例談二項式定理高考熱點題歸類及解法

崔鳴岐

(北京市第十二中學 100071)

一、二項式展開式

1．二項式展開式的正用

解法1 原式

二項式展開式中有三個量，它們是二項式的項、二項式的指數(shù)、展開式，題目已知二項式的項、二項式的指數(shù)求展開式即三個量的關系的知二求一，解法1直接用二項式定理展開從而求解.

題目解法2化簡后再展開的求解方法.化簡后分子轉(zhuǎn)化為已知二項式的項、二項式的指數(shù)求展開式即三個量的關系的知二求一，從而再用二項式定理展開使問題得以解決.

點評 熟記二項式定理,是解答與二項式定理有關問題的前提條件,對比較復雜的二項式,有時先化簡再展開更便于計算.

2.二項式展開式的“逆用”

二項式展開式中有三個量，它們是二項式的項、二項式的指數(shù)、展開式，我們采取先將變形轉(zhuǎn)化為展開式再解答的解題步驟.將變形轉(zhuǎn)化為展開式后題目就轉(zhuǎn)化為已知展開式、二項式的指數(shù)求二項式的項即三個量的關系的知二求一的常規(guī)題.

點評 逆向應用公式和變形應用公式是高中數(shù)學的難點,也是重點,只有熟練掌握公式的正用,才能掌握逆向應用和變式應用.

二、通項公式

1．求展開指定項的系數(shù)

A.15 B.20 C.30 D.35

已知二項式求展開式指定項的系數(shù), 直接利用二項式定理的通項公式求解即可．

答案：45

對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決．

2．求二項式的指數(shù)

例6 (2017年山東)已知(1+3x)n的展開式中含有x2的系數(shù)是54，則n=____.

解 (1+3x)n的展開式中通項公式：

∵含有x2的系數(shù)是54，

∴r=2．

解得n=4．

故答案為：4．

已知展開式指定項的系數(shù)求二項式的指數(shù)，需利用二項式定理的通項公式轉(zhuǎn)化為方程從而使問題得以解決．

3．求二項式的項或項的系數(shù)

已知展開式指定項的系數(shù)求二項式的項的系數(shù)，需利用二項式定理的通項公式轉(zhuǎn)化為方程從而使問題得以解決．

點評 該類題考查二項式定理通項公式的應用, 已知二項式求展開式指定項的系數(shù), 直接利用二項式定理的通項公式求解即可；已知展開式中指定項的系數(shù)求二項式的指數(shù)或求二項式的項的系數(shù)，需利用二項式定理的通項公式轉(zhuǎn)化為方程從而使問題得以解決；對于三項式問題一般先變形化為二項式再解決．過程中注意(1)二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別;(2)表示第r+1項.

三、二項式展開式系數(shù)的性質(zhì)

點評 該題考查二項式定理性質(zhì)系數(shù)的應用,二項式定理性質(zhì)中二項式系數(shù)的和為2n.已知系數(shù)之和，利用二項式定理性質(zhì)構(gòu)造方程求出二項式的指數(shù)，進一步利用通項公式求出展開式指定項常數(shù)項.

例9 (2015高考湖北)已知(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為( ).

A.212B．211C．210D．29

答案:D.

二項式性質(zhì)的學習過程中對高考近幾年熱點題目根據(jù)知識點進行歸類，在充分利用分類法學習的同時也兼顧到分類的不重不漏原則，才能做到在跳出題海的同時使復習更系統(tǒng)更全面.二項式展開式應用的題目解答過程中我們可以看出二項式展開式中有三個量，它們是二項式的項、二項式的指數(shù)、展開式(或展開式的變形，若是展開式的變形那么我們首要做的是將它轉(zhuǎn)化為展開式)，無論是二項式展開式的正用還是逆用都可以看作在利用三個量的關系的知二推一，也就是利用轉(zhuǎn)化思想方程思想使問題得以解決，這種解決問題的方法同樣用在通項公式、二項式展開式系數(shù)的性質(zhì)應用的相關題目的解答中.分類思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想解決問題的思想方法若用到數(shù)學學科其他知識或其他學科知識的問題解決中都可以使問題解決達到事半功倍的效果.