圓錐曲線題中的等角問題

山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 (252000)

張 鑫 于興江

新課標(biāo)全國Ⅰ卷的圓錐曲線部分難度變化不大，但穩(wěn)中有變.本文以文科卷第20題及理科卷第19題為例，利用幾何畫板探究了直線與圓錐曲線相交時(shí)的等角問題.

2018年全國高考(文)Ⅰ卷第20題：設(shè)拋物線C:y2=2x，點(diǎn)A(2,0),B(-2,0)，過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn).

(1)設(shè)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；

(2)證明：∠ABM=∠ABN.

(1)設(shè)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則∠OMA=∠OMB.

我們利用幾何畫板探究得到.

定理1 設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)，點(diǎn)A(m,0),B(-m,0),m>0,過點(diǎn)A的直線l與C交于M,N兩點(diǎn)，則∠ABM=∠ABN.

圖1

證明:當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，AB為MN的垂直平分線，所以∠ABM=∠ABN.當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x-m)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),則x1>0,x2>0.

綜上所述，∠ABM=∠ABN.

注：2018年全國Ⅰ卷文科卷第20題中，當(dāng)p=1,m=2時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)A的直線l與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)，則∠ABM=∠ABN.

圖2

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=0°.

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以∠OMA=∠OMB.

當(dāng)l與x軸既不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l方程為y=k(x-c)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),則-a

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,得

將y1=k(x1-c),y2=k(x2-c)及x1+x2,x1x2的表達(dá)式代入(1)式中分子，可得

綜上所述，OMA=∠OMB.

注：2018年全國Ⅰ卷理科卷第19題中，當(dāng)a2=2,b2=1時(shí)，經(jīng)過右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則∠OMA=∠OMB.

圖3

當(dāng)l與x軸重合時(shí)，∠OMA=∠OMB=180°.

當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MA=∠OMB.

當(dāng)l與x軸既不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k(x-c)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),則x1>a,x2>a.

將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立

將y1=k(x1-c),y2=k(x2-c)及x1+x2,

綜上所述，OMA=∠OMB.

圖4

本文以探究圓錐曲線中等角問題為例，力求培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)及探索新知能力.