復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)研究性教學(xué)改革探索

張 琳， 江 明

(中山大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院， 廣東 廣州 510006)

0 引言

1998年，美國(guó)博耶研究型大學(xué)本科生教育委員會(huì)的報(bào)告《重建本科教育：美國(guó)研究性大學(xué)發(fā)展藍(lán)圖》提出：教學(xué)應(yīng)與研究相結(jié)合，學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)基于研究，應(yīng)建立以研究為基礎(chǔ)的教學(xué)模式[1]。這一報(bào)告提出了研究性教學(xué)的教學(xué)理念，并被貫徹實(shí)施于本科教學(xué)中。

研究性教學(xué)理念起源于20世紀(jì)初的中小學(xué)教育，隨后1910年科普蘭(Copeland D.)將其引入哈佛商學(xué)院的教堂，采用案例討論研究講授工商管理專業(yè)知識(shí)[2]。1916年杜威提出了“問(wèn)題教學(xué)法”，提倡“從做中學(xué)”，論證了教學(xué)與科學(xué)研究結(jié)合的必要性。在此基礎(chǔ)上，克伯屈創(chuàng)建了“設(shè)計(jì)教學(xué)法”，“盡可能放手讓學(xué)生自己管理自己”。1959年和1961年，布魯納和施瓦布提出“探究和發(fā)現(xiàn)”的方法，倡導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)。近年來(lái)，各國(guó)都在極力發(fā)展教育，研究性教學(xué)理念及教學(xué)方法實(shí)施也在不斷的得到充實(shí)和發(fā)展。

筆者對(duì)電子與信息領(lǐng)域工程數(shù)學(xué)課程的研究性教學(xué)以及Matlab課程的應(yīng)用性教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行了探索，分別探究了研究性、應(yīng)用性教學(xué)方法，并以復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)的教學(xué)為例，對(duì)其教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)方案、教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了設(shè)計(jì)，還通過(guò)Matlab仿真實(shí)踐進(jìn)行了驗(yàn)證。此外，本文依據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，以音樂(lè)重構(gòu)問(wèn)題為例，詳細(xì)設(shè)計(jì)了復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)的推算及應(yīng)用的教學(xué)實(shí)踐內(nèi)容。

1 研究性教學(xué)概述

研究性教學(xué)強(qiáng)調(diào)研究性講授和研究性學(xué)習(xí)，在研究性講授過(guò)程中，不僅要解決“該知識(shí)點(diǎn)是什么”，還要解決“該知識(shí)點(diǎn)是怎么得來(lái)的”、“它怎樣應(yīng)用”以及“應(yīng)用到哪里”的問(wèn)題；在研究性學(xué)習(xí)過(guò)程中，能夠發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知和創(chuàng)新能力學(xué)生的潛能得到充分的發(fā)揮，能夠深刻認(rèn)識(shí)事理，更加具有主動(dòng)性。研究性教學(xué)具有創(chuàng)造價(jià)值：教學(xué)過(guò)程中，教師和學(xué)生的注意力集中，對(duì)研究課題的背景知識(shí)有深刻認(rèn)識(shí)，容易產(chǎn)生新觀點(diǎn)、得出新結(jié)論。

研究性講授與研究性學(xué)習(xí)本質(zhì)上就是為了實(shí)現(xiàn)學(xué)生的發(fā)展，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性[3]。

常用的研究性教學(xué)方法包括：

(1)案例教學(xué)法：教師與學(xué)生直接參與，共同對(duì)案例或是問(wèn)題進(jìn)行討論的教學(xué)方法；

(2)基于問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)法：由學(xué)生提出問(wèn)題，然后學(xué)生通過(guò)解決問(wèn)題獲得相應(yīng)的理解，因此，學(xué)生提出問(wèn)題是這種教學(xué)方法的核心；

(3)基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)法：基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)法與基于問(wèn)題解決的學(xué)習(xí)法不同，前者是在解決一個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中去學(xué)習(xí)所需要的新知識(shí)，而后者的問(wèn)題則由教師提供。它強(qiáng)調(diào)把學(xué)習(xí)設(shè)置在復(fù)雜的、有意義的問(wèn)題情境中，通過(guò)讓學(xué)習(xí)者合作解決真實(shí)性問(wèn)題，來(lái)學(xué)習(xí)隱含于問(wèn)題背后的科學(xué)知識(shí)，形成解決問(wèn)題的技能，并形成自主學(xué)習(xí)的能力。

本文將采用基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)教學(xué)方法，面向?qū)W生這一教學(xué)對(duì)象，對(duì)學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備及培養(yǎng)需求進(jìn)行了分析，并選取音樂(lè)片段重構(gòu)為問(wèn)題對(duì)象，講解了復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)機(jī)理，并啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)完成音樂(lè)片段的重構(gòu)。

2 復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)研究性教學(xué)設(shè)計(jì)

依據(jù)基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，我們首先分析了學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備及培養(yǎng)需求的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了知識(shí)領(lǐng)域、技能及能力領(lǐng)域、情感態(tài)度領(lǐng)域的教學(xué)目標(biāo)[4]。在此基礎(chǔ)上，我們?cè)O(shè)計(jì)了教學(xué)方案、教學(xué)目標(biāo)及授課內(nèi)容，具體如下所述。

2.1 授課對(duì)象分析

復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)的授課對(duì)象是大學(xué)二年級(jí)上學(xué)期的學(xué)生，處于基礎(chǔ)課與專業(yè)課學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)折階段。一方面，經(jīng)過(guò)一年級(jí)對(duì)于“高等數(shù)學(xué)”、“線性代數(shù)”、“大學(xué)物理”等課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生已具備了微積分計(jì)算能力、矩陣及向量組計(jì)算能力及物理現(xiàn)象觀察與分析能力；另一方面，學(xué)生對(duì)自己的專業(yè)認(rèn)識(shí)尚模糊，學(xué)習(xí)目標(biāo)不明確，還未建立數(shù)學(xué)工具與專業(yè)應(yīng)用之間的關(guān)聯(lián)。為此，依據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，在復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)的教學(xué)中，將建立數(shù)學(xué)工具與電子通信領(lǐng)域工程應(yīng)用的認(rèn)知和關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生探索、分析和解決問(wèn)題的能力。

2.2 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

依據(jù)授課對(duì)象特點(diǎn)，在知識(shí)領(lǐng)域、技能及能力領(lǐng)域、情感態(tài)度領(lǐng)域，教學(xué)目標(biāo)如表1所示。

表1 復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)教學(xué)目標(biāo)

2.3 教學(xué)方案

基于表1所述的教學(xué)目標(biāo)，我們對(duì)復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)的研究性教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了設(shè)計(jì)，教學(xué)流程圖如圖1所示：

圖1復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)研究性教學(xué)流程圖

1)音樂(lè)頻譜分析問(wèn)題

一段音樂(lè)是由一系列具有不同幅度和頻率的正弦波疊加而成[5]，借助于Matlab的wavread等函數(shù)，可觀察到這一段音樂(lè)信號(hào)可分解為具有不同參數(shù)的正弦波分量。這是由于樂(lè)器的琴鍵或是琴弦等發(fā)音器件產(chǎn)生的聲音與頻率點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，這就為音樂(lè)的人工合成與量化分析提供了可能[5]。

例如，設(shè)定頻率點(diǎn)和波形，我們可生成如圖2(a)所示的音樂(lè)片段，為清晰起見(jiàn)，圖2(b)給出了放大的波形。該波形可通過(guò)應(yīng)用軟件的聲音播放函數(shù)例如Matlab中的soundsc函數(shù)進(jìn)行播放。進(jìn)一步，應(yīng)用復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)該音樂(lè)片段波形進(jìn)行分析，即可得到該波形的頻譜，如圖2(c)所示。

圖2(a) Matlab生成的音樂(lè)片段波形

圖2(b) [0,500] 對(duì)應(yīng)的音樂(lè)片段波形

圖2(c) 音樂(lè)片段的頻譜分布圖

2)問(wèn)題討論

觀察圖2(a)所示的音樂(lè)片段波形，可以看到，該波形具有周期性。對(duì)于周期性波形，復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)可由實(shí)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)推算得到。具體步驟如圖3所示：

圖3 復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)算步驟示意圖

3)仿真實(shí)踐

為了驗(yàn)證前述研究性教學(xué)的效果，結(jié)合Matlab課程的應(yīng)用性教學(xué)實(shí)踐內(nèi)容，我們研究了音樂(lè)片段及其傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式的系數(shù)模值|ck|的Matlab代碼，并在基于Intel i5處理器、8G內(nèi)存的PC機(jī)上進(jìn)行仿真測(cè)試實(shí)踐[5]。

主要代碼如下：

Fs=8192; %樣本音符頻率

n(1,:)=[5 8 10 5 8 3 5 7 10 13 10 8 1 5 3];

%不同頻率點(diǎn)音符的播放順序

n(2,:)=[0.5 0.5 3 0.5 0.5 3 0.5 0.5 0.5 1 0.5 0.5 1 0.5 3]; %時(shí)延數(shù)

f=[261.63 277.18 293.66 311.13 329.63

349.23 369.99 392 415.3 440 466.16 493.88 523.25];

%音樂(lè)發(fā)聲頻率

ys=0;

%音樂(lè)片段函數(shù)

for k=1:length(n(1,:));

%生成音樂(lè)片段

delay=0.7*n(2,k);

t=linspace(0,delay,round(Fs*delay));

y=sawtooth(2*pi*f(n(1,k))*t);

%生成鋸齒波

t=linspace(0,0.7*n(2,k),length(y));

envelope=(t+0.2).*exp(-3*(t+0.2)).*cos(2*t);

%生成信號(hào)包絡(luò)

y=y.*envelope;

ys=cat(2,ys,y);

%生成音樂(lè)片段

end

soundsc(ys,Fs);

subplot(2,2,1);

plot(ys);

%繪制音樂(lè)片段波形

fft_u=abs(fft(ys)); %計(jì)算復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)展示式系數(shù)的模值的絕對(duì)值

subplot(2,2,2);

plot(fft_u);

%繪制各頻率分量及其幅值

4)物理意義拓展

將復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)ck可表示為：ck=rkejθk，其中rk表示ck的模值，θk表示其幅角。代入到傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中，可得：

(1)

綜上所述，以音樂(lè)片段為例，我們引入了音樂(lè)的頻譜分析問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考如何運(yùn)用復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)及其頻譜分析方法，獲得音樂(lè)片段的頻譜分布。此外，本文借助Matlab軟件，對(duì)音樂(lè)片段的波形及其頻譜分布進(jìn)行了展示，引導(dǎo)學(xué)生與機(jī)器對(duì)話，運(yùn)用機(jī)器理解并掌握數(shù)學(xué)問(wèn)題的圖形表述方法，并進(jìn)一步解決頻譜分布問(wèn)題。

3 結(jié)語(yǔ)

本文采用基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)的教學(xué)方法，設(shè)計(jì)了復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)的研究性教學(xué)策略，制訂了知識(shí)領(lǐng)域、技能及能力領(lǐng)域、情感態(tài)度領(lǐng)域的教學(xué)目標(biāo)。在此基礎(chǔ)上，以音樂(lè)片段的頻譜分析為題，設(shè)計(jì)了復(fù)數(shù)域傅里葉級(jí)數(shù)的數(shù)學(xué)機(jī)理推演過(guò)程及其物理意義的授課內(nèi)容，并進(jìn)行了Matlab課程的教學(xué)實(shí)踐仿真，以提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力。我們?cè)诮虒W(xué)中實(shí)施了該教學(xué)方案，取得了較好的教學(xué)效果，未來(lái)將引入科學(xué)合理的評(píng)估體系對(duì)相關(guān)課程教學(xué)的效果進(jìn)行進(jìn)一步的量化評(píng)估。