉(zhuǎn)化則是考查重點(diǎn).讓學(xué)生能夠?qū)W以致用，舉一反三是檢查課堂有效性的基本方法.學(xué)生板書(shū)不僅可以反映解題思路，還能達(dá)到規(guī)范答題的目的.

六、課堂總結(jié)

師：本堂課，大家有哪些收獲呢？

(師生簡(jiǎn)短的梳理、討論后，總結(jié)如下)：

(1)求弦長(zhǎng)公式的解法；

(2)求圓的切線方程；

(3)在直線與圓相交或相切問(wèn)題中，常常構(gòu)建直角三角形簡(jiǎn)化問(wèn)題；

(4)數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想.

師：讓我們用數(shù)學(xué)家華羅庚的名言來(lái)結(jié)束本堂課.研究科學(xué)最寶貴的精神之一，是創(chuàng)造的精神，是獨(dú)立開(kāi)辟荒原的精神.科學(xué)之所以得有今日，多半是得利于這樣的精神.在“山窮水盡疑無(wú)路”的時(shí)候，卓越的科學(xué)家往往是另辟蹊徑，創(chuàng)造出“柳暗花明又一村”的境界.

設(shè)計(jì)意圖：課堂教學(xué)不僅讓學(xué)生學(xué)習(xí)具體的知識(shí)，還要學(xué)習(xí)歸納解題的思想方法.

七、教學(xué)反思

本節(jié)課教者主要通過(guò)考綱解讀、知識(shí)梳理、基礎(chǔ)訓(xùn)練、典例研習(xí)、隨堂鞏固、課堂總結(jié)六個(gè)環(huán)節(jié)，緊緊圍繞直線與圓的相交、相切問(wèn)題展開(kāi).根據(jù)高三學(xué)生具備必有的基礎(chǔ)知識(shí)和一定的思考分析能力，筆者在教學(xué)中以知識(shí)為載體，創(chuàng)造性實(shí)施教學(xué)，重視學(xué)生的主體性，兼顧教師的主導(dǎo)作用，讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，充分實(shí)現(xiàn)了“讓學(xué)引思”的理念.口述、討論、投影、板演、幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)展示，形式多樣.學(xué)生們通過(guò)對(duì)典型問(wèn)題的挖掘探討、對(duì)比總結(jié)，不僅掌握了通過(guò)數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸等思想探求解決直線與圓問(wèn)題的一般方法，還提升了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思辨能力，教學(xué)效果良好.

(1)科學(xué)合理設(shè)計(jì)，凸顯教學(xué)本質(zhì)

應(yīng)試教育禁錮了傳統(tǒng)課堂教學(xué)的活力，出現(xiàn)了教師滿堂灌、學(xué)生參與少、課堂實(shí)踐弱、教師主導(dǎo)性有偏差等問(wèn)題，使得學(xué)生喪失了學(xué)習(xí)熱情，缺乏創(chuàng)新的能力和勇氣，淪為了考試機(jī)器.

教學(xué)是一個(gè)不斷突破自我、不斷質(zhì)疑和解決問(wèn)題的過(guò)程.教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)能體現(xiàn)教學(xué)本質(zhì)，適應(yīng)學(xué)生的思維水平.因此本節(jié)課中，筆者不論在問(wèn)題設(shè)置、互動(dòng)環(huán)節(jié)、還是例題展示等方面，既考慮到學(xué)生的實(shí)際思維能力和解題能力，又富有一定挑戰(zhàn)性，教學(xué)過(guò)程因此變得流暢、生動(dòng)、有趣，嚴(yán)謹(jǐn)又靈動(dòng)，符合認(rèn)知規(guī)律，達(dá)到了預(yù)期教學(xué)目的.

(2)以學(xué)生為主體，培養(yǎng)其思辨能力

思辨能力是現(xiàn)代課堂教學(xué)中的核心理念，而學(xué)生則是這一認(rèn)知活動(dòng)的主體.現(xiàn)有的課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)建立在學(xué)生合理的知識(shí)水平和思辨能力之上.這就要求教師了解學(xué)生已有的認(rèn)知水平，及時(shí)對(duì)教學(xué)手段和教學(xué)策略進(jìn)行科學(xué)化調(diào)整.在本課堂教學(xué)中，筆者通過(guò)設(shè)置考綱解讀、知識(shí)梳理、基礎(chǔ)訓(xùn)練、典型研習(xí)、隨堂鞏固等環(huán)節(jié)，明確闡釋出本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)，環(huán)環(huán)相扣、由淺入深，通過(guò)仔細(xì)觀察和科學(xué)引導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)了科學(xué)推理和演繹.筆者并非將知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單概念化，而是通過(guò)合理的問(wèn)答設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生將生澀的抽象概念變?yōu)榍袑?shí)的“直觀感悟”，實(shí)現(xiàn)了理論的科學(xué)化論證，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，全面提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)創(chuàng)新能力.