規(guī)則波導(dǎo)中正規(guī)模式的特性研究

賀昌輝, 黎 靜, 朱振波, 洪 亮

(空軍預(yù)警學(xué)院， 湖北 武漢430019)

0 引言

規(guī)則波導(dǎo)中，滿足邊界條件的TE模和TM模有無窮多個(gè)，每一個(gè)模式均可看成是規(guī)則波導(dǎo)的基本模式，它們可以單獨(dú)或同時(shí)存在，這些規(guī)則波導(dǎo)的基本模式又稱為正規(guī)模式或正規(guī)波型，研究正規(guī)模式的特性具有很重要的意義[1]。如在分析不連續(xù)波導(dǎo)時(shí)，就常用正規(guī)波型的理論將波導(dǎo)橫截面上的任意電磁場展開成波導(dǎo)中正規(guī)模式的疊加。能作如此處理的前提是正規(guī)模式必須具有正交性、完備性和對(duì)稱性，這就是波導(dǎo)中正規(guī)模式的三個(gè)重要特性。但在一般的教材中卻沒有對(duì)這三個(gè)特性進(jìn)行詳細(xì)的分析。

本文詳細(xì)推導(dǎo)了正規(guī)模式的三個(gè)重要特性，列舉了這些重要特性在將規(guī)則色散傳輸系統(tǒng)等效為均勻傳輸線及波導(dǎo)模式激勵(lì)的基本理論分析中的重要應(yīng)用。

1 正規(guī)模式的正交性

由前已知，矩形波導(dǎo)中波動(dòng)方程的解為簡諧函數(shù)，圓波導(dǎo)中波動(dòng)方程的解是貝塞爾函數(shù)和簡諧函數(shù)的乘積，這些函數(shù)都是正交的，由這些函數(shù)表征的矩形波導(dǎo)和圓波導(dǎo)的正規(guī)模式也就具有正交特性[2]。這里用i和j代表兩個(gè)任意的正規(guī)模(i，j為模式編號(hào))，它們的正交性可表述如下：

1.1 不同TE或TM波的縱向場分量正交

?SEziEzjdS=0

?SHziHzjdS=0 (i≠j)

(1)

對(duì)于該正交性公式(式(1))可以利用電磁理論中的二維標(biāo)量格林恒等式來加以證明。

二維標(biāo)量格林第一恒等式為

(2)

式中u、v為兩個(gè)標(biāo)量函數(shù),將u、v互相交換后的式子與上式相減，得二維第二恒等式

(3)

現(xiàn)不妨令u=Ezi，v=Ezj，可得

(4)

式中截面S為波導(dǎo)的橫截面積，C為波導(dǎo)橫截面的周線即邊界。在波導(dǎo)的邊界上Ez=0，于是上式可寫為

(5)

若kci≠kcj，可得?SEziEzjdS=0，得證。

若令u=Hzi，v=Hzj，同樣可證當(dāng)kci≠kcj時(shí)，有

?SHziHzjdS=0

(6)

當(dāng)kci=kcj時(shí)，由式(5)得不到正交關(guān)系，此時(shí)可以將這兩個(gè)簡并波型用它們的線性組合代替，形成正交的波型組。

1.2 兩個(gè)不同的TE波或TM波，或一個(gè)TE波和一個(gè)TM一個(gè)TM波的橫向電場分量相互正交

?SETi·ETjdS=0

?SHTi·HTjdS=0 (i≠j)

(7)

1.3 兩個(gè)不同正規(guī)模式的傳輸功率相互正交

傳輸功率相互正交可表示為

?SETi×HTj·ndS=0, (i≠j)

(8)

證明：

(9)

式中，Zj為規(guī)則波導(dǎo)中第j個(gè)正規(guī)模式的波阻抗。

正規(guī)模式的正交性并不限于理想導(dǎo)體構(gòu)成的空心波導(dǎo)中的TE和TM模式，對(duì)于規(guī)則波導(dǎo)中的任意模式，則有以下更一般的正交性公式。

1.4 能量正交性

不管波導(dǎo)壁是理想導(dǎo)體(或良導(dǎo)體)還是非理想導(dǎo)體，均有

(10)

此式可利用洛倫茲互易定理證明。

1.5 功率正交性

(11)

證明：麥克斯韋方程組

▽×H=J+jωD

▽×E=-jωB

(12)

(13)

由式(12)可知

▽×Ei=-jωμHi

(14)

將式(14)代入式(13)有

(15)

同理可得

(16)

由式(15)和式(16)可知

(17)

將上式兩端取體積分，并對(duì)左端應(yīng)用散度定理，可得

(18)

因電流源均在空間域V外，即空間域V內(nèi)無源，右邊為0，于是有

(19)

2 正規(guī)模式的完備性

當(dāng)波導(dǎo)中出現(xiàn)任意不均勻體時(shí)，在不均勻區(qū)，單一模式的場分布不再能滿足該處復(fù)雜的邊界條件，但是我們總可以把這種任意的、復(fù)雜的待求場表示成有限個(gè)正規(guī)模式的疊加，即

(20)

式中ai、bi可用正交關(guān)系來確定。當(dāng)N→∞時(shí)，若兩者的均方誤差趨于零，即

(21)

則正規(guī)模形成了一個(gè)完備的函數(shù)系。因?yàn)椴▽?dǎo)中正規(guī)模是滿足波動(dòng)方程和特定邊界條件的特征函數(shù)，而特征函數(shù)系是完備的，所以正規(guī)模式構(gòu)成了完備系。

3 正規(guī)模式的對(duì)稱性

正規(guī)模式的電場和磁場對(duì)規(guī)則波導(dǎo)的縱向坐標(biāo)(z)具有對(duì)稱性或反對(duì)稱性，具體地說，橫向電場ET與縱向磁場Hz是坐標(biāo)z的對(duì)稱函數(shù)，而橫向電場HT與縱向磁場Ez是坐標(biāo)z的反對(duì)稱函數(shù)，即：

(22)

式中，下標(biāo)“1”代表沿z方向傳輸?shù)碾姶挪▽?duì)應(yīng)的場量，下標(biāo)“2”代表沿-z方向傳輸?shù)碾姶挪▽?duì)應(yīng)的場量。

4 正規(guī)模式特性的應(yīng)用

4.1 將規(guī)則色散傳輸系統(tǒng)等效為均勻傳輸線

對(duì)均勻傳輸線，線上的電壓和電流分別單值地對(duì)應(yīng)于TEM模的橫向電場和橫向磁場，它們都有確定的含義和確定的值。然而，對(duì)像金屬波導(dǎo)那樣的規(guī)則色散傳輸系統(tǒng)，因?yàn)橹荒軅鬏斏⒉?，傳輸系統(tǒng)中不存在測(cè)量電壓和電流的對(duì)應(yīng)端點(diǎn)，因此電壓和電流的概念完全失去意義。由此可見，要使傳輸線理論適合于一切傳輸系統(tǒng)，必須引進(jìn)等效參量來代替?zhèn)鬏斁€理論中的電壓和電流。這里以單模金屬波導(dǎo)的等效為例進(jìn)行討論[4]。

設(shè)有一個(gè)任意截面、無耗傳輸?shù)膯文＝饘俨▽?dǎo),令其橫向電磁場為ET(u,v,z)和HT(u,v,z)。為定義單模金屬波導(dǎo)某參考面上的等效電壓和等效電流，可利用金屬波導(dǎo)中(正規(guī))傳輸模式的以下幾個(gè)主要特性:

(1)電壓和電流分別與ET和HT成正比；

(2)(平均)傳輸功率等于電壓和電流共軛乘積的實(shí)部的一半，且在傳輸若干個(gè)波導(dǎo)模式的無耗傳輸系統(tǒng)中，傳輸?shù)目偣β室欢ǖ扔诟鱾€(gè)傳輸模式的傳輸功率之和；

(3)行波電壓與電流之比等于(選定的等效)特性阻抗ZC(簡稱等效阻抗)。

根據(jù)正規(guī)模式的對(duì)稱性，可寫出沿±z方向傳輸?shù)娜我獠▽?dǎo)模式(包括混合模)的電磁場的一般表達(dá)式為

E+(u,v,z)=A+e(u,v)e-jβz+A+ez(u,v)e-jβz

H+(u,v,z)=A+h(u,v)e-jβz+A+hz(u,v)e-jβz

E-(u,v,z)=A-e(u,v)ejβz-A-ez(u,v)ejβz

H-(u,v,z)=-A-h(u,v)ejβz+A-hz(u,v)ejβz

(23)

式中，A+、A-是波導(dǎo)模式的電磁場的振幅；e(u,v)、h(u,v) 和ez(u,v)、hz(u,v)都是二維矢量函數(shù)，代表了橫向場和縱向場的分布，它們都不是唯一的。因?yàn)樗鼈兣c色散傳輸系統(tǒng)中的傳輸模式有關(guān)，故稱為矢量模式函數(shù)。但對(duì)于規(guī)則單模金屬波導(dǎo)而言，波導(dǎo)中的傳輸模式則是TM或TE模式，此時(shí)ez和hz對(duì)應(yīng)為零，這樣根據(jù)特性1則可將規(guī)則單模波導(dǎo)中的橫向電磁場表示為以下形式：

ET(u,v,z) =(A+e-jβz+A-ejβz)

(23a)

HT(u,v,z) =h(u,v)(A+e-jβz-A-ejβz)

(23b)

式中，C1=U+/A+=U-/A-，C2=I+/A+=I-/A-，為比例常數(shù)(實(shí)數(shù))。由于橫向電場ET和和橫向磁場HT與模式的波阻抗Zw(即ZTM或ZTE)相聯(lián)系，因此對(duì)沿+z方向傳輸?shù)膯蜗螂姶挪ǎ琫(u,v)和h(u,v) 可按以下關(guān)系選?。?/p>

(25)

當(dāng)然，由于e(u,v)和h(u,v)不是唯一的，因此上式中的Zw一般應(yīng)選定為波導(dǎo)的等效(特性)阻抗。

根據(jù)式(23)，即可定義一維標(biāo)量復(fù)函數(shù)U(z)和I(z)分別為

U(z)=U+e-jβz+U-ejβz

(26a)

I(z)=I+e-jβz-I-ejβz

(26b)

U(z)和I(z)分別為反映了橫向電磁場的導(dǎo)波沿傳播方向的變化規(guī)律，又因?yàn)樗鼈円才c傳輸模式有關(guān)，因此稱為金屬波導(dǎo)中傳輸模式的等效電壓和等效電流(簡稱為模式電壓、模式電流或等效電壓、等效電流,或更簡稱為電壓、電流)。

根據(jù)特性2可推導(dǎo)出

(27)

根據(jù)特性3,假定選定的特性阻抗為ZC，有

C1/C2=ZC

(28)

由此可見，只要用單模金屬波導(dǎo)的等效電壓和等效電流代替均勻傳輸線上的電壓和電流，則可將單模金屬波導(dǎo)等效為均勻傳輸線。

4.2 用于波導(dǎo)模式激勵(lì)的基本理論分析

《微波技術(shù)與天線》教材中只介紹了金屬波導(dǎo)中的模式轉(zhuǎn)換(即金屬波導(dǎo)的激勵(lì)和耦合)，但并未對(duì)金屬波導(dǎo)的激勵(lì)和耦合問題作必要的理論分析。下面就利用正規(guī)模式的特性來分析金屬波導(dǎo)中電流源、磁流源和小孔激勵(lì)的基本理論。

如圖1所示，在無限長金屬波導(dǎo)中z1和z2處的兩個(gè)橫截面之間存在(體)電流源J。假設(shè)波導(dǎo)中由電流源J產(chǎn)生沿±z方向傳輸?shù)碾姶挪ǖ膱龇謩e為E+、H+和E-、H-，則根據(jù)正規(guī)模式的完備性和式

圖1 任意電流源或磁流源的模式激勵(lì)

(24)，可將E+、H+和E-、H-分別表示為

(29a)

(29b)

(29c)

(29d)

對(duì)已知的電流源J，若一體積為V的區(qū)域中(體)磁流密度JM1=JM2=0，由互易定理可知

(30)

式中，S為所包圍的體積V的封閉面，E1和E2為電流源J1和J2產(chǎn)生的場。于是，取體積V為波導(dǎo)內(nèi)壁和兩個(gè)橫截面z1及z2所圍成的區(qū)域，旦令z≥z2或z≤z1區(qū)域中的E1=E±，H1=H±，并設(shè)E2和H2是沿-z向傳輸?shù)牡趇個(gè)波導(dǎo)模式的場，即

將它們代入式(30)，并令J1=J、J2=0，可得

(31)

式中，en為體積V的外法向單位矢量。

由于波導(dǎo)內(nèi)壁表面上切向電場為零，因此關(guān)于波導(dǎo)內(nèi)壁表面的面積分等于零，從而式(31)左端的面積分簡化為z1及z2處的兩個(gè)橫截面St上的面積分。又考慮到在波導(dǎo)橫截面上波導(dǎo)模式相互正交，即

(32)

利用式(29)及式(32)可將式(31)化簡為

(33)

式中St1、St2分別為z1及z2處兩個(gè)橫截面的面積，化簡得正向傳輸電磁波的振幅系數(shù)Ai+為

(34)

同理可求得

(35)

若金屬波導(dǎo)中存在(體)密度為JM的磁流源,由于磁流源同樣可在波導(dǎo)中產(chǎn)生正向和反向傳輸?shù)膶?dǎo)波，因此也可采用同上述完全類似的思路導(dǎo)出第i個(gè)波導(dǎo)模式正、反向傳輸波的振幅系數(shù)分別為

(36)

上述公式既適用于金屬波導(dǎo)中的線電流(探針)激勵(lì)、電流環(huán)(磁環(huán))激勵(lì)，也適用于金屬(薄)壁上的孔縫(小孔)激勵(lì)。

5 結(jié)語

本文推導(dǎo)了規(guī)則波導(dǎo)中正規(guī)模式的正交性、完備性和對(duì)稱性三個(gè)重要特性，列舉了這些重要特性在將規(guī)則色散傳輸系統(tǒng)等效為均勻傳輸線及波導(dǎo)模式激勵(lì)的基本理論分析中的重要應(yīng)用，可見研究規(guī)則波導(dǎo)中正規(guī)模式的特性在理論與實(shí)際中都具有很重要的意義。