圓錐曲線高考題型分析

崔 文 侯宇虹

(1.山東省文登第一中學(xué) 264400;2.山東省威海市南海高級(jí)中學(xué) 264400)

圓錐曲線是高考必考考點(diǎn)，備考時(shí)兼顧基礎(chǔ)與應(yīng)用，循序漸進(jìn)，提升解題能力.

一、考查圓錐曲線的定義與性質(zhì)

A.2 B.4 C.6 D.8

分析 設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0)，圓的半徑為r，然后計(jì)算得出p的值.

評(píng)注 把抽象的問(wèn)題具體化是解決此類的問(wèn)題的最佳方法.

A.m>n且e1e2>1 B.m>n且e1e2<1

C.m1 D.m

分析 根據(jù)焦點(diǎn)重合，可知C1、C2焦距相等，得出m與n之間的關(guān)系；然后分別寫(xiě)出e1與e2，分析e1e2與1的大小關(guān)系.

評(píng)注 圓錐曲線的性質(zhì)側(cè)重考查基本量a、b、c的關(guān)系，橢圓中有a2=b2+c2，雙曲線中有c2=a2+b2，不要記錯(cuò).基本量考查滲透在每個(gè)題目當(dāng)中.

二、考查離心率

評(píng)注 離心率是高考的一個(gè)熱點(diǎn)題型，多與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合考查，備考時(shí)要格外關(guān)注.新課標(biāo)Ⅰ卷理第5題，新課標(biāo)Ⅲ卷理第11題、文第12題，浙江卷理第7題，山東卷理第13題、文第14題，都是考查離心率.

三、考查軌跡方程

例5 已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn)．

(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：AR∥FQ；

(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.

分析 (1)證明AR與FQ的斜率相等即可；(2)首先表示出△PQF和△ABF的面積，得出一個(gè)關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行后續(xù)研究.

記過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線為l，則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.

(1)由于F在線段AB上，故1+ab=0.

記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則

所以AR∥FQ.

(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)，

設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y).

當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合.

所以，所求軌跡方程為y2=x-1.

評(píng)注 本題的難點(diǎn)在于正確的表示出△PQF和△ABF的面積，得出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.本例屬于直接法求軌跡方程.新課標(biāo)Ⅰ卷理第20題(Ⅰ)為定義法求軌跡方程.

四、定值(定點(diǎn)、定直線)問(wèn)題

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：|AN|·|BM|為定值.

(2)由(1)知，A(2,0),B(0,1)，

當(dāng)x0=0時(shí)，y0=-1，|BM|=2,|AN|=2,

所以|AN|·|BM|=4.

綜上，|AN|·|BM|為定值.

評(píng)注 定值(定點(diǎn)、定直線)問(wèn)題是高考的常見(jiàn)題型，大多涉及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，對(duì)運(yùn)算能力要求較高.新課標(biāo)Ⅰ卷文第20題(Ⅰ)，北京卷文第19題，江蘇卷第22題(Ⅱ)(ⅰ)，四川卷文第20題(Ⅱ)，山東卷文第21題(Ⅱ)(ⅰ)，均屬于定值(定點(diǎn)、定直線)問(wèn)題.

五、參數(shù)取值范圍問(wèn)題

(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí)，求△AMN的面積；

(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，求k的取值范圍．

分析 (1)由|AM|=|AN|，可求出k=1，求出面積即可；(2)分別表示出|AM|和|AN|的長(zhǎng)度，然后根據(jù)2|AM|=|AN|，得出關(guān)系式.

因?yàn)閨AM|=|AN|，k>0，

4k2-k+4=0無(wú)實(shí)根，所以k=1．

因?yàn)?|AM|=|AN|，

六、對(duì)稱問(wèn)題

例8 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l：x-y-2=0，拋物線C：y2=2px(p>0).

(1)若直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，求拋物線C的方程；

(2)已知拋物線C上存在關(guān)于直線l對(duì)稱的相異兩點(diǎn)P和Q，

①求證：線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p)；

②求p的取值范圍.

分析 (1)由直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，可知焦點(diǎn)坐標(biāo)，得出拋物線的方程；(2)①因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱，可設(shè)其方程為y=-x+b.聯(lián)立y2=8x與y=-x+b，得出中點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)中點(diǎn)也在直線l上，得PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p).②由p+2b>0可得.

所以拋物線C的方程為y2=8x.

(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，線段PQ的中點(diǎn)M(x0,y0).

因?yàn)辄c(diǎn)P和Q關(guān)于直線l對(duì)稱，所以直線l垂直平分線段PQ,于是直線PQ的斜率為-1，則可設(shè)其方程為y=-x+b.

因?yàn)镻和Q是拋物線C上的相異兩點(diǎn)，所以y1≠y2,從而Δ=(2p)2-4(-2pb)>0，化簡(jiǎn)得p+2b>0.

因?yàn)镸(x0,y0)在直線l上，所以x0=2-p.

因此，線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p).

②因?yàn)镸(2-p,-p)在直線y=-x+b上,

所以-p=-(2-p)+b，即b=2-2p.

評(píng)注 對(duì)稱問(wèn)題關(guān)鍵是利用斜率乘積等于-1設(shè)出對(duì)稱點(diǎn)所在直線的方程，然后求解.解答時(shí)必須注意判別式Δ>0.

七、存在性問(wèn)題

(1)求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a、k表示)；

(2)若任意以點(diǎn)A(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.

分析 (1)利用弦長(zhǎng)公式可得；(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q，滿足|AP|=|AQ|，得出a的取值范圍.正難則反解決問(wèn)題.

(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q，滿足|AP|=|AQ|．

記直線AP,AQ的斜率分別為k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.

由于k1≠k2,k1,k2>0得

評(píng)注 本題采用正難則反的思想.原來(lái)探討“圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)”，而我們知道圓與橢圓最多有4個(gè)公共點(diǎn)，所以先研究4個(gè)公共點(diǎn)時(shí)a的取值范圍，然后求補(bǔ)集即可.新課標(biāo)Ⅰ卷文第20題(Ⅱ)也是存在性問(wèn)題.

八、證明類比得到的結(jié)論

(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P.證明：存在常數(shù)λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣· ∣PB∣，并求λ的值.

方程①的判別式為Δ=24(b2-3)，由Δ=0，得b2=3.

此時(shí)方程①的解為x=2.

點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1).

設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2).

評(píng)注 本例是類比圓中的切割線定理得出的一個(gè)結(jié)論.四川卷文科第20題是類比圓中的相交弦定理得出的一個(gè)結(jié)論.此兩題成為2016年高考圓錐曲線解答題的一個(gè)亮點(diǎn).

圓錐曲線因其具有豐富的性質(zhì)，而備受高考命題專家青睞.圓錐曲線問(wèn)題也是對(duì)數(shù)形結(jié)合能力、運(yùn)算能力、邏輯分析能力的綜合考查，理清命題規(guī)律，方可運(yùn)籌帷幄.