葉擴(kuò)會 王景艷
(保山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 保山 678000)
數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中難度跨度大、 求和方法多并且知識綜合性強(qiáng)的重要內(nèi)容, 在解題的過程中, 需要靈活掌握各種求和方法, 既要掌握解題策略, 更要掌握各種求和方法的實用范圍。 下面我們針對裂項相消法來研究解題策略。
裂項相消法是數(shù)列求和的重要方法之一, 下面我們將研究如下兩個問題。
問題1:如何裂項,需要注意哪些事項?
問題2:如何相消,最后剩下哪些項?
裂項相消法實用范圍:若數(shù)列{an}具有特征
an=bn-bn+k或an=bn+k-bn,
求{an}的前n 項和,則選用裂項相消法。
在實際的應(yīng)用中,所給數(shù)列{an}并不具備特征an=bn-bn-k或an=bn+k-bn,經(jīng)驗告訴我們:一般地,一個數(shù)列的通項如果是一個分式, 即分母上含有n 的一個式子,則可用裂項相消法去求該數(shù)列的前n 項和。 如:
等等。 這些數(shù)列并不直接具備特征an=bn-bn+k或an=bn+k-bn,
這就要求我們進(jìn)行裂項,那么,如何進(jìn)行裂項,需要注意哪些事項?
裂項相消法解題策略:(1) 分母為兩項積的形式,如果分母不是,應(yīng)對分母進(jìn)行分解因式。 如
(2)認(rèn)準(zhǔn)分母湊分子,分子湊為分母之差,一般地為大減小,如:
分母分別為(2n-1)與(2n+1)兩項,因為(2n+1)-(2n-1)=2,故分子應(yīng)湊2,如
(3)將an裂為兩項之差。 如(2)中的
這里:
再如
由上式可知bn與bn+2相數(shù)差為2, 故前n 項和Sn中前面應(yīng)該剩兩項被減項b1,b2,后面剩兩項減項bn+2,bn+1,即
為了能更好的說明上述思想,我們給出如下例子:
例[2018 四川廣元一模] 已知正項數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足:
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)令
又an>0 知Sn=(n2+n)。
當(dāng)n=1 時,a1=S1=2;當(dāng)n ≥2 時,an=Sn-Sn-1=2n,綜上所述:an=2n,n ∈N*。
(2)對數(shù)列{bn}按照裂項相消法解題策略進(jìn)行變形得
由于分母(n+2)2-n2=4(n+1),故
顯然,數(shù)列Tn單調(diào)遞增,故當(dāng)n=1 時,Tn取最小值,且
本文研究了裂項相消法的解題策略, 從裂項相消法的實用范圍, 到如何裂項, 最后研究了相消后所剩下的項及項數(shù)。 使得裂項相消法的解題策略程序化,更加易于掌握。