運(yùn)用輔助角法對動(dòng)態(tài)平衡問題的深入探討

韓興乾 喻梅琴

(1.寧夏六盤山高級中學(xué) 750011；2.寧夏銀川市第六中學(xué) 750011)

在矢量運(yùn)算問題中要經(jīng)常運(yùn)用三角函數(shù)進(jìn)行三角形的求解，而在解決共點(diǎn)力動(dòng)態(tài)平衡問題時(shí)也往往直接利用三角函數(shù)的單調(diào)性討論力的變化情況，這在一般的解決問題中會(huì)經(jīng)常用到.但是在有些問題討論中當(dāng)因變量并不與某個(gè)簡單三角函數(shù)直接相關(guān)時(shí)，這時(shí)候有必要用輔助角進(jìn)行轉(zhuǎn)換，尋找出適合的三角函數(shù)關(guān)系，從而推斷出因變量的變化規(guī)律甚至是極值.

典例賞析1 水平地面上有一木箱，木箱與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ(0<μ<1)．現(xiàn)對木箱施加一拉力F，使木箱做勻速直線運(yùn)動(dòng)．設(shè)F的方向與水平地面的夾角為θ，如圖1所示，在θ從0逐漸增大到90°的過程中，木箱的速度保持不變，則( ).

A．F先減小后增大 B．F一直增大

C．F一直減小 D．F先增大后減小

解析 將拉力F沿水平方向和豎直方向正交分解，由平衡條件可得如圖2所示.

圖1 圖2

Fcosθ=Ff

Fsinθ+FN=mg

Ff=μFN

當(dāng)θ由0逐漸增大到90°的過程中，(α+θ)先由α增加到90°，此過程中sin(α+θ)先增大，使得拉力F隨之減小.而后θ繼續(xù)增加，(α+θ)會(huì)超過90°，所以sin(α+θ)將會(huì)減小，所以拉力F會(huì)隨之增大，A正確．

答案 A

拓展訓(xùn)練 一個(gè)質(zhì)量為1 kg的物體放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做勻速運(yùn)動(dòng)，已知這個(gè)最小拉力為6 N，g=10 m/s2，則下列關(guān)于物體與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ，最小拉力與水平方向的夾角θ，正確的是( ).

圖3

解析 由于物體在水平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，隨著拉力與水平方向的夾角α的不同，物體與水平面間的彈力不同，因而滑動(dòng)摩擦力也不一樣．而拉力在水平方向的分力與摩擦力相等．以物體為研究對象，受力分析如圖3所示，因?yàn)槲矬w處于平衡狀態(tài)，水平方向有Fcosα=μFN，豎直方向有Fsinα+FN=mg.

當(dāng)α+φ=90°，即α=arctanμ時(shí)，sin(α+φ)=1，F(xiàn)有最小值；

答案 B

拓展遷移 如果將斜向上的拉力改為斜向下的推理，問題的討論將變得更為復(fù)雜！

典例賞析2 如圖4所示，用與水平方向成θ角的推力F作用在物塊上，隨著θ逐漸減小，直到推力變?yōu)樗降倪^程中，物塊始終沿水平面做勻速直線運(yùn)動(dòng)，關(guān)于物塊受到的外力，下列判斷正確的是( ).

A．推力F先增大后減小

B．推力F一直減小

C．物塊受到的摩擦力先減小后增大

厚萼凌霄種子的萌發(fā)情況可以通過它的各項(xiàng)生理指標(biāo)（發(fā)芽率、發(fā)芽勢、發(fā)芽指數(shù)、簡化活力指數(shù)）反映出來[10]。

D．物塊受到的摩擦力一直不變

圖4 圖5

原解析 對物體受力分析，建立如圖所示的坐標(biāo)系．由平衡條件得Fcosθ-Ff=0

FN-(mg+Fsinθ)=0

又Ff=μFN

答案 B

解析補(bǔ)充 通過構(gòu)造輔助角α，令

此時(shí)若只考慮余弦函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)θ由90°逐漸減小到0的過程中，(α+θ)先由大于90°減小到90°，此過程中cos(α+θ)先減小，使得拉力F隨之增大.而后θ繼續(xù)減小，(α+θ)會(huì)小于90°，所以cos(α+θ)將會(huì)增加，所以拉力F會(huì)隨之減小，即推力F先增大后減小得選A.是什么原因呢？是答案錯(cuò)了嗎？？

于是將通過構(gòu)造輔助角將三角函數(shù)轉(zhuǎn)換成正弦函數(shù)在討論：

考慮正弦函數(shù)的單調(diào)性，若θ<α,當(dāng)θ逐漸增減小到0的過程中，(α-θ)先由也隨之增大，此過程中sin(α+θ)也增大，使得拉力F隨之減小.B選項(xiàng)對.但θ如果大于α，則隨著θ逐漸增減小到0， sin(α+θ)將會(huì)先減小后增加，所以推力F先增大后減小，又得選A.

由此可見，影響F變化趨勢的不是函數(shù)的形式，而在于θ和α的大小對比關(guān)系.

通過查閱以前的大量的測試題，發(fā)現(xiàn)2012年全國2卷曾考察過相關(guān)的問題，引用此題結(jié)論，疑難將迎刃而解.

圖6

名題賞析，運(yùn)用舉例：(14分，2012寧夏卷)

拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具(如圖6).設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可以忽略；拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g，某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ.

(1)若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小.

(2)設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對拖把的正壓力的比值為λ.已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng).求這一臨界角的正切tanθ0.

解：(1)設(shè)該同學(xué)沿拖桿方向用大小為F的力推拖把.將推拖把的力沿豎直和水平方向分解，按平衡條件有Fcosθ+mg=N①Fsinθ=f②

式中N和f分別為地板對拖把的正壓力和摩擦力.按摩擦定律有f=μN(yùn)③

(2)若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有Fsinθ≤λN⑤

這時(shí)①式仍滿足.聯(lián)立①⑤式得

現(xiàn)考察使上式成立的θ角的取值范圍.注意到上式右邊總是大于零，且當(dāng)F無限大時(shí)極限為零，有sinθ-λcosθ≤0 ⑦

使上式成立的θ角滿足θ≤θ0，這里θ0是題中所定義的臨界角，即當(dāng)θ≤θ0時(shí)，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動(dòng)拖把.臨界角的正切為tanθ0=λ⑧