分析高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧

葉國安

摘要：高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，由于立體幾何在高考中所占分值的比例較大，高中學(xué)生有必要充分重視對立體幾何的學(xué)習(xí)，眾所周知，高中立體幾何這部分的知識具有顯著的多變性特點，如果學(xué)生的邏輯思維能力有限或者不具備一定的解題技巧，在解答相關(guān)題目的過程中就會遇到諸多困難，極大地浪費了學(xué)習(xí)時間，嚴(yán)重情況下還有可能影響到高中生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);立體幾何;解題技巧

中圖分類號：G633.6? ?文獻標(biāo)識碼：A? ?文章編號：1992-7711（2018）09-0122

毫不夸張地說，立體幾何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有舉足輕重的地位，甚至一度被稱為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“攔路虎”，其難度和重要性可想而知，它對學(xué)生空間感方面的要求較高，為此，在學(xué)習(xí)過程中必須要注重對學(xué)生空間感和立體感的培養(yǎng)，只有把學(xué)生的立體感培養(yǎng)出來，在學(xué)習(xí)立體幾何時才能最大限度地降低學(xué)習(xí)阻礙，達到事半功倍的效果。

一、構(gòu)造輔助圖形，使原命題特殊化

在處理立體幾何題的常用方法中，構(gòu)造輔助圖形，特殊化原命題是一種利用率較高的解題方式，在構(gòu)建輔助圖形的過程中，其立足點是相關(guān)立體幾何題目的基本特征，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建出一個與原命題相對應(yīng)的新的幾何模型，這是把復(fù)雜問題變得相對簡單的“有力武器”，并巧妙地把陌生的問題規(guī)劃到常見問題的范疇。

我們以此題為例進行說明：已知ABCD為一個矩形（如圖1），PD與平面ABCD垂直，線段AB=1，PC=BC=2，按照圖2的方式進行折疊，使折痕DC∥EF，且點E和點F分別在線段PD和線段PC上，沿線段EF折疊之后P點落在AD上的點稱之為M，且CF⊥MF。

問題：（1）證明線段CF與平面MDF垂直。

（2）求出三棱錐M-CDE的體積。

解：（1）由已知線段PD與平面ABCD垂直，根據(jù)平面與平面垂直的定理可以得知線段CF⊥MD，因為CF⊥MF，結(jié)合線線垂直我們可得知線段CF與平面MDF垂直。

由此可知，輔助線的重要作用不容忽視，不論是在學(xué)習(xí)立體幾何的過程中還是在實際解決問題的情況下，輔助線都應(yīng)該當(dāng)作重點技巧來掌握，誠然，做輔助線也是有要求的，否則起不到輔助解決問題的作用，學(xué)生應(yīng)該在熟練掌握數(shù)學(xué)教材中相應(yīng)公理及其性質(zhì)的基礎(chǔ)上合理畫出輔助線，在求證相關(guān)問題時，必須要迅速回憶掌握的判定定理，然后在此基礎(chǔ)上結(jié)合該證明題的結(jié)論選擇與之對應(yīng)的性質(zhì)進行應(yīng)用。另外，根據(jù)題目中給出的已知條件，需要確定大概的證明方向，只有這樣，才能從不同的角度、以不同的方法快速得出解題思路。

二、充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，借此理清解題思路

一般情況下，數(shù)形結(jié)合的思想可以根據(jù)實際問題分成兩種情況，其一是通過對數(shù)準(zhǔn)確性的利用，進而表達出形的相關(guān)屬性;其二是利用形充分闡述數(shù)之間的明確關(guān)系，數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也是一種較為常用的方法，能夠在一定程度上使數(shù)學(xué)問題變得更加形象、更加直觀，從而起到適當(dāng)降低題目難度的作用，在數(shù)形結(jié)合的思想方面，空間向量的應(yīng)用就是典型范例。

三、合理運用空間思想，把題目化難為易進行解答

在學(xué)習(xí)高中立體幾何知識的過程中不難發(fā)現(xiàn)，其中包含有許多空間概念的內(nèi)容，基于此，我們在實際解決問題的過程中，要把空間幾何思想合理運用進去，學(xué)生可以在平時的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常自行展開空間想象，長此以往，便能夠?qū)αⅢw幾何問題的解答產(chǎn)生一定幫助。首先，拿到題目之后可以對其進行詳細分析，確定幾何圖形中線與面之間的關(guān)系和面與面之間的關(guān)系，并以此為基礎(chǔ)靈活轉(zhuǎn)變向量平行等問題，最終實現(xiàn)化難為易、化繁為簡的解題目標(biāo)，此舉使得解題思路變得更加清晰，解題速度也會越來越快。

我們以此題為例進行說明：如下圖，四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，線段DD₁與平面ABCD垂直，并且，四棱臺的底面是一個平行四邊形AB=2BC，A₁B₁=AD，∠DAB=60°。

證明BD⊥AA₁。

四、結(jié)束語

我們知道，立體幾何解題屬于高中數(shù)學(xué)知識中的重點問題，同時也是給很多學(xué)生帶來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的難點所在，學(xué)生必須在扎實掌握相關(guān)公理、性質(zhì)的基礎(chǔ)上勤加練習(xí)，不斷總結(jié)經(jīng)驗和技巧，把握好點、線、面三者之間的聯(lián)系，在實際解題時靈活運用，不斷豐富立體幾何方面的解題經(jīng)驗，同時，高中學(xué)生還可以把這種經(jīng)驗和心得運用到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)中，不斷提升自身的綜合素質(zhì)。

參考文獻：

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[2] 海云鵬.芻議高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的立體幾何解題技巧[J].數(shù)碼世界，2017（12）.