數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的螺旋式編寫方式研究——以“平行四邊形”為例

宋運(yùn)明，鄺孔秀

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數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的螺旋式編寫方式研究——以“平行四邊形”為例

宋運(yùn)明1，鄺孔秀2

（1．貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2．湖州師范學(xué)院 教師教育學(xué)院，浙江 湖州 313000）

螺旋式是課程與教材內(nèi)容組織的重要形式，采用內(nèi)容分析法對現(xiàn)行6個(gè)版本義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)教材中平行四邊形內(nèi)容的螺旋式編寫特點(diǎn)的研究表明：現(xiàn)行教材中平行四邊形內(nèi)容螺旋間隔差異較大，廣度和深度總體上隨著學(xué)段升高而增加．教材螺旋式編寫在對數(shù)學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行螺旋組合時(shí)要考慮知識和學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的適應(yīng)性、知識間的邏輯聯(lián)系與數(shù)學(xué)思想的滲透；螺旋的數(shù)量和間隔、每一螺旋的時(shí)間選擇和呈現(xiàn)方式等需要結(jié)合學(xué)生不同階段的認(rèn)知水平和知識的特點(diǎn)來確定；對于較為重要、復(fù)雜且抽象的知識，教材需要設(shè)計(jì)合理的螺旋；對于比較直觀、學(xué)生有一定生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)的知識，不必要安排螺旋．

數(shù)學(xué)教材；平行四邊形；螺旋式；編寫特點(diǎn)；內(nèi)容分析法

1 問題提出

螺旋式作為課程與教材內(nèi)容組織的重要形式[1]，意指課程內(nèi)容要在不同階段重復(fù)出現(xiàn)，但逐漸擴(kuò)大范圍和加深程度．相對于另一組織形式——直線式，它的內(nèi)容盡管有一定重復(fù)，但容易照顧到學(xué)生的認(rèn)識特點(diǎn)，有利于加深對學(xué)科的理解[1]．螺旋式興起于20世紀(jì)60年代布魯納提出的“螺旋式課程”．他認(rèn)為，課程內(nèi)容的核心是學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)，應(yīng)該從小就開始教各門學(xué)科最基本的原理，以后隨著學(xué)年的遞升而螺旋式地反復(fù)，逐漸提高[1]．然而，對于如何組織和編寫螺旋式教材，迄今為止還在探索之中，甚至還存在一些爭議[2]．但螺旋式編寫方式還是得到了廣泛認(rèn)可，如宋乃慶、鄺孔秀通過對美國、英國、法國、德國、俄羅斯、澳大利亞、韓國、日本、新加坡9個(gè)發(fā)達(dá)國家的12套小學(xué)數(shù)學(xué)教材比較研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前發(fā)達(dá)國家小學(xué)數(shù)學(xué)教材在編寫方式上普遍以螺旋式為編排方式[3]．我國現(xiàn)行的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[4]（以下簡稱2011課標(biāo)）和《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》[5]均在“教材編寫建議”中明確了螺旋式的地位．課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫的主要依據(jù)，相應(yīng)地，螺旋式在我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教材編寫中也得到了很好的體現(xiàn)．總結(jié)現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材內(nèi)容螺旋式編寫的經(jīng)驗(yàn)與不足，對于豐富布魯納的螺旋式課程思想具有重要意義．

一些學(xué)者從數(shù)學(xué)課程、教材[6-9]和學(xué)生認(rèn)知[10]等方面對螺旋式編排進(jìn)行了研究．這對于澄清“螺旋式”的認(rèn)識和構(gòu)建分析框架很有啟發(fā)意義；但對于數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的螺旋式編寫如何避免知識的跳躍雜亂，如何適應(yīng)不同發(fā)展階段學(xué)生的學(xué)習(xí)，比如如何考慮哪些數(shù)學(xué)知識適合組成一個(gè)螺旋、同一知識點(diǎn)需要多少次螺旋、不同螺旋之間的間隔時(shí)間多長合適、如何選擇螺旋時(shí)間和呈現(xiàn)形式等，還缺乏結(jié)合具體教材和內(nèi)容的研究，因此還不能滿足數(shù)學(xué)教材螺旋式編寫和數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)際需要．

平行四邊形內(nèi)容是義務(wù)教育階段“圖形與幾何”學(xué)習(xí)領(lǐng)域的重要組成部分，涵蓋直觀幾何、度量幾何（如平行四邊形面積）、演繹幾何、變換幾何和坐標(biāo)幾何（分布在教材習(xí)題中）等多個(gè)領(lǐng)域，是培育學(xué)生空間觀念、運(yùn)算能力、推理能力、幾何直觀與符號意識等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好素材．它的教材內(nèi)容分布在義務(wù)教育的3個(gè)學(xué)段，較好地體現(xiàn)了“螺旋式”編排理念．因而研究者擬以平行四邊形內(nèi)容為例，采用量化分析與質(zhì)性描述相結(jié)合的方式，力求較為精準(zhǔn)地刻畫現(xiàn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的螺旋式編寫特點(diǎn)，分析其螺旋式編寫的經(jīng)驗(yàn)、不足及改進(jìn)方式，期望能為數(shù)學(xué)教材建設(shè)、改進(jìn)教學(xué)，進(jìn)而增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的累積效應(yīng)提供參考．

2 研究設(shè)計(jì)

研究方法主要采用內(nèi)容分析法．其核心是根據(jù)既有理論，發(fā)展系統(tǒng)的分析框架，將待分析的教材文本登錄為一定的類屬，再加以統(tǒng)計(jì)，以量化數(shù)據(jù)來描述該文本特性[11]．

2.1 研究對象

教育部公布的《2016年義務(wù)教育教學(xué)用書目錄》中的六三制數(shù)學(xué)教材，1~6年級（小學(xué)）有7個(gè)版本，7~9年級（初中）有10個(gè)版本[12]．據(jù)教育部通知，2017年義務(wù)教育階段仍使用2016年目錄公布的數(shù)學(xué)教材[13]．在這些數(shù)學(xué)教材的出版單位中，既出版7個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，又出版10個(gè)版本的初中數(shù)學(xué)教材的出版社有6家．為保持所研究數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的連續(xù)性，更好刻畫其螺旋式編寫特點(diǎn)，研究者從上述教材中選擇這6家出版社出版的義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材作為研究對象．它們分別由北京出版社、北京師范大學(xué)出版社、河北教育出版社、鳳凰出版?zhèn)髅焦煞萦邢薰荆ńK鳳凰教育出版社和江蘇科學(xué)技術(shù)出版社是其旗下成員，分別出版小學(xué)和初中數(shù)學(xué)教材）、青島出版社和人民教育出版社出版．相應(yīng)地，將其分別簡稱為北京版、北師版、冀教版、蘇教版、青島版和人教版．1~3年級、4~6年級、7~9年級分別為第一學(xué)段、第二學(xué)段和第三學(xué)段．具體版本及其含“平行四邊形”內(nèi)容的冊次等信息見表1，其中一年級下冊，簡稱“一下”，其它冊次類推．

課堂教學(xué)是學(xué)校教育的主陣地．限于篇幅，教材分析僅限于課堂教學(xué)中使用率較高的內(nèi)容，即表1各冊教材正文中的“平行四邊形”內(nèi)容，不包括相應(yīng)的章前言、課堂練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題、特色欄目等，也不包括編寫于其前后的“長方形（矩形）、正方形、三角形和梯形”等內(nèi)容．

表1 所選數(shù)學(xué)教材的基本信息

2.2 分析框架

分析框架是以“螺旋式”組織形式為指導(dǎo)思想，在對研究對象與相關(guān)文獻(xiàn)反復(fù)對照分析的基礎(chǔ)上，主要將孔凡哲提出的“教材運(yùn)用‘螺旋式上升’可以從深度、廣度和應(yīng)用等維度予以實(shí)現(xiàn)”[6]與李卓、于波研究小學(xué)數(shù)學(xué)教材螺旋式結(jié)構(gòu)編排的“螺旋的時(shí)間間隔”等維度[9]，綜合化和具體化而成．具體包括3個(gè)一級維度：螺旋間隔、內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度．

（1）螺旋間隔．該維度可以從整體上刻畫教材內(nèi)容螺旋式編寫的狀況．具體包括含“平行四邊形”內(nèi)容的冊數(shù)（螺旋數(shù)量）、間隔時(shí)間、平均間隔時(shí)間3個(gè)二級維度．每版教材18冊，每冊教材可為學(xué)生提供一個(gè)學(xué)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)線索．整個(gè)義務(wù)教育階段共有18個(gè)學(xué)期．為敘述方便，在學(xué)習(xí)時(shí)間上，約定一冊教材代表一個(gè)學(xué)期．以人教版為例，從一下到九上（采用“閉區(qū)間”，下同）共有16個(gè)學(xué)期，有5個(gè)學(xué)期出現(xiàn)平行四邊形內(nèi)容，4個(gè)間隔時(shí)間分別為4個(gè)學(xué)期、1個(gè)學(xué)期、6個(gè)學(xué)期、0個(gè)學(xué)期，則人教版平行四邊形內(nèi)容螺旋的平均間隔時(shí)間為(11÷4)=2.75個(gè)學(xué)期．

（2）內(nèi)容廣度．通過知識點(diǎn)的多少及其組合情況對各版本每個(gè)學(xué)段教材的內(nèi)容廣度進(jìn)行量化分析與質(zhì)性描述，具體包括知識點(diǎn)個(gè)數(shù)與知識點(diǎn)組合兩個(gè)二級維度．史寧中等認(rèn)為數(shù)學(xué)教材中的知識點(diǎn)可以分為概念及概念之間的關(guān)系，即命題．因此，知識點(diǎn)要么是概念，要么是命題[14]．通過對6個(gè)版本的有關(guān)平行四邊形的知識點(diǎn)進(jìn)行梳理與求并集，共得到14個(gè)知識點(diǎn)：Z1—平行四邊形，Z2—對角線，Z3—高，Z4—底，Z5—面積公式，Z6—性質(zhì)1（對邊相等），Z7—性質(zhì)2（對角相等），Z8—性質(zhì)3（對角線互相平分），Z9—性質(zhì)4（不穩(wěn)定），Z10—性質(zhì)5（是中心對稱圖形），Z11—判定1（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），Z12—判定2（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形），Z13—判定3（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），Z14—判定4（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形）．前4個(gè)是概念，后10個(gè)屬于命題．

（3）內(nèi)容深度．該維度僅對重復(fù)的知識點(diǎn)在不同學(xué)段的深度變化進(jìn)行分析，它們可以通過知識點(diǎn)的教材呈現(xiàn)所體現(xiàn)的知識或思維要求的高低變化來刻畫．知識點(diǎn)的深度包括概念深度和命題深度兩個(gè)二級維度．依據(jù)概念與命題教材呈現(xiàn)的一般過程，概念從引入、描述和應(yīng)用3個(gè)3級維度，命題從發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用3個(gè)3級維度進(jìn)行深度變化分析[15]．需要說明的是，教材呈現(xiàn)的命題描述部分在學(xué)段之間的深度變化不明顯，故分析時(shí)不涉及該部分．

綜上，研究者結(jié)合相關(guān)成果構(gòu)建了數(shù)學(xué)教材中螺旋式內(nèi)容的分析框架，如圖1．

圖1 分析框架

3 研究結(jié)果

3.1 螺旋間隔

由表1可以看出，6個(gè)版本中，平行四邊形內(nèi)容首次出現(xiàn)在一下的有4個(gè)版本，即北京版、北師版、青島版和人教版，首次出現(xiàn)在二上的是蘇教版，出現(xiàn)在二下的是冀教版．在第一學(xué)段，平行四邊形內(nèi)容出現(xiàn)兩個(gè)學(xué)期的有北師版和青島版，其它版本出現(xiàn)一個(gè)學(xué)期；在第二學(xué)段，北京版的螺旋數(shù)量為1，其它版本為2；在第三學(xué)段，人教版的螺旋數(shù)量為2，其它版本為1．

螺旋數(shù)量最多的版本是北師版、青島版和人教版，有5個(gè)；螺旋數(shù)量最少的是北京版，為3個(gè)．螺旋間隔時(shí)間最長的是6個(gè)學(xué)期，即3個(gè)學(xué)年，最短的是0個(gè)學(xué)期．

平行四邊形內(nèi)容的不同學(xué)段之間的間隔時(shí)間比同一學(xué)段內(nèi)的間隔時(shí)間長，第二和第三學(xué)段之間的間隔時(shí)間（6個(gè)學(xué)期）一般比第一和第二學(xué)段之間（3~6個(gè)學(xué)期）的長．螺旋的平均間隔時(shí)間最長的是北京版，為6個(gè)學(xué)期；最短的是北師版和青島版，為2.5個(gè)學(xué)期．詳見表2．

表2 各版本教材內(nèi)容的螺旋間隔

3.2 內(nèi)容廣度

3個(gè)學(xué)段，北京版、北師版、冀教版和人教版的平行四邊形內(nèi)容有13個(gè)知識點(diǎn)，蘇教版和青島版有11個(gè)知識點(diǎn)．其分布詳見表3．

表3 平行四邊形內(nèi)容的知識點(diǎn)分布

在第一學(xué)段，冀教版含有3個(gè)知識點(diǎn)，北師版有2個(gè)，其它4個(gè)版本僅有1個(gè)，即平行四邊形的概念．

在第二學(xué)段，6個(gè)版本知識點(diǎn)個(gè)數(shù)為4~7，北師版知識點(diǎn)數(shù)量最少，僅4個(gè)，冀教版知識點(diǎn)數(shù)量最多，有7個(gè)；6個(gè)版本均含有Z1、Z3、Z4、Z5等4個(gè)知識點(diǎn)，除北師版外的5個(gè)版本含有“性質(zhì)1（對邊相等）”，冀教版和青島版含有“性質(zhì)2（對角相等）”．

在第二學(xué)段中，6個(gè)版本的“面積公式”知識點(diǎn)均處于五上；北師版的“高”和“底”兩個(gè)知識點(diǎn)與“面積公式”知識點(diǎn)編寫在同一冊的同一單元，而與“平行四邊形的概念”處于不同的冊別．冀教版、蘇教版、青島版和人教版4個(gè)版本將這兩個(gè)知識點(diǎn)與“平行四邊形的概念”編寫在同一冊的同一單元，而與“面積公式”處于不同的冊別．北京版綜合了上述兩種情況，將這兩個(gè)知識點(diǎn)與“平行四邊形的概念”“面積公式”編寫在同一冊的同一單元．

在第三學(xué)段，6個(gè)版本中，知識點(diǎn)個(gè)數(shù)為8~9，均含有Z1、Z6、Z7、Z8、Z10、Z11、Z12、Z13這8個(gè)知識點(diǎn)．除人教版的“性質(zhì)5（是中心對稱圖形）”知識點(diǎn)處于九上外，其它5個(gè)版本的平行四邊形內(nèi)容均處于八下．對于“性質(zhì)5（是中心對稱圖形）”知識點(diǎn)，北師版、冀教版和蘇教版將其編寫在“平行四邊形的性質(zhì)和判定”之前，在呈現(xiàn)該知識點(diǎn)的同時(shí)，還把它作為探究發(fā)現(xiàn)或論證平行四邊形性質(zhì)的手段；其它3個(gè)版本，則將其編寫在“平行四邊形的性質(zhì)和判定”內(nèi)容之后．

縱觀3個(gè)學(xué)段，6個(gè)版本教材中都出現(xiàn)了“平行四邊形的概念”知識點(diǎn)．在第二和第三學(xué)段，除北師版外，其它5個(gè)版本均出現(xiàn)了“性質(zhì)1（對邊相等）”知識點(diǎn)；冀教版和青島版都出現(xiàn)了“性質(zhì)2（對角相等）”知識點(diǎn)．“高”“底”和“性質(zhì)5（是中心對稱圖形）”等知識點(diǎn)與相關(guān)知識點(diǎn)組合情況在不同版本有較大差異．

3.3 內(nèi)容深度

3.3.1 “平行四邊形概念”在3個(gè)學(xué)段的深度變化

在第一學(xué)段，（1）概念引入，冀教版教材編寫采取了從抽象圖形到抽象圖形、一般到特殊的編寫順序，其中滲透了分類思想．而其它版本教材編寫則遵循了從具體實(shí)物到抽象圖形的順序；其中，北京版、人教版的具體實(shí)物是比照立體圖形畫的平面圖形，青島版是剪貼畫，北師版和蘇教版是日常生活素材（如衣帽架），北京版和人教版也滲透了分類思想．（2）概念描述，北師版一下結(jié)合實(shí)物給出概念名稱，二下結(jié)合平行四邊形圖形給出概念名稱．而其它版本均結(jié)合圖形給出概念名稱．（3）概念應(yīng)用，青島版呈現(xiàn)了含有平行四邊形的剪貼畫拼圖，其它版本則均編寫了有關(guān)七巧板的拼圖．此外，北師版和冀教版還編寫了把實(shí)物長方形拉成平行四邊形內(nèi)容，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生感受平行四邊形的整體特征．

在第二學(xué)段，（1）概念引入，北師版由對8個(gè)四邊形分類引入，而其它版本均是由生活素材引入．6個(gè)版本均是在探究出平行四邊形的元素關(guān)系特征，尤其是對邊平行之后，得出平行四邊形概念．（2）概念描述，北京版和人教版呈現(xiàn)了概念的文字定義，即兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．其它4個(gè)版本不僅有概念的文字定義，還輔以平行四邊形的幾何圖形進(jìn)行直觀支撐．（3）概念應(yīng)用，北京版、北師版、冀教版和人教版都編寫了長方形、正方形和平行四邊形的關(guān)系，北京版和人教版呈現(xiàn)了平行四邊形的不穩(wěn)定性．蘇教版和青島版沒有明顯地呈現(xiàn)概念應(yīng)用．

在第三學(xué)段，（1）概念引入，6個(gè)版本均由生活素材引入概念，其中冀教版和青島版在生活素材和抽象概念之間有“數(shù)學(xué)化”的過渡內(nèi)容．（2）概念描述，6個(gè)版本均給出概念的文字定義，并結(jié)合平行四邊形圖形說明概念的符號表示方法．特別地，北京版和青島版結(jié)合圖形，以符號語言闡釋了定義．（3）概念應(yīng)用，6個(gè)版本均將平行四邊形定義應(yīng)用于部分性質(zhì)、判定及相關(guān)例題的證明．

從概念引入素材看，第一個(gè)學(xué)段有3個(gè)版本是小學(xué)生較為熟悉的紙片圖形、剪貼畫和積木的表面圖形，有兩個(gè)是生活素材，一個(gè)是幾何圖形．第二學(xué)段僅有一個(gè)版本是幾何圖形，其它5個(gè)版本是生活素材．第三學(xué)段的6個(gè)版本全部是生活素材．第一學(xué)段與第二學(xué)段的素材選取較符合學(xué)生的認(rèn)識特點(diǎn)，且在生活范圍上有一定差異，而第三學(xué)段的素材與第二學(xué)段在生活范圍上差異不大．有些版本在不同學(xué)段中使用了名稱相同的素材（雖然圖片所顯示的具體實(shí)物不同），如北師版在第一和第三學(xué)段均呈現(xiàn)了“伸縮門”的素材，冀教版第二和第三學(xué)段均選用了“伸縮門”，蘇教版在3個(gè)學(xué)段均采用了“樓梯扶手”，青島版在第二和第三學(xué)段均有“樓梯扶手”．

從概念的引入過程看，第一學(xué)段的5個(gè)版本是對具體的平行四邊形物體抽象、分類或概括，進(jìn)而從整體上把握平行四邊形的外部特征．第二學(xué)段的全部版本是在探究平行四邊形元素之間關(guān)系特征的基礎(chǔ)上，從內(nèi)部特征方面進(jìn)一步認(rèn)識平行四邊形．第三學(xué)段教材則多基于生活素材直接給出概念．

從概念的描述看，第一學(xué)段的6個(gè)版本是結(jié)合圖形給出概念名稱；第二學(xué)段是結(jié)合圖形給出概念的文字定義；第三學(xué)段不僅給出概念的文字定義，還結(jié)合圖形說明概念的符號表示方法．

從概念的應(yīng)用看，第一學(xué)段主要在于做有關(guān)平行四邊形的拼圖，第二學(xué)段多運(yùn)用平行四邊形的文字定義，與長方形、正方形等圖形建立聯(lián)系，有一定的抽象和推理要求，第三學(xué)段則將定義應(yīng)用于嚴(yán)格的演繹推理．

綜上，平行四邊形概念的引入過程、描述和應(yīng)用對學(xué)生思維的要求，隨著學(xué)段的升高而升高．

3.3.2 “平行四邊形性質(zhì)1和性質(zhì)2”在第二和第三學(xué)段的深度變化

對于性質(zhì)1，在第二學(xué)段，北京版、青島版和蘇教版均通過觀察和度量發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，人教版沒呈現(xiàn)具體的發(fā)現(xiàn)過程．冀教版則是將實(shí)物長方形拉成平行四邊形，經(jīng)由長方形的對邊相等推出平行四邊形的對邊相等，體現(xiàn)了一定的形式推理要求．此外，6個(gè)版本中僅冀教版在第一學(xué)段具有性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，與該版本第二學(xué)段的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)過程基本相同．在第三學(xué)段，北京版借助計(jì)算機(jī)或圖形計(jì)算器，冀教版、蘇教版和青島版均通過幾何變換，人教版則經(jīng)由對具體平行四邊形圖形的觀察和度量發(fā)現(xiàn)性質(zhì)．證明中，蘇教版在證實(shí)平行四邊形中心對稱性質(zhì)的同時(shí)，證明了性質(zhì)1．北京版、冀教版、青島版和人教版均采用了相同的演繹幾何的證明思路．此外北京版、冀教版和青島版給出了證明過程的“已知”和“求證”．

對于性質(zhì)2，冀教版和青島版在第二學(xué)段均是通過度量發(fā)現(xiàn)對角相等．在第三學(xué)段均是通過幾何變換發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，并對其進(jìn)行了演繹證明，其中青島版不僅提供了一種詳細(xì)的證明過程，還呈現(xiàn)了另一種證明思路，體現(xiàn)了證明思路的多樣化．

對于性質(zhì)1和性質(zhì)2，第二學(xué)段教材的正文，沒有明顯地呈現(xiàn)其相關(guān)應(yīng)用，第三學(xué)段主要將其應(yīng)用于證明和計(jì)算相關(guān)問題．

縱向看，北京版、冀教版、蘇教版、青島版的性質(zhì)1與冀教版、青島版的性質(zhì)2，在第二和三學(xué)段教材中的發(fā)現(xiàn)過程，不僅活動(dòng)內(nèi)容不同，而且知識或思維要求也不同；它們僅在第三學(xué)段教材中具有證明和應(yīng)用內(nèi)容．可見，多數(shù)版本性質(zhì)1和性質(zhì)2發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用的教材編寫隨著學(xué)段升高，思維要求在遞升，深度在加深．當(dāng)然，在第三學(xué)段的各版教材中，平行四邊形的其它一些性質(zhì)和判定的內(nèi)容深度與相應(yīng)教材的性質(zhì)1、2基本一致．

4 研究結(jié)論

由研究結(jié)果可知，義務(wù)教育6個(gè)版本數(shù)學(xué)教材中平行四邊形內(nèi)容螺旋式編寫的主要特點(diǎn)如下．

（1）6個(gè)版本螺旋數(shù)量范圍是3~5個(gè)，間隔時(shí)間范圍0~6個(gè)學(xué)期，不同學(xué)段之間的間隔時(shí)間比同一學(xué)段內(nèi)的間隔時(shí)間長，平均間隔時(shí)間范圍是2.5~6個(gè)學(xué)期．不同版本內(nèi)容的螺旋間隔差異較大．

（2）第一學(xué)段知識點(diǎn)個(gè)數(shù)范圍是1~3，第二學(xué)段范圍是4~7，第三學(xué)段是8~9．一些知識點(diǎn)在不同版本中的組合情況不同．內(nèi)容在3個(gè)學(xué)段有一定重復(fù)，隨著學(xué)段升高，廣度在“上升”．

（3）平行四邊形概念的引入、描述和應(yīng)用在3個(gè)學(xué)段的教材編寫，性質(zhì)1和性質(zhì)2的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用在第二和第三學(xué)段的教材編寫，絕大部分隨著學(xué)段升高，所體現(xiàn)的思維深度在“上升”．

2011課標(biāo)在“教材編寫建議”中指出，螺旋上升是指在深度、廣度等方面都要有實(shí)質(zhì)性的變化，即體現(xiàn)出明顯的階段性要求[4]．范希爾理論中的幾何思維水平可以合并為從低到高的3個(gè)：直觀水平——整體地認(rèn)識幾何對象；描述水平——通過幾何性質(zhì)認(rèn)識幾何對象；理論水平——利用演繹推理證明幾何關(guān)系[16]．從研究結(jié)果可知，數(shù)學(xué)教材平行四邊形內(nèi)容的螺旋式編寫在第一、二和三學(xué)段分別體現(xiàn)了直觀水平、描述水平和理論水平的要求，從廣度、深度上基本達(dá)到“質(zhì)的上升”．

概而言之，6個(gè)版本義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材中平行四邊形內(nèi)容螺旋間隔差異較大，廣度和深度基本上隨著學(xué)段升高而增加．

5 研究討論

螺旋式的課程和教材組織一方面需要避免知識的跳躍雜亂，另一方面需要適應(yīng)不同發(fā)展階段學(xué)生的學(xué)習(xí)．為此，在螺旋式教材編寫實(shí)踐中，需要考慮哪些數(shù)學(xué)知識適合組成一個(gè)螺旋，同一知識點(diǎn)需要多少次螺旋，不同螺旋之間的間隔時(shí)間多長合適，如何選擇螺旋時(shí)間和呈現(xiàn)形式．

（1）如何對數(shù)學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行螺旋組合？平行四邊形內(nèi)容的知識點(diǎn)在3個(gè)學(xué)段有一定重復(fù)，隨著學(xué)段的升高，知識點(diǎn)的個(gè)數(shù)逐漸增加，即體現(xiàn)了廣度的“上升”．那么，在一個(gè)知識主題中，哪幾個(gè)知識點(diǎn)組成一個(gè)螺旋較為合適，需要具體情況具體分析．

6個(gè)版本中，知識點(diǎn)組合情況有較大差異．例如，北師版將“高”“底”與“面積公式”知識點(diǎn)編寫在同一冊的同一單元；冀教版、蘇教版、青島版和人教版4個(gè)版本將“高”“底”與“平行四邊形的概念”編寫在同一冊的同一單元，而與“面積公式”處于不同的冊別．應(yīng)該說，“面積公式”涉及“高”“底”，它們之間有緊密的聯(lián)系：“高”“底”的應(yīng)用之一即是“面積公式”，同時(shí)“面積公式”需要“高”“底”的知識基礎(chǔ)．因此，按照直線式組織方式將它們組合在一個(gè)單元中，有利于加強(qiáng)學(xué)生對知識間邏輯聯(lián)系的理解．而將“面積公式”與“高”“底”編寫在不同冊別中學(xué)習(xí)，雖然給“高”“底”的學(xué)習(xí)帶來一次螺旋式認(rèn)知的機(jī)會(huì)，但更多地淡化了知識之間的邏輯聯(lián)系，一線教師對此意見較大，建議改進(jìn)．

對于“性質(zhì)5（是中心對稱圖形）”知識點(diǎn)，北師版、冀教版和蘇教版將其編寫在“平行四邊形的性質(zhì)和判定”之前，在呈現(xiàn)該知識點(diǎn)的同時(shí)，還把它作為探究發(fā)現(xiàn)或論證平行四邊形性質(zhì)的手段，不僅加強(qiáng)了知識間的聯(lián)系，還凸顯了變換幾何的優(yōu)勢[17]．其它3個(gè)版本則將其編寫在“平行四邊形的性質(zhì)和判定”內(nèi)容之后，作為一個(gè)單獨(dú)的知識點(diǎn)學(xué)習(xí)，雖然能為學(xué)生結(jié)合“平行四邊形的性質(zhì)和判定”理解“性質(zhì)5（是中心對稱圖形）”打下經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，但割裂了知識之間的內(nèi)在聯(lián)結(jié)，弊大于利．

從6個(gè)版本“平行四邊形”的螺旋式組織來看，螺旋式在避免知識的跳躍雜亂、進(jìn)行知識點(diǎn)的螺旋組合時(shí)，不僅要考慮知識與學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的適應(yīng)性，還要從保持知識間的邏輯聯(lián)系與滲透數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生能從高觀點(diǎn)認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的角度考慮．

（2）螺旋數(shù)量、間隔時(shí)間多少合適？在平行四邊形內(nèi)容的6個(gè)版本的教材中，螺旋數(shù)量最多的是5個(gè)，最少的是3個(gè)，螺旋間隔時(shí)間最長的是6個(gè)學(xué)期，最短的是0個(gè)學(xué)期，5個(gè)版本教材的平均螺旋間隔時(shí)間是2.5~3.33個(gè)學(xué)期．那么，螺旋數(shù)量或螺旋之間的間隔時(shí)間究竟多少合適？這需要在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)一步調(diào)查．

相關(guān)地，同一知識點(diǎn)螺旋重復(fù)多少次合適？比如，“平行四邊形概念”在4個(gè)版本中出現(xiàn)了3次，2個(gè)版本出現(xiàn)了4次．“性質(zhì)1”在北師版中沒有重復(fù)，冀教版中出現(xiàn)了3次，其余版本出現(xiàn)了2次．“性質(zhì)2”在冀教版和青島版中出現(xiàn)了2次，其它4個(gè)版本均沒有重復(fù)出現(xiàn)．冀教版中的“知識點(diǎn)Z9”出現(xiàn)了2次，分別在二下、四下，其它5個(gè)版本均沒有重復(fù)出現(xiàn)．

“平行四邊形概念”作為整個(gè)“平行四邊形”知識體系的核心，是體系中其他知識點(diǎn)的生長點(diǎn)，內(nèi)涵和外延及其表征較為復(fù)雜、抽象．它在一套教材中螺旋學(xué)習(xí)3~4次是合理的，這較好地發(fā)揮了螺旋式組織的優(yōu)勢，讓不同年齡和發(fā)展階段的學(xué)生通過與之相適應(yīng)的學(xué)習(xí)不斷地豐富對“平行四邊形概念”的理解．對于“性質(zhì)1”和“性質(zhì)2”，它們均涉及圖形特點(diǎn)的分析、圖形要素及數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，是理解“平行四邊形其它性質(zhì)和判定”的基礎(chǔ)，同樣較為復(fù)雜、抽象，需要螺旋式學(xué)習(xí)，因而教材有必要設(shè)計(jì)螺旋．就此而言，對于“性質(zhì)1”和“性質(zhì)2”，沒有設(shè)計(jì)螺旋的教材需要改進(jìn)．“知識點(diǎn)Z9”對小學(xué)生來說是比較直觀的，也有一定的生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，似乎沒有螺旋學(xué)習(xí)的必要，特別是在四下時(shí)可能不需要再學(xué)習(xí)一次．

因此，螺旋的數(shù)量和間隔時(shí)間需要結(jié)合學(xué)生不同階段的認(rèn)知水平和知識的特點(diǎn)來確定．對于較為重要、復(fù)雜且抽象的知識，教材有必要設(shè)計(jì)合理的螺旋數(shù)量，讓學(xué)生可以在不同層次、易于理解的素材中通過螺旋式學(xué)習(xí)逐漸理解、掌握它．對于比較直觀、學(xué)生有一定生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)的知識，不必要安排螺旋．此外，從以上也可以看出，課程組織不應(yīng)該簡單二分法，應(yīng)根據(jù)具體知識的特點(diǎn)，合理利用直線式和螺旋式，發(fā)揮兩種組織方式的各自優(yōu)勢，使課程的組織取得最大累積效應(yīng)．

（3）如何選擇螺旋時(shí)間和呈現(xiàn)形式？就時(shí)間選擇而言，6個(gè)版本在一下至八下安排“平行四邊形概念”、四上至八下安排“性質(zhì)1”、在四下至八下安排“性質(zhì)2”是比較合適的．對于“性質(zhì)4”，北師版和冀教版教材安排在第一學(xué)段，北京版、冀教版和人教版在第二學(xué)段分別呈現(xiàn)，北師版的四下第二單元“認(rèn)識三角形和四邊形”與青島版的四下第四單元“巧手小工匠——認(rèn)識多邊形”在單元正文編寫了“四邊形的不穩(wěn)定性”內(nèi)容，而這些內(nèi)容在第三學(xué)段教材很少出現(xiàn)．考慮到小學(xué)生通過動(dòng)手操作和觀察就可以“了解四邊形的不穩(wěn)定性”，現(xiàn)行的2011課標(biāo)在“課程內(nèi)容”中將“了解四邊形的不穩(wěn)定性”安排在第三學(xué)段[4]值得商榷，建議將課程標(biāo)準(zhǔn)中“課程內(nèi)容”的該內(nèi)容下移至第二學(xué)段．

就每一螺旋的具體呈現(xiàn)方式而言，多個(gè)版本“平行四邊形概念”在第三學(xué)段的引入素材與第二學(xué)段在生活范圍上差異不大，有些版本在不同學(xué)段引入素材的選取中存在重復(fù)現(xiàn)象（如使用了名稱相同的素材），值得商榷．對于“性質(zhì)1”的發(fā)現(xiàn)，人教版在第二和第三學(xué)段的編寫所體現(xiàn)的思維要求無明顯差異，在八下經(jīng)由對具體平行四邊形圖形的觀察和度量發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，就初中生而言，思維水平要求偏低．冀教版在第一和第二學(xué)段均有“平行四邊形性質(zhì)1的發(fā)現(xiàn)”，但第一學(xué)段就編寫“平行四邊形的對邊相等”，超出了“直觀水平”的要求，與學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平可能存在差異．

由上可見，同一知識點(diǎn)每一螺旋的時(shí)間選擇和呈現(xiàn)方式需要結(jié)合知識的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展而確定[18]，避免過低或過高地估計(jì)學(xué)生的知識理解能力．具體而言，可以依據(jù)相關(guān)的學(xué)習(xí)理論（如范希爾的幾何思維水平理論）來設(shè)計(jì)適宜的螺旋時(shí)間及相應(yīng)呈現(xiàn)方式．

6 研究貢獻(xiàn)與展望

6.1 主要貢獻(xiàn)

（1）理論貢獻(xiàn)在于構(gòu)建數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的螺旋式分析框架，提出若干編寫策略，從而深化了“螺旋式”課程理論．布魯納雖提出了“螺旋式課程”，但并未對如何螺旋作深入具體說明，如螺旋數(shù)量和間隔、每一螺旋的時(shí)間選擇和呈現(xiàn)方式等．文[6]和文[7]主要從理論層面闡述了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程與教材內(nèi)容螺旋式上升的3個(gè)維度，深度、廣度和應(yīng)用（素材），后者還輔以例析．文[8]和文[9]主要從螺旋間隔維度對具體數(shù)學(xué)教材的螺旋式內(nèi)容進(jìn)行了量化分析．研究者結(jié)合相關(guān)成果將這些研究的維度綜合化、具體化，其中將“應(yīng)用（素材）”納入深度維度之中，繼而構(gòu)建了研究的分析框架．此外，結(jié)合研究結(jié)果從螺旋組合、螺旋數(shù)量、螺旋間隔、每一螺旋的時(shí)間和呈現(xiàn)方式等方面對教材內(nèi)容的螺旋式編寫方式進(jìn)行了初步探討，并得出一些策略．

（2）實(shí)踐貢獻(xiàn)在于探析現(xiàn)行6版數(shù)學(xué)教材中“平行四邊形”內(nèi)容的螺旋式編寫特點(diǎn)及存在問題，進(jìn)而提出了相關(guān)教材編寫建議．文[8]的研究對象是中韓高中數(shù)學(xué)教材中的全部內(nèi)容，文[9]聚焦于國內(nèi)北師版和西師版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的“統(tǒng)計(jì)與概率”．研究者選取小學(xué)和初中連續(xù)的6個(gè)版本義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材內(nèi)容中的“平行四邊形”，從某種程度上講，所分析的教材囊括了中國現(xiàn)行義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材的所有版本．

6.2 研究展望

6.2.1 拓展數(shù)學(xué)教材螺旋式內(nèi)容的研究范圍

限于篇幅，本研究僅涉及了數(shù)學(xué)教材中平行四邊形內(nèi)容的正文，其實(shí)習(xí)題等內(nèi)容的難度[19-20]也和螺旋式內(nèi)容的廣度、深度變化有著重要關(guān)聯(lián)．如蘇教版四下的相應(yīng)練習(xí)中，就暗含了“平行四邊形的對角相等和不穩(wěn)定性”內(nèi)容．

螺旋式編寫在現(xiàn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)教材中已經(jīng)比較普遍，研究者還需拓展螺旋式知識內(nèi)容的研究范圍，包括數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率等領(lǐng)域．

此外，2011課標(biāo)在“教材編寫建議”中指出，數(shù)學(xué)中有一些重要的內(nèi)容、方法、思想是需要學(xué)生經(jīng)歷較長的認(rèn)識過程，逐步理解和掌握的，如分?jǐn)?shù)、函數(shù)、概率、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型思想等[4]．因此，數(shù)學(xué)教材螺旋式知識內(nèi)容不僅包括概念、命題，還包括數(shù)學(xué)思想方法等．如北京版和人教版在第一學(xué)段平行四邊形概念引入的編寫中滲透的分類思想，在初中的“圓”、高中的“解析幾何”等諸多內(nèi)容中都有滲透．

6.2.2 加強(qiáng)數(shù)學(xué)教材螺旋式內(nèi)容的教與學(xué)研究

教師在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中常常遇到以下問題：（1）由螺旋式編寫的內(nèi)容，對前一螺旋讓學(xué)生學(xué)到什么程度才不會(huì)影響到他們對后一螺旋的把握？（2）學(xué)生稍一問個(gè)為什么，就要等待螺旋的下一個(gè)循環(huán)[21]．（3）有關(guān)研究表明，在學(xué)習(xí)初中“平行四邊形及其性質(zhì)”前，大多數(shù)學(xué)生可以猜測、計(jì)算或回答出：平行四邊形的對邊平行、對邊和對角相等[22]．既然如此，教師應(yīng)如何進(jìn)行這一內(nèi)容的教學(xué)呢？也即是，對于螺旋式內(nèi)容，教師的教和學(xué)生的學(xué)如何有效地保持每個(gè)螺旋的相對獨(dú)立性，又能與其前后的螺旋（如果有）做好銜接，以使教學(xué)的累積效應(yīng)最大化，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培育[23]？比如，除了從整體視角研讀數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[24]和教材[25]的策略外，還有無其它方式？等等．上述問題需要理論研究者和一線教師共同努力，加強(qiáng)螺旋式內(nèi)容的教與學(xué)研究，以尋求有效的解決路徑．

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Research on the Spiral Writing Way of Mathematical Textbook Content——Taking Parallelogram as an Example

SONG Yun-ming1, KUANG Kong-xiu2

(1.School of Mathematical Sciences, Guizhou Normal University, Guizhou Guyang 550025, China;2. College of Teacher Education, Huzhou University, Zhejiang Huzhou 313000, China)

Spiral was an important form of organization of curriculum and teaching materials. The research on the spiral writing characteristics of mathematics textbook content was carried out, in which parallelogram content in the 6 editions mathematics textbooks being used in compulsory education stage was the study object and content analysis was adopted mainly. The results showed that the differences in spiral spaces of parallelogram content were greater, the breadth and depth almost increased with the increasing in the study section. In order to avoid the fragmentation of knowledge and play spirals’ role in the compilation of textbooks, it was necessary to consider the adaptability of knowledge and students’ cognitive development, the logical relations among knowledge and the penetration of mathematical thought when the mathematical knowledge points were combined in a spiral way. The number and the interval time of the spirals, the time choice and presentation of each spiral need to be determined according to the cognitive level of students in different stages and knowledge characteristics. For the more important, complex and abstract knowledge, the textbook needs to design reasonable spirals. But it was unnecessary to arrange the spiral for the more intuitive knowledge about which students have some life experience.

mathematical textbook; parallelogram; spiral; writing feature; content analysis

G423

A

1004–9894（2018）06–0044–06

宋運(yùn)明，鄺孔秀．?dāng)?shù)學(xué)教材內(nèi)容的螺旋式編寫方式研究——以“平行四邊形”為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018，27（6）：44-49．

2018–08–29

貴州省教育科學(xué)規(guī)劃課題——初中數(shù)學(xué)教材中變式素材編寫特點(diǎn)研究（2016B272）；貴州師范大學(xué)2015年博士科研啟動(dòng)項(xiàng)目——我國小學(xué)數(shù)學(xué)新教材中例題編寫特點(diǎn)與使用研究

宋運(yùn)明（1980—），男，山東曹縣人，教育學(xué)博士，副教授，貴州楊躍鳴省級名師工作室成員，主要從事數(shù)學(xué)教材研究．

[責(zé)任編校：陳漢君、陳雋]